精品解析：四川省渠县中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 下列各组数据是勾股数的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 0.3，0.4，0.5 D. 9，40，41 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一直角三角形的两边的长为3和4，则第三边的长为（ ） A. 5 B. 5或 C. 5或4 D. 7 5. 已知，则的平方根是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（ ） A. 19 B. 13 C. 42 D. 29 7. 若与最简二次根式可以合并，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，点，分别在、上，，，相交于点，若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：___________（填“”“=”“”） 10. 一个正数的两个平方根分别为和，则这个数为___． 11. 如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形、若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是___． 12. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 13. 如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要___m． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 17. 如图，在中，，D是延长线上的点，连接，若． （1）求的长； （2）过点C作交于点E，求的长． 18. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）若点运动到的中点时，的值为_______； （2）若，求的长； （3）当为直角三角形时，求的值． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m，则__________． 20. 小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，，则球体支架______ ． 21. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为_______． 22. 已知，，的立方根是___________． 23. 如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为、、、盒子高为．一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子的侧面爬行到点，为所在边的中点，蚂蚁要爬行的最短路程是________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在一条笔直的马路同侧有A，B两个小区，A小区到马路的垂直距离为10千米，B小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米． （1）求A，B小区之间的距离； （2）现要在线段上修建一个车站，使得车站到A，B两小区的距离相等，此时车站应修建在离点C多远处？ 25. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________ ； （2）计算：； （3）若，求的值． 26. 已知和都是等腰直角三角形． （1）如图1，连接，则与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）将绕点顺时针旋转． 如图2，当点恰好在边上时，求证：； 当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开方开不尽的数才是无理数，无限不循环小数为无理数．如(每两个8之间依次多1个0)等形式．根据无理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：A、是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、5是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列各组数据是勾股数的是（ ） A. ，， B. 4，5，6 C. 0.3，0.4，0.5 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解 【详解】解：A、不是正整数，则，，不是勾股数，故本选项不符合题意； B、，则4，5，6不是勾股数，故本选项不符合题意； C、不是正整数，则0.3，0.4，0.5不是勾股数，故本选项不符合题意； D、，，则是勾股数，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据，，直接求解即可得到答案． 【详解】解：，故A错误不符合题意， ，故B错误不符合题意， ，故C正确符合题意， ，故D错误不符合题意， 故选：C． 4. 若一直角三角形的两边的长为3和4，则第三边的长为（ ） A. 5 B. 5或 C. 5或4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分类讨论是解答本题的关键．分类讨论：①若3和4为直角边，②若3为直角边，4为斜边，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①若3和4为直角边，则第三边长为：； ②若3为直角边，4为斜边，则第三边长为：； 故选B． 5. 已知，则的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根． 根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 故选：B． 6. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若大正方形的面积为16，小正方形的面积是3，则是（ ） A. 19 B. 13 C. 42 D. 29 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查“赵爽弦图”为背景的代数式求值，涉及勾股定理、三角形面积及正方形面积等知识，熟练掌握“赵爽弦图”图形构成，数形结合，掌握代数式求值方法是解决问题的关键． 根据题意，求出大正方形边长、直角三角形面积、大正方形面积，进而得到，，利用完全平方和公式展开后，代入求值即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， ，且直角三角形的斜边长为， 大正方形的边长为，则， 大正方形的面积为16，小正方形的面积是3， ，即，则， ， 故选：D． 7. 若与最简二次根式可以合并，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握最简二次根式的性质和同类二次根式的定义．把化简为最简二次根式，根据同类二次根式的定义，求出即可． 【详解】解：∵， 又∵与最简二次根式可以合并， ∴， 解得：． 故选：B． 8. 如图，在正方形中，，点，分别在、上，，，相交于点，若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG＋CG的长，进而得出其周长． 【详解】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为×9＝6， ∴空白部分的面积为9−6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°， 可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF＋∠BCG＝90°， ∴∠CBG＋∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab＝， 又∵a2＋b2＝32， ∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15， 即（a＋b）2＝15， ∴a＋b＝，即BG＋CG＝， ∴△BCG的周长＝​＋3， 故选D. 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、完全平方公式的变形求值、以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 比较大小：___________（填“”“=”“”） 【答案】 【解析】 【分析】先估算，得即，计算比较即可. 本题考查了无理数的估算即大小比较，正确掌握无理数大小比较的基本原则是解题的关键. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 10. 一个正数的两个平方根分别为和，则这个数为___． 【答案】1 【解析】 【分析】由“一个正数的两个平方根互为相反数”得到a+3+2a+3=0，据此可以求得a的值，即可求解． 【详解】解：根据题意，得 a+3+2a+3=0，即3a=-6， 解得，a=-2 这个数为1 故答案是：1． 【点睛】本题考查了平方根的定义．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 11. 如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形、若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是___． 【答案】64 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴AB＝8（舍负）， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：64． 【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键． 12. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键． 13. 如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要___m． 【答案】56.25． 【解析】 【分析】要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：如图： 将圆柱表面切开展开呈长方形， 则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长 ∵圆柱高4.5米，底面周长2米 x2=（2×3）2+4.52=56.25m 所以，花圈长至少是56.25m． 故答案为56.25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1）6 （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和立方根，再计算乘方，接着计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算算术平方根和立方根，再计算乘方，接着计算乘法，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算化简求值以及分式的分母有理化，掌握整式的混合运算的运算法则是解此题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式的运算法则计算化简中括号中的内容，再进行除法运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 16. 已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小，算术平方根、立方根，理解算术平方根、立方根的定义，掌握估算无理数的方法是正确解答的前提．根据算术平方根、立方根以及估算无理数的大小确定、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ， 解得：， ∵的立方根是3， ∴ 解得：， ∵， ∴， ∴， 是的整数部分， ， ∴， ∵25平方根为， ∴的平方根为． 17. 如图，在中，，D是延长线上的点，连接，若． （1）求的长； （2）过点C作交于点E，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理得出是直角三角形，再由勾股定理求得，最后由线段的和差即可求解． （2）利用等面积法即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的长为． 【小问2详解】 解：由（1 ）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 18. 如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）若点运动到的中点时，的值为_______； （2）若，求的长； （3）当为直角三角形时，求的值． 【答案】（1）1 （2） （3）2或 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，，在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （3）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． 【小问2详解】 解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B所表示的数为m，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为，得点B所表示的数为，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴点B所表示的数为， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴，以及二次根式的加减运算，涉及数轴上的点表示的数，解题的关键是求出m的值． 20. 小宁在迪卡龙购买了拳击反应球作为居家健身器材．如图，若将球体支架最底端O到球体最顶端A看成一条线段，当反应球被击打时，可看作线段绕着点O旋转得到线段（在安全角度范围内旋转）．小宁击打反应球后与支架的水平距离为，当时，，则球体支架______ ． 【答案】130 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，旋转的性质，设，则，，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由旋转知：， 设，则，， 由题意知， ∴，即， 解得， 即球体支架， 故答案为：130． 21. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．由折叠前后对应边相等，可得，．再证，推出，设，利用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∴，， 根据折叠可知，，． 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， ∵， ∴中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 22. 已知，，的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的立方根，先因为，得出，即可化简得，算出的值，因为，得，求出的值、的值，代入，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴原式， 解得， ∵， ∴，， ∴， 则， ∴， 则的立方根为， 故答案为：． 23. 如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为、、、盒子高为．一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子的侧面爬行到点，为所在边的中点，蚂蚁要爬行的最短路程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三棱柱的侧面展开图、两点之间线段最短、勾股定理，解决本题的关键是画出三棱柱的侧面展开图，运用勾股定理求出爬行的路径长度，通过比较求出最短路程．当点是的中点时，根据题意可知、，利用勾股定理求出；当点是的中点时，根据题意可知，，利用勾股定理求出；通过比较可知最短路程长为. 【详解】解：∵， ∴三棱柱的底面是直角三角形， 由题意可知，四边形是矩形， ，，， ，点是的中点， ， ， ； 如下图所示， 由题意可知，四边形是矩形， ，，， ，点是的中点， ， ， ； ， ， 蚂蚁爬行的最短路径是． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 如图，在一条笔直的马路同侧有A，B两个小区，A小区到马路的垂直距离为10千米，B小区到马路的垂直距离为2千米，的长度为15千米． （1）求A，B小区之间的距离； （2）现要在线段上修建一个车站，使得车站到A，B两小区的距离相等，此时车站应修建在离点C多远处？ 【答案】（1）17千米 （2）4.3千米处 【解析】 【分析】（1）过点作于，则四边形是长方形，由矩形的性质可得千米，千米，求出千米，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）连接、，设千米，则千米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，则， ， ， 四边形是长方形， 千米，千米， 千米， 千米， 答：A，小区之间的距离为17千米； 【小问2详解】 解：如图，连接、， ， 设千米，则千米， 由题意得，， 由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 故车站应修建在离点4.3千米处． 25. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）计算：___________ ； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可； （2）结合（1）进行分母有理化，再合并同类项即可得结果； （3）根据小明的解答，先将分母有理化，再根据整体代入法代入，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：由题意得， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 26. 已知和都是等腰直角三角形． （1）如图1，连接，则与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）将绕点顺时针旋转． 如图2，当点恰好在边上时，求证：； 当点在同一条直线上时，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；； （2） 证明：如图2， 连接， ， 即 和都是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， 或． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，得出相等的线段和角，从而证明即可； （2）同（1）证得，得出；然后如图2， 连接，证是等腰直角三角形，得即可； 分两种情况讨论：当点N在线段上时或当点M在线段上时，连接，，根据在中， 建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：证明：如图1， 即 和都是等腰直角三角形， ， 又对顶角相等， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 ①略 线段的长为或． 如图3， 当点N在线段上时，连接，设， 由 (1)可知可得且 在中， 和都是等腰直角三角形，， 解得： （负值舍去）， ， 如图4， 当点M在线段上时，连接，设， 由 (1)可知可得且 在中， 和都是等腰直角三角形，， 解得： （负值舍去）， ， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，根据题意作出适合的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $