四川省达川中学2026-2027学年八年级上学期9月阶段学情自测数学试题

四川省达州市达川中学2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在下列各数中是无理数的有（　　） （相邻两个1之间依次增加1个0）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝1，，c＝2 D．a：b：c＝3：4：5 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．“勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 5．若，则a的值为（　　） A．0 B．0，1 C．±1，0 D．1 6．《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈＝10尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（　　） A．x2+（x+3）2＝102 B．x2+32＝（10﹣x）2 C．x2+32＝102 D．x2+（x+3）2＝（10﹣x）2 7．比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝8，△ABD的面积为24，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D． 9．已知，则的值为（　　） A． B． C．5 D．6 10．如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B处，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为（　　） A．13 B．12 C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，则斜边上的高是______cm． 12．已知3x﹣2与x+4是一个正数a的平方根，则这个正数a的值为　　 ． 13．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为7，（m+n）2＝31，则大正方形的边长为_____. 14.按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是________. 15．已知，则　　 ． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．计算：（1）； （2）； （3）． 17．已知，如图在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积． 18．已知a的立方根是2，b的算术平方根是1，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求a﹣3b+c的平方根． 19．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求∠BAD的度数． 20．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地ABCD，AC为田间的一条小路，且AD⊥AC，已知AB＝16m，BC＝12m，CD＝29m，AD＝21m． （1）求四边形田地的面积； （2）为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的CD边上引一条水渠到点A处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 21．已知：，求下列各式的值． （1）x2+xy+y2； （2）x2﹣y2． 22．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度BC； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 23．（1）如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简|b﹣a||b﹣c|的结果． （2）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|0．求的平方根． 24．观察与计算：；； 　　 ； 　　 ． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如： ；；． 【应用】 （1）化简：①； ②； （2）化简：． 25．综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的△ABC和△DEA如图②放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD，用a，b，c分别表示出四边形ABDC、梯形AEDC、△BDE的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理a2+b2＝c2； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得△ABC，则AB边上的高为　　 ； 【拓展延伸】 （3）如图④，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，请直接写出x的值． 参考答案 四川省达州市达川中学2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．在下列各数中是无理数的有（　　） （相邻两个1之间依次增加1个0）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：6， 无理数有（相邻两个1之间依次增加1个0），共3个； 故选：C． 2．已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝1，，c＝2 D．a：b：c＝3：4：5 【解答】解：A、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C180°＝75°， ∴△ABC不是直角三角形，故B选项符合题意； C、∵a＝1，，c＝2， ∴a2+b2＝4＝c2， ∴△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意； D、设a＝3k，b＝4k，c＝5k， ∵（3k）2+（4k）2＝25k2＝（5k）2， ∴a2+b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，故D选项不符合题意； 故选：B． 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．5与不能合并，所以A选项不符合题意； B． 与不能合并，所以B选项不符合题意； C． 4，所以C选项符合题意； D． 2，所以D选项不符合题意． 故选：C． 4．“勾股定理”是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．中国是发现和研究勾股定理最早的国家之一．中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：四个选项中的图形都可以用面积相等法列出等式： A.， 整理得：c2＝a2+b2， A选项可证明勾股定理，不符合题意； B.2ab+a2+b2＝（a+b）2，此图可证明完全平方公式， B选项不能证明勾股定理，符合题意； C.， 整理得：a2+b2＝c2， C选项可证明勾股定理，不符合题意； D.， 整理得：a2+b2＝c2， D选项可证明勾股定理，不符合题意； 故选：B． 5．若，则a的值为（　　） A．0 B．0，1 C．±1，0 D．1 【解答】解：根据题意可知，， 解得：a＝1或0． 故选：B． 6．《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈＝10尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（　　） A．x2+（x+3）2＝102 B．x2+32＝（10﹣x）2 C．x2+32＝102 D．x2+（x+3）2＝（10﹣x）2 【解答】解：如图， 1丈＝10尺， 则BC＝3尺，AB＝（10﹣x）尺， 在Rt△ABC中， 由AC2+BC2＝AB2得x2+32＝（10﹣x）2． 故选：B． 7．比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，故A不符合题意； B、∵2.236， ∴1≈1.236， ∴， ∴0.5， 故B符合题意； C、0.5，故C不符合题意； D、7，故D不符合题意； 故选：B． 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝8，△ABD的面积为24，则CD的长是（　　） A．3 B．4 C．6 D． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴BC⊥DA， ∵DA＝DB＝8，△ABD的面积为24， ∴S△ABDDA•BC8BC＝24， ∴BC＝6， ∴CD2， 故选：D． 9．已知，则的值为（　　） A． B． C．5 D．6 【解答】解：根据二次根式的意义得，， 由x﹣3≥0，解得：x≥3， 由6﹣2x≥0，解得：x≤3， ∴x＝3， 当x＝3时，x﹣3＝0，6﹣2x＝0， ∴y＝5， ∴， 故选：A． 10．如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B处，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为（　　） A．13 B．12 C． D． 【解答】解：将圆柱侧面展开，连接AB，则线段AB的长度即为蚂蚁经过的最短路程， 由题意可得，BC＝15﹣3＝12，AC＝10÷2＝5， ∴， ∴从点A爬到点B处，其中B离上沿3，蚂蚁经过的最短路程为13， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm，则斜边上的高是_______cm． 【解答】解：∵直角三角形的两条直角边分别为5cm，12cm， ∴斜边长是13（cm）， 设斜边上的高是xcm， 则， 解得x， 故答案为：． 12．已知3x﹣2与x+4是一个正数a的平方根，则这个正数a的值为　或49　 ． 【解答】解：∵3x﹣2与x+4是一个正数a的平方根， ①3x﹣2与x+4是正数a的两个平方根时， 则3x﹣2+x+4＝0， 解得， ∴． ②3x﹣2与x+4是正数a的同一个平方根时， 则3x﹣2＝x+4， 解得x＝3， ∴a＝（3+4）2＝49． 故答案为：或49． 13．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为7，（m+n）2＝31，则大正方形的边长为_____. 【解答】解：由题意可知，（m﹣n）2＝7， ∴m2+n2﹣2mn＝7①， 由（m+n）2＝31，可得：m2+n2+2mn＝31②， ∴①+②得，2m2+2n2＝38， ∴m2+n2＝19， ∴大正方形的面积为m2+n2＝19， ∴大正方形的边长为． 故答案为：． 14.按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是_8+5_______. 【解答】解：当n时，n（n+1）＝215， 当n＝2时，n（n+1）＝8+515， 故答案为：8+5． 15．已知，则　　 ． 【解答】解：设，，即a﹣b＝2， ∴（a﹣b）2＝4， a2+b2＝9+x+3﹣x＝12， ∴a2﹣2ab+b2 ＝12﹣2ab ＝4， ∴ab＝（12﹣4）÷2＝4， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+16＝20， ∴， ∵a＞0，b＞0， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．计算：（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）原式； （2）原式＝0； （3）原式． 17．已知，如图在△ABC中，BC＝6，AC＝8，DE⊥AB，DE＝7，△ABE的面积为35，求△ACB的面积． 【解答】解：∵DE＝7，△ABE的面积为35， ∴AB×7＝35， ∴AB＝10， ∵BC＝6，AC＝8， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90°， ∴S△ABC6×8＝24． 18．已知a的立方根是2，b的算术平方根是1，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求a﹣3b+c的平方根． 【解答】解：（1）由条件可知a＝8，b＝1， ∵16＜20＜25， ∴即， ∴的整数部分是4， 又c是的整数部分， ∴c＝4， 综上可知a＝8，b＝1，c＝4； （2）∵a＝8，b＝1，c＝4， ∴a﹣3b+c＝8﹣3+4＝9． ∴a﹣3b+c的平方根为±3． 19．如图，四边形ABCD的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求∠BAD的度数． 【解答】解：（1）根据勾股定理得： AB5， BC2， CD， AD5， ∴AB+BC+CD+AD＝525＝535； （2）连接BD， 根据勾股定理得：BD5， ∵AB＝5，AD＝5， ∴BD2+AD2＝52+52＝50＝AB2，AD＝BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴∠BAD＝45°． 20．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地ABCD，AC为田间的一条小路，且AD⊥AC，已知AB＝16m，BC＝12m，CD＝29m，AD＝21m． （1）求四边形田地的面积； （2）为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的CD边上引一条水渠到点A处，请你帮他计算这条水渠的最短长度． 【解答】解：（1）∵AD⊥AC， ∴∠CAD＝90°． ∴AC2＝CD2﹣AD2＝400， ∴AC＝20m（负值已舍去）． ∵BC＝12m，AB＝16m， ∴AB2+BC2＝162+122＝202＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°， ∴ ＝306（m2）； （2）如图，过点A作AE⊥CD于点E． 由“垂线段最短”，可得线段AE的长即为所引水渠的最短长度． ∵AE⊥CD，AD⊥AC， ∴， ∴21×20＝29AE， 解得， ∴这条水渠的最短长度为． 21．已知：，求下列各式的值． （1）x2+xy+y2； （2）x2﹣y2． 【解答】解：（1）当，时， x2+xy+y2 ＝（x+y）2﹣xy ＝12﹣2 ＝10； （2）当时， x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ． 22．数学兴趣小组发现，系在旗杆顶端B的绳子垂到地面时多出了3米，把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点A处（如图所示），测得绳子底端A与旗杆根部C之间的距离为9米． （1）求旗杆的高度BC； （2）珍珍在绳子底端又接上了长5米的绳子（接头处忽略不计），把绳子拉直，若要拼接后绳子的底端恰好接触地面的点D处，求珍珍应从A处向东走多少米？ 【解答】解：（1）设旗杆BC的高度为x米，则绳子AB的长为（x+3）米， 由题意知：AC＝9米，∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中， ∵BC2+AC2＝AB2， ∴x2+92＝（x+3）2， 解得：x＝12， 答：旗杆的高度12米； （2）由（1）知，AB＝x+3＝15米，则BD＝15+5＝20米， ∴米， ∴AD＝CD﹣AC＝7米， 答：珍珍应从A处向东走7米． 23．（1）如图，实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简|b﹣a||b﹣c|的结果． （2）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|0．求的平方根． 【解答】解：（1）根据图示，可得：a＜b＜0＜c， ∴|b﹣a||b﹣c| ＝﹣a+（b﹣a）﹣（a+b）﹣（c﹣b） ＝﹣a+b﹣a﹣a﹣b﹣c+b ＝﹣3a+b﹣c． （2）∵实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|0， ∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0， ∴a＝2，b＝﹣3，c＝5， ∴4， ∴的平方根是：±±2． 24．观察与计算：；； 　﹣7　 ； 　18　 ． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如： ；；． 【应用】 （1）化简：①； ②； （2）化简：． 【解答】解：观察与计算：； ； 故答案为：﹣7；18； 应用：（1）①； ② ； （2）原式 ， ∴原式 ． 25．综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论a2+b2＝c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的△ABC和△DEA如图②放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC＝∠DEA＝90°，显然BC⊥AD，用a，b，c分别表示出四边形ABDC、梯形AEDC、△BDE的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理a2+b2＝c2； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得△ABC，则AB边上的高为　　 ； 【拓展延伸】 （3）如图④，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，请直接写出x的值． 【解答】解：（1）∵AB＝DE＝a，AC＝b，AE＝b，BE＝AB﹣AE＝a﹣b，BC＝AD＝c，BC⊥AD， ∴，，， ∵S四边形ABDC＝S梯形ACDE+S△BDE， ∴， ∴a2+b2＝c2； （2）借助网格，可知，， ∵AB边上的高为：； 故答案为：； （3）在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝x，AB＝4， ∴AD2＝AB2﹣BD2＝16﹣x2， 在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AC＝5，CD＝BC﹣x＝6﹣x， ∴AD2＝AC2﹣CD2＝25﹣（6﹣x）2， ∴16﹣x2＝25﹣（6﹣x）2， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $