第十三章三角形单元测试卷 2026--2027学年人教版八年级数学上册

人教版数学八年级上册第十三章单元测试卷 （考查范围：第十三章　三角形　满分：100分　考试时间：90分钟） 班级：____________　　姓名：____________　　座号：____________ 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．2026年7月，跨海超级工程——深中通道荣获国家科学技术进步奖一等奖。深中通道的桥梁工程中运用了大量三角形构件。下列关于三角形的说法中，正确的是（　　） A．三角形按角的大小可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 B．等腰三角形一定不是等边三角形 C．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形 D．三角形按边可分为不等边三角形和等边三角形两类 2．如图1，用三根木条钉三角形框架，图①中三根木条的长度分别为4、5、6，图②中三根木条的长度分别为2、2、5。下列判断正确的是（　　） 图1 A．图①、图②都能组成三角形 B．图①能组成三角形，图②不能 C．图①不能组成三角形，图②能 D．图①、图②都不能组成三角形 3．如图2是深中通道钢桁架桥梁的结构示意图，桥梁由大量三角形构件焊接而成。采用三角形结构的主要数学依据是三角形具有（　　） 图2　深中通道钢桁架桥梁示意图 A．对称性　　　　B．灵活性 C．美观性　　　　D．稳定性 4．三角形的角平分线、中线和高都是（　　） A．射线　　　　B．线段 C．直线　　　　D．垂线 5．如图3是三类三角形中画高的情况。下列说法：①锐角三角形的三条高都在三角形的内部；②直角三角形有且只有一条高；③钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形外部一点；④钝角三角形有两条高在三角形的外部。其中正确的有（　　） 图3 A．1个　　　　B．2个 C．3个　　　　D．4个 6．如图4，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则△ABC的BC边上的高的长为（　　） 图4 A．2　　　　B．4 C．5　　　　D．3 7．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠C的度数为（　　） A．40°　　　　B．60° C．80°　　　　D．120° 8．如图5，D是BC延长线上一点，∠ACD是△ABC的一个外角。若∠A＝48°，∠B＝52°，则∠ACD的度数为（　　） 图5 A．100°　　　　B．90° C．110°　　　　D．80° 9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A－∠B＝20°，则∠A的度数为（　　） A．35°　　　　B．45° C．65°　　　　D．55° 10．如图6，在△ABC中，∠A＝50°，OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，则∠BOC＝（　　） 图6 A．130°　　　　B．115° C．105°　　　　D．140° 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．等腰三角形的两边长分别为3和7，则它的周长为________。 12．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD的周长比△ACD的周长大3，且AB＝8，则AC的长为________。 13．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若S△ABD＝6 cm²，则S△ABC＝________cm²。 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝2∠B，则∠A＝________。 15．若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与最小外角相邻的内角为________。 16．如图7，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则△ABC的面积为________。 图7 三、解答题（本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图8，等腰三角形的两边长分别为6和8，求这个等腰三角形的周长。（共6分） 图8 18．如图9，AD、AE、AF分别是△ABC的中线、∠BAC的平分线、BC边上的高。（共8分） 图9 （1）若△ABC的面积为12，BD＝3，则BC＝________，△ADC的面积＝________；（2分） （2）若∠1＝∠2＝35°，则∠BAC＝________°；（2分） （3）若AF＝5，BC＝6，则S△ABC＝________；（2分） （4）当△ABC满足________（用字母表示边的关系）时，三条线段AD、AE、AF重合为一条线段。（2分） 19．在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D。（共7分） （1）求∠BAC和∠ADB的度数；（5分） （2）判断△ABD的形状（按角分类）。（2分） 20．如图10，在△ABC中，过点A作直线l∥BC，∠1、∠2、∠3、∠4如图所示。求证：∠BAC＋∠B＋∠C＝180°。（共7分） 证明：∵l ∥BC（已作）， ∴∠1＝∠3（________）；（2分） ∠2＝∠4（________）。（2分） ∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°（________），（2分） 图10 ∴∠3＋∠BAC＋∠4＝180°（等量代换）， 即∠B＋∠BAC＋∠C＝180°。（1分） 21．如图11，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上。（共8分） 图11 （1）△ABC按角分类属于________三角形；（2分） （2）在图11中，画出BC边上的中线AD（D为BC的中点）和AC边上的高BE（E为垂足，点B到AC的垂线段），保留作图痕迹；（4分） （3）△ABC的面积＝________。（2分） 22．【热点】2026年7月，深中通道荣获国家科学技术进步奖一等奖。图12是某斜拉桥部分结构示意图，塔柱OM⊥桥面AB于点O，斜拉索MA、MB分别与桥面AB成60°和45°角。（共9分） 图12　斜拉桥部分结构示意图 （1）求∠AMB的度数；（5分） （2）判断△MAB的形状（按角分类），并说明理由。（4分） 23．如图13，点P是△ABC内一点，连接PB、PC。若∠A＝70°，∠ABP＝20°，∠ACP＝25°，求∠BPC的度数。（共7分） 图13 人教版数学八年级上册第十三章单元测试卷参考答案与解析 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）A 【解析】三角形按角的大小分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，A正确；等边三角形是特殊的等腰三角形，B错误；三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，C错误；三角形按边分为不等边三角形和等腰三角形两类，其中等边三角形是等腰三角形的特例，D错误。 2．（3分）B 【解析】判定三边能否构成三角形，只需检验两条较短边之和是否大于最长边。图①中4＋5＝9＞6，能组成三角形；图②中2＋2＝4＜5，不能组成三角形。故选B。 3．（3分）D 【解析】三角形三边长确定后，其形状和大小就完全确定，这就是三角形的稳定性。工程结构（钢桁架、斜拉索、支架等）广泛采用三角形结构，正是利用这一性质防止变形，故选D。 4．（3分）B 【解析】三角形的角平分线是三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段；中线是顶点与对边中点之间的线段；高是顶点到对边所在直线的垂线段。三者都是线段，故选B。 5．（3分）C 【解析】①正确，锐角三角形三条高都在内部；②错误，直角三角形有三条高，其中两条恰好与两条直角边重合；③④正确，钝角三角形有两条高在三角形外部，三条高所在直线相交于三角形外一点。正确的有3个，故选C。 6．（3分）D 【解析】BC在同一条水平网格线上，BC边上的高是过点A向BC所在直线作垂线段AD（D为垂足，如图），数网格可知AD＝3个小正方形边长，即AD＝3，故选D。 7．（3分）C 【解析】设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝4x。由内角和定理得2x＋3x＋4x＝180°，解得x＝20°，所以∠C＝4×20°＝80°，故选C。 8．（3分）A 【解析】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以∠ACD＝∠A＋∠B＝48°＋52°＝100°，故选A。 9．（3分）D 【解析】直角三角形的两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°；又∠A－∠B＝20°，两式相加得2∠A＝110°，所以∠A＝55°（∠B＝35°），故选D。 10．（3分）B 【解析】由内角和定理得∠ABC＋∠ACB＝180°－50°＝130°。因为OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，所以∠OBC＋∠OCB＝×130°＝65°。在△BOC中，∠BOC＝180°－65°＝115°，故选B。（结论：∠BOC＝90°＋∠A） 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．（3分）17 【解析】等腰三角形已知两边求周长需分类讨论：若3为腰，则三边为3、3、7，因为3＋3＝6＜7，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去；若7为腰，则三边为7、7、3，因为3＋7＞7，能构成三角形，周长＝7＋7＋3＝17。 12．（3分）5 【解析】AD是BC边上的中线，则BD＝CD；AD为△ABD与△ACD的公共边。所以△ABD的周长－△ACD的周长＝(AB＋AD＋BD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC＝3。因为AB＝8，所以AC＝8－3＝5。 13．（3分）12 【解析】AD是中线，则BD＝CD。△ABD与△ACD的底边相等（BD＝CD），且高相同（顶点A到BC的距离），所以S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，即S△ABC＝2×6＝12（cm²）。三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。 14．（3分）60° 【解析】直角三角形的两锐角互余，∠A＋∠B＝90°。将∠A＝2∠B代入，得2∠B＋∠B＝90°，∠B＝30°，所以∠A＝60°。 15．（3分）100° 【解析】三角形的外角和为360°。设三个外角分别为2x、3x、4x，则2x＋3x＋4x＝360°，x＝40°，三个外角依次为80°、120°、160°。最小外角为80°，与它相邻的内角互补，故该内角＝180°－80°＝100°。 16．（3分）10 【解析】以BC为底：点B、C在同一水平网格线上，BC＝5；点A到BC所在直线的距离为4（数竖直格数）。所以S△ABC＝×5×4＝10。（也可用割补法：长方形面积减去周围三个直角三角形面积） 三、解答题（共52分） 17．（共6分）周长为20或22 解：分两种情况： ①当6为腰长时，三边长分别为6、6、8。因为6＋6＝12＞8，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，此时周长＝6＋6＋8＝20；（3分） ②当6为底边长时，三边长分别为8、8、6。因为6＋8＝14＞8，能构成三角形，此时周长＝8＋8＋6＝22。（3分） 综上，这个等腰三角形的周长为20或22。 【解析】等腰三角形已知两边长求周长（或第三边），必须分“已知边为腰”和“已知边为底”两种情况讨论，并且每一种情况都要用三边关系检验能否构成三角形。例如两边为3和7时，“3为腰”的情形因3＋3＜7而被舍去，这是此类题的易错点。 18．（共8分） （1）BC＝6，△ADC的面积＝6（每空1分，共2分）；（2）∠BAC＝70°（2分）；（3）S△ABC＝15（2分）；（4）AB＝AC（2分）。 【解析】（1）AD是中线，则BD＝CD＝3，BC＝2BD＝6；中线把△ABC分成两个等底同高的三角形，面积各占一半，S△ADC＝×12＝6。（2）AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝2∠1＝2×35°＝70°。（3）AF是BC边上的高，S△ABC＝·BC·AF＝×6×5＝15。（4）等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”），所以当AB＝AC时，AD、AE、AF重合为同一条线段。 19．（共7分） 解：（1）在△ABC中，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°；（2分） ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝40°；（1分） 在△ABD中，∠ADB＝180°－∠B－∠BAD＝180°－40°－40°＝100°；（2分） （另解：∠ADB是△ACD的外角，∠ADB＝∠C＋∠DAC＝60°＋40°＝100°。） （2）∵∠ADB＝100°＞90°，∴△ABD是钝角三角形。（2分） 【解析】第（1）问链条：内角和定理→角平分线定义→△ABD内角和（或外角定理）。第（2）问按角分类的依据是最大内角：三个角都是锐角为锐角三角形；有一个直角为直角三角形；有一个钝角为钝角三角形。∠ADB＝100°是钝角，故△ABD为钝角三角形。 20．（共7分） 证明：∵l∥BC（已作）， ∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）（2分）； ∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）（2分）。 ∵∠1＋∠BAC＋∠2＝180°（平角定义）（2分）， ∴∠3＋∠BAC＋∠4＝180°（等量代换）， 即∠B＋∠BAC＋∠C＝180°。（1分） 【解析】证明思路：过顶点A作BC的平行线l，利用“两直线平行，内错角相等”，把∠B、∠C分别“转移”到顶点A处（即∠3、∠4的位置），三个内角就拼成了以A为顶点的平角，从而证得内角和定理。这种“平行线转移角”是证明角度问题的基本方法。 21．（共8分） （1）直角（2分）；（2）图略：取BC的中点D（BC为4格，D在距B两格的格点上），连接AD即为中线；过点B用三角板作BE⊥AC，垂足E在AC上，BE即为高（4分）；（3）6（2分）。 【解析】（1）AB与BC都在网格线上且互相垂直，∠B＝90°，故△ABC是直角三角形。（2）作中线：先找BC中点D（数格），再连接AD；作高：用三角板的一条直角边紧贴AC，另一条直角边过点B画垂线，垂足E落在线段AC上。（3）S△ABC＝½·BC·AB＝½×4×3＝6（直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半）。 22．（共9分） 解：（1）∵OM⊥AB，∴△AOM、△BOM都是直角三角形。（1分） 斜拉索MA与桥面成60°角，即∠MAB＝60°， ∴在Rt△AOM中，∠AMO＝90°－60°＝30°；（2分） 斜拉索MB与桥面成45°角，即∠MBA＝45°， ∴在Rt△BOM中，∠BMO＝90°－45°＝45°；（2分） ∴∠AMB＝∠AMO＋∠BMO＝30°＋45°＝75°。（2分） （2）△MAB是锐角三角形。 理由：∠MAB＝60°，∠MBA＝45°，∠AMB＝75°，三个内角都是锐角， 所以△MAB按角分类属于锐角三角形。（4分） 【解析】第（1）问的关键是识别图中两个直角三角形（塔柱与桥面垂直），利用“直角三角形两锐角互余”求出塔顶两个分角，再用角的和差求∠AMB（也可用△MAB内角和：∠AMB＝180°－60°－45°＝75°）。第（2）问按角分类看最大角：75°＜90°，三个角均为锐角，故为锐角三角形。本题体现三角形有关知识在桥梁工程实际中的应用。 23．（共7分）∠BPC＝115° 解：延长BP交AC于点D。（1分） ∵∠BDC是△ABD的一个外角， ∴∠BDC＝∠A＋∠ABP＝70°＋20°＝90°；（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）（3分） 又∠BPC是△PCD的一个外角， ∴∠BPC＝∠BDC＋∠ACP＝90°＋25°＝115°。（3分） 【解析】求三角形内一点与两顶点连线所成的角，通常构造“外角链”：延长BP交AC于D，产生两次外角应用。本题即经典“飞镖模型”：∠BPC＝∠A＋∠ABP＋∠ACP＝70°＋20°＋25°＝115°。也可以延长CP交AB构造同样的结构，或连接AP利用内角和求解。 第 页（共 页） 学科网（北京）股份有限公司 $