第十四章 全等三角形 自我评估卷 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十四章 全等三角形自我评估 （本试卷满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中的图形与图1全等的是（ ） A B C D 图1 2. 如图2，AC=AD，BC=BD，据此可以证明△ABC≌△ABD，其依据是（　　） A. SSS B. SAS C. AAS D. ASA ( A B C E D ) 图2 图3 3. 如图3，△ABC≌△DBE.若∠E=60°，∠A=20°，则∠DBE的度数为（　　） A.80° B. 90° C. 100° D. 110° 4. 两个完全一样的三角板按如图4所示摆放，使三角板的一条直角边分别与△ABC的边AB，AC重合，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（　　） A. AC边的高上 B. ∠A的平分线上 C. ∠B的平分线上 D. ∠C的平分线上 图4 图5 5. 如图5，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，且CD=EF.若要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF，则还需要添加的条件是（　　） A. ∠A=∠B B. ∠C=∠E C. AD=BF D. AC=BE 6. 如图6，点C在∠AOB的边OA上，用尺规作∠ACD=∠AOB.以下作图过程： ①以点C为圆心，OE长为半径作弧，交CA于点M； ②作射线CD，则∠ACD=∠AOB； ③以点M为圆心，EF长为半径作弧，交弧MN于点D； ④以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点E，F. 正确的顺序是（　　） A. ①②③④ B. ③②④① C. ④③①② D. ④①③② 图6 图7 图8 7. 如图7，BM是∠ABC的平分线，D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为9，AB=6，则线段DP的长不可能是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5.5 8. 如图8，已知AB=DE，∠A=∠E，添加下列条件不能使△ABC≌△EDC的是（　　） A. AC=EC B. BC=DC C. ∠B=∠D D. ∠DCB=∠ECA 9. 如图9，△ABF的高BC，AE相交于点D.若AD=BF，AF=7，CF=2，则BD的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 图9 图10 10. 如图10，有一张三角形纸片ABC，已知∠B=∠C=α，按如下两种方案用剪刀沿着箭头方向剪开，若方案中两个阴影部分的三角形一定全等打“√”，若不一定全等打“×”.下列关于两种方案中两个阴影部分三角形全等情况的判断正确的是（　　） A. 方案一：√，方案二：√ B. 方案一：×，方案二：× C. 方案一：×，方案二：√ D. 方案一：√，方案二：× 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知图11所示的两个三角形全等，则∠1的度数为 . 图11 图12 12. 如图13，已知∠C=∠D，只要再添加一个条件： ，就能证得△ACB≌△BDA. 13. 如图14，在△ABC中，∠C=90°，∠1=∠2，BC=12 cm，点D到AB的距离为5 cm，则BD的长为 cm. 图13 图14 14. 方特海盗船是一种模拟海盗冒险场景的游乐项目.如图14，当海盗船静止时，转轴B到地面的距离BD=15 m.当海盗船的船头在A处时，AC⊥BD，此时测得点A到地面的距离AE=9 m，当船头从A处摆动到A'处时，A′B⊥AB，则点A'到BD的距离为 . 15. 图15是6×5的方格纸，每个小方格都是边长为1的小正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点）.以点D，E为其中两个顶点作格点三角形，要求所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出 个. 图15 图16 16. 如图16，已知长方形ABCD的边长AB=20 cm，BC=16 cm，点E在边AB上，AE=6 cm，如果点P从点B出发在线段BC上向点C运动，同时，点Q在线段DC上从点D向点C运动，已知点P的运动速度是4 cm/s，当点Q的运动速度是　 　cm/s时，△BPE与△CQP全等. 三、解答题（本大题共6小题，共52分） 17.（6分）如图17，点E，B在AD上，AE=DB，AC=DF，∠A=∠D.求证：BC∥EF. 图17 18.（8分）如图18，已知△ABE≌△ACD，∠B=50°，BE=6，DE=2. （1）求∠BAC的度数； （2）求BC的长. 图18 19.（8分）完成命题“三角形两个角的平分线的交点一定在另一个角的平分线上”的证明. 已知：如图19，在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点D，连接AD. 求证： . 请你用无刻度直尺和圆规完成作图，将“求证”补充完整，并写出证明过程. 图19 20.（8分）某校项目式学习小组开展项目活动测量当地一座塔底座（圆形平台）的直径，过程如下： 项目主题：测量塔底座的直径． 问题驱动：能利用哪些数学原理来测量底座的直径？ 组内探究：由于底座中间不易到达，无法直接测量，需要借助一些工具来测量，比如自制的直角三角形硬纸板，米尺，测角仪，红外线水平仪等，甚至还可以利用无人机，确定方法后，先画出测量示意图，然后进行实地测量，并得到具体数据（精确到0.1 m），从而计算底座的直径． 成果展示：下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 图20-① 如图20-①，测量员在地面上找一点C，在BC连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与AB平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出CE的长 CE=52.5 m， BD=CD， CE∥AB 方案② 图20-② 如图20-②，测量员在地面上找一点C，沿着BC向前走到点D处，使得CD=AC，沿着AC向前走到点E处，使得CE=BC，测出D，E两点之间的距离 AC=CD， BC=CE， DE=52.5 m 请你选择上述两种方案中的一种，计算该塔底座的直径AB. 21.（10分）已知△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE= 90°.将△ACD和△BCE如图所示摆放，连接 AE，BD. （1）求证：AE=BD； （2）请写出线段 AE与BD的位置关系，并说明理由. 22.（12分）【模型发现】 （1）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且B，C两点在直线l的同侧，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D，E.问：DE，BD和CE之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【模型迁移】 （2）如图②，在（1）的条件下，若B，C两点在直线l的异侧，则DE，BD和CE之间存在怎样的数量关系？请说明理由. 【拓展应用】 （3）如图③，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即在△ABC中，AB=AC，∠BAC是钝角，∠CEA=∠ADB=∠BAC，∠CAE＞∠BAD，直线l与CB的延长线交于点F，若BC=2BF，△ABC的面积是12，请直接写出△ACE与△BDF的面积之和． ① ② ③ 附加题（20分，不计入总分） 问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.如图①，在△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝　 　时，△ABP与△CBP是偏等积三角形. 问题探究： （2）如图②，△ABD与△ACD是偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且AD的长为正整数，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AD的长. 问题解决： （3）如图③，四边形ABED是一片绿色花园，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°（0°＜∠BCE＜90°）.△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由. ① ② ③ 参考答案 一、1. C 2. A 3. C 4. B 5. D 6. D 7. A 8. B 9. B 10. D 二、11. 55° 12.∠CAB=∠DBA（答案不唯一） 13. 7 14. 6 15. 4 16. 或2 16. 36或3 解析：由已知条件，得BE=14.当BE=CP时，△BPE≌△CQP，CP=BE=14，所以BP=CB-CP=16-14=2，所以t=2÷4=，VQ=（20-2）÷=36（cm/s）. 当BP=CP时，△BEP≌△CQP，所以CQ=BE=14，4t=16-4t.解得t=2.所以VQ=（20-14）÷2=3（cm/s）. 三、17. 证明：因为AE=DB，所以AE+EB=DB+EB，即AB=DE. 在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，所以△ABC≌△DEF（SAS）. 所以∠ABC=∠DEF. 所以BC∥EF． 18. 解：（1）因为△ABE≌△ACD，所以∠C=∠B=50°. 所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-50°=80°. （2）因为△ABE≌△ACD，所以CD=BE=6. 因为DE=2，所以CE=CD-DE=6-2=4. 所以BC=BE+CE=6+4=10. 19. 解：求证：∠BAD=∠CAD 尺规作图如图1： 图1 证明：过点D分别作DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，DG⊥AC于点G. 因为D为∠ABC，∠ACB平分线的交点，所以DE=DF，DE=DG.所以DF=DG. 因为DF⊥AB，DG⊥AC，所以点D在∠BAC的平分线上.所以∠BAD=∠CAD. 20. 解：选择方案①. 因为CE∥AB，所以∠ABC=∠C. 在△ABD和△ECD中，∠ABD=∠C，DB=DC，∠ADB=∠EDC，所以△ABD≌△ECD（ASA）. 因为CE=52.5 m，所以AB=CE=52.5 m. 所以该塔底座的直径AB为52.5 m. 选择方案②. 在△ACB和△DCE中，AC=DC，∠ACB=∠DCE，BC=EC，所以△ACB≌△DCE（SAS）. 因为DE=52.5 m，所以AB=DE=52.5 m . 所以该塔底座的直径AB为52.5 m. 21.（1）证明：由题意，得AC=DC，EC=BC. 因 为∠ACD=∠BCE=90° ，所 以 ∠ACD-∠ECD=∠BCE-∠ECD，即∠ACE=∠DCB. 在△ACE和△DCB中，AC=DC，∠ACE=∠DCB，CE= CB，所以△ACE≌△DCB（SAS）. 所以AE=DB. （2）解：AE⊥BD.理由如下： 如图2，延长AE交BD于点M，交CD于点G. 由（1），得△ACE≌△DCB.所以∠CAE=∠CDB. 因为∠ACD=90°，所以∠CAE+∠AGC=90°. 又∠AGC=∠DGM，所以∠CDB+∠DGM=90°. 所以∠GMD=90°，即AE⊥BD. 图2 22. 解：（1）DE=CE+BD.理由如下： 因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠CAE=90°. 因为BD⊥直线l，CE⊥直线l，所以∠BDA=∠AEC=90°. 所以∠BAD+∠ABD=90°.所以∠CAE=∠ABD. 在△DAB和△ECA中，∠BDA=∠AEC，∠ABD=∠CAE，AB=CA，所以△DAB≌△ECA（AAS）. 所以BD=AE，AD=CE.所以DE=AD+AE=CE+BD. （2）BD= CE+DE.理由如下： 因为∠BAC=90°，所以∠BAD+∠CAE=90°. 因为BD⊥直线l，CE⊥直线l，所以∠BDA=∠AEC=90°. 所以∠BAD+∠ABD=90°.所以∠CAE=∠ABD. 在△BAD和△ACE中，∠BDA=∠AEC，∠ABD=∠CAE， BA=AC，所以△BAD≌△ACE（AAS）. 所以AE=BD，AD=CE. 所以BD=AE=AD+DE=CE+DE. （3）△ACE与△BDF的面积之和为6. 附加题 解：（1） （2）由（1），得BD＝CD. 因为CE∥AB，所以∠E＝∠BAD. 在△ECD和△ABD中，∠E＝∠BAD，∠EDC＝∠ADB，CD=BD，所以△ECD≌△ABD（AAS）. 所以ED＝AD，EC＝AB＝2. 所以AC-EC＜AE＜AC+EC，即6-2＜2AD＜6+2. 所以2＜AD＜4. 因为AD的长为正整数，所以AD＝3. （3）△ACD与△BCE是偏等积三角形.理由如下： 因为∠ACB＝∠DCE＝90°，所以∠ACD+∠BCE＝180°. 因为0°＜∠BCE＜90°，所以∠ACD＞90°. 所以∠ACD≠∠BCE. 因为CA＝CB，CD＝CE，所以△ACD与△BCE不全等. 如图，作BF⊥CE于点F，AG⊥DC交DC的延长线于点G. 所以∠G＝∠BFC＝90°. 因为∠ECG＝180°-∠DCE＝90°，所以∠ACG＝∠BCF＝90°﹣∠BCG. 在△ACG和△BCF中，∠G＝∠BFC，∠ACG＝∠BCF，CA＝CB，所以△ACG≌△BCF（AAS）. 所以AG＝BF. 所以CD•AG＝EC•BF，即△ACD与△BCE面积相等. 所以△ACD与△BCE是偏等积三角形. 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