精品解析：四川省达川中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题

四川省达川中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 测试内容：九上1-2章 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错． 根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意； D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意． 故选：D． 3. 已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：由勾股定理得，斜边=， 所以，斜边上中线长=， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，是基础题，熟记性质是解题的关键． 4. 根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中与的值的特征，确定出解的范围即可． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于的一元二次方程的一个解的范围是． 故选：C． 【点睛】此题考查了估算一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键． 5. 如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ). A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 135° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=0.5∠CAB，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=0.5∠DAB=0.5×90°=45°， ∵四边形AEFC是菱形， ∴∠FAB=0.5∠CAE=0.5×45°=22.5°， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型． 6. 在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（　　） A. 7° B. 21° C. 23° D. 24° 【答案】C 【解析】 【详解】设∠AEF=x， ∵∠FAE=∠FEA， ∴∠AFC=2x， ∵∠ACF=∠AFC， ∴∠ACF=2x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， ∴∠ACB+∠ACF+∠AEF=90°， ∴21°+x+2x=90°， ∴x=23°， 故选C． 【点睛】三角形的外角性质；直角三角形的性质． 7. 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. x D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺年卡”列方程解答即可． 【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人，列方程为， 故选：A． 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相平分得到，点为的中点，根据菱形的面积公式可求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点， ∴，点为的中点， ∵菱形的面积为， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ． 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解． 【详解】解：由关于的一元二次方程有实数根，可得： ，解得： 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，，故①正确；设，表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，得到，故③错误；求出，证明出，得到，求出，故②正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等边三角形， 设，则， 由勾股定理得，， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，设出，然后用a表示出相关的边是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__． 【答案】12 【解析】 【详解】x2−6x+5=0， x2−6x=−5， x2−6x+9=−5+9， (x−3)2=4， 所以a=3，b=4， ab=12， 故答案为12. 12. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理； 求出一元二次方程的解，根据三角形三边关系定理得出等腰三角形的三边为2，4，4，即可得出答案． 【详解】解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为， ∴该三角形的周长为10， 故答案为：10． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当取最小值时，的值最小， ∴当时，最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 14. 如图，在正方形中，若，点E在上，点F在上，则①；②；③，④．其中一定成立的是_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】延长至点G，使得，连接，根据正方形性质证明，得，可得，可判定，得，可得，故①正确；设正方形边长为x，结合①结论可得，故，因此②正确；由①知，，，得，即得，故③正确；由①知，，即得，故④正确． 【详解】如图，延长至点G，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； 设正方形边长为x，则， 由①知，， ∴， ∴， ∴②正确； 由①知，，， ∴， ∴， ∴③正确； 由①知，， ∴， 即， ∴④正确， ∴正确的有①②③④． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是___________． 【答案】或2 【解析】 【分析】①当时，连接，可得和，根据折叠得，即可求得，则点P，E，D三点共线，进一步得到，设，则，利用勾股定理得解得x即可；②当时，则点E在线段的垂直平分线上，且点E在线段的垂直平分线上，则是的垂直平分线，结合折叠得到四边形是正方形，即可求得． 【详解】解：①当时，如图，连接， ∵点P是的中点，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P，E，D三点共线， ∵， ∴， 设，则， 在和中， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∵点P是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 综上所述：的长为或2． 故答案为：或2． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定和性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用十字相乘法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴． 17. 如图，在中，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点且，连接、，若，求线段的长？ 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理的应用、直角三角形斜边的性质等知识点，灵活运用三角形中位线的性质和直角三角形斜边的性质是解题的关键． 利用三角形中位线定理得到，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：∵点、分别是边、的中点， ∴是的中位线， ， ∵，是的中点，， ， ∵， ， ． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】（1） 证明：在中，， ∴ ， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及代数式求值，解答本题的关键是掌握根的判别式与根个数的关系以及整体代入思想方法． （1）求出的值，进而作出判断； （2）把代入方程列出m的一元二次方程，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是该方程的一个根， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ． 19. 如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：在矩形中，， ∵， ∴， ∵，点E在上， ∴， 又∵， ∴． （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明全等、利用勾股定理建立方程是解题的关键． （1）由矩形的性质及已知，得；由平行线的性质得，结合，利用即可证明全等； （2）设，则；由（1）知，从而可得．在中，由勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， 由（1）知：， ∴． 在中， ， ∴， 解得：， ∴． 即的长是． 20. 秦都公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）设实际售价定为元，则每个头盔盈利_________元，每月销量_________个（用含的代数式表示）； （2）在尽可能让顾客得到实惠的情况下，该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家月销售利润达到10000元？ 【答案】（1），； （2）该品牌头盔的实际售价定为元时，商家月销售利润达到10000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． （1）根据利润售价进价，即可求出每个头盔的利润，根据“当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个”，即可列出每月的销售量； （2）根据（1）列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，再根据尽可能让顾客得到实惠，即可确定的值． 【小问1详解】 解：设实际售价定为元，则每个头盔盈利为：元， 每月销量为：个， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：依题意得， ， 整理得：， 解得：， ， 又∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价定为元时，商家月销售利润达到10000元． 21. 如图，在正方形中，点分别在边、上，连接、、，已知． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）利用正方形的性质证明即可求证； （）利用勾股定理求出，进而得到的长，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又由（）知，， ∴． 22. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． （1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）四边形能成为菱形，， （2） 解：当或时，为直角三角形，理由如下： 当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当 时，则四边形是矩形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，当或时，为直角三角形． （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出，再证明；根据题意可得，则，再由含30度角的直角三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形， 则当满足时，四边形是菱形，据此建立方程求解即可； （2）分和两种情况讨论求解即可； （3）先求出，，同理可得，则；由平行四边形的性质得到，再由的面积是面积的，得到，解方程即可得到答案； 【小问1详解】 解：四边形能成为菱形，理由如下： ∵在中，，， ∴； ∵， ∴， ∴， 由题意得，，则， 在中，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当满足时，四边形是菱形， ∴， 解得， ∴当时，四边形是菱形． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 由（1）可知四边形是平行四边形， ∴， ∵的面积是面积的， ∴ 解：或； 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，矩形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 23. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1） （填是或否）存在“”点； （2）若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是 （2）， （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【小问1详解】 解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； 【小问3详解】 解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 24. 长方形中，点E是中点，沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点F． （1）如果点G在长方形的内部，如图①所示． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，，求的长度． （2）如果点G在长方形的外部，如图②所示，（），请用含k的代数式表示的值． 【答案】（1） （Ⅰ）证明：连接， ∵点E是中点， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵翻折， ∴， ∴，， 在和， ， ∴， ∴； （Ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（Ⅰ）如图所示，连接，根据矩形的性质和已知条件，证明，即可得证；（Ⅱ）设，则可用含的代数式表示出，在中利用勾股定理求出的值，即可． （2）同（1）法证明，设，，用含的代数式表示出，勾股定理得到与的关系，再代入计算，即可． 【小问1详解】 解：（Ⅰ）略． （Ⅱ）∵，设， ∴， ∴， ∵四边形为长方形， ∴， ∵翻折， ∴， 由（Ⅰ）知：， ∴， 在中，，即：， ∴（负值已舍去）； ∴； 【小问2详解】 连接， 同（Ⅰ）法可得：， ∴， 设，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 25. 在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且． （1）如图2，求证：； （2）若直线AC与EF相交于点G，如图3，求证：； （3）设正方形ABCD的中心为O，，用含的式子表示的度数（不必证明）． 【答案】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）（解法一）作交AC于点H，如图1．则． 图1 ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 由（1）同理可得， ∴． （解法二）作交AC于点H ，如图2． 图2 ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 连接CE，FH ． 又∵． ∴四边形CEHF是平行四边形． ∴． 由（1）同理可得， ∴． （3）∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α． 【解析】 【分析】（1）四边形ABCD是正方形，，，又知道，可得到即可求解； （2）作交AC于点H,则,知道四边形ABCD是正方形可得，推出，，，，，得到，，又知道得到即可求解 （3）分三种情况①点E在线段AB上、②点E在线段BA的延长线上、③点E在线段AB的延长线上，逐一进行讨论即可求解． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：①当点E在线段AB上时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=∠ADC=90°，∠ACD=45°， ∵， ∴∠ADE=∠CDF， ∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=90°， 即∠EDF=90°， ∵DE=DF，DG⊥EF， ∴∠GDF=∠2=45°， ∴∠1=45°-∠3， ∵∠BCD=90°， ∴∠3+∠2+∠CFE=90°， ∴∠3=90°-45°-α=45°-α， ∴∠1=45°-∠3=α， ∵∠DGO=∠ACD+∠1， ∴∠DGO=α+45°； ②当点E在线段BA的延长线上时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=45°， ∵， ∴∠ADE=∠CDF， ∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°， ∴∠EDA+∠ADF=90°， 即∠EDF=90°， ∵DE=DF，DG⊥EF， ∴∠GDF=∠GFD=∠BDC=45°， ∴∠1=∠2， ∵∠BCD=90°， ∴∠3+∠2=90°， ∵∠3=∠CFE-∠GFD=α-45°， ∴∠2=90°-α+45°=135°-α， ∴∠1=∠2=135°-α， ∴∠DGO=90°-∠1=α-45°； ③当点E在线段AB的延长线上时， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠ACD=45°，∠ABC=∠ADC=90°， ∵， ∴∠ADE=∠CDF， ∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°， ∴∠EDC+∠CDF=90°， 即∠EDF=90°， ∴∠2=∠3， ∵DE=DF，DG⊥EF， ∴∠GDE=∠DEG=45°， ∴∠1+∠3=45°， ∵∠ABC=90°， ∴∠CFE+∠2+∠DEG=90°， ∵∠CFE-∠2=45°， ∴∠CFE=∠1=α， ∴∠DGO+∠1=∠ACD=45°， ∴∠DGO=45°-α． 综上：∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得DE=DF，利用等腰直角三角形的性质求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达川中学2026-2027学年九年级上学期9月学情自测数学试题 卷面满分：150分 测试时间：120分钟 测试内容：九上1-2章 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 3. 已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则它斜边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列表格中的对应值，可以判断关于的一元二次方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正方形ABCD中,以对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB等于( ). A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 135° 6. 在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（　　） A. 7° B. 21° C. 23° D. 24° 7. 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（ ） A. B. C. x D. 8. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 将一元二次方程x2﹣6x+5=0化成（x﹣a）2=b的形式，则ab=__． 12. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该三角形的周长为________． 13. 如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______． 14. 如图，在正方形中，若，点E在上，点F在上，则①；②；③，④．其中一定成立的是_______． 15. 如图，在矩形纸片中，，，点P是的中点，点Q是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是___________． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16. 解方程． （1）； （2）． 17. 如图，在中，，点、分别是边、的中点，点是线段上的一点且，连接、，若，求线段的长？ 18. 已知关于x的方程． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是该方程的一个根，求代数式的值． 19. 如图，在矩形中，点E在上，，垂足为 F． （1）求证：； （2）如果，求的长． 20. 秦都公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． （1）设实际售价定为元，则每个头盔盈利_________元，每月销量_________个（用含的代数式表示）； （2）在尽可能让顾客得到实惠的情况下，该品牌头盔的实际售价定为多少元时，商家月销售利润达到10000元？ 21. 如图，在正方形中，点分别在边、上，连接、、，已知． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，，求的长． 22. 如图，在中，，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． （1）四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由； （2）当为何值时，为直角三角形？请说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 23. 关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． （1） （填是或否）存在“”点； （2）若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； （3）关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 24. 长方形中，点E是中点，沿折叠后得到对应的，将延长交直线于点F． （1）如果点G在长方形的内部，如图①所示． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，，求的长度． （2）如果点G在长方形的外部，如图②所示，（），请用含k的代数式表示的值． 25. 在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且． （1）如图2，求证：； （2）若直线AC与EF相交于点G，如图3，求证：； （3）设正方形ABCD的中心为O，，用含的式子表示的度数（不必证明）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $