2.1.2等式性质与不等式性质培优讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2课时　等式性质与不等式性质 1.了解等式的性质. 2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 　　通过上节课的学习,我们学会了用等式和不等式来表示现实生活中的相等关系和不等关系.现在就让我们一起探究等式性质和不等式性质,为我们下一步解不等式做好准备! 知识点一　等式性质与不等式性质 1.等式的性质 性质1　如果a=b,那么b=a; 性质2　如果a=b,b=c,那么a=c; 性质3　如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4　如果a=b,那么ac=bc; 性质5　如果a=b,c≠0,那么=. 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c b+c ⇔ 4 可乘性 a>b,c>0⇒ a>b,c<0⇒ c的符号 5 同向可加性 a>b,c>d⇒ 同向 6 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an bn(n∈N,n≥2) 同正 　(1)若a>b>0,则0<<;若a<b<0,则0>>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算. (1)若a<b<0,则|a|>|b|. ( ) (2)已知a,b,c∈R,若a>b>c,则(a-c)2>(b-c)2.( ) (3)若ac=bc,则a=b. ( ) (4)若a+c>b+d,则a>b,c>d.( ) [例1]　(多选)已知a,b,c,d均为实数,下列命题正确的有(　　) A.若a>b,c>d,则a-d>b-c B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b>c>0,则< 课堂笔记： 　 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 1.运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然随意捏造性质. 2.解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算. 1.若a<b<0,则(　　) A.|b|>|a| B.->- C.> D.> 2.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A.若a>b,则a+c>b+c B.若a<b<0,则ac<bc C.若a>b>0,则a2>b2 D.若a<b<0,则< 知识点二　利用不等式的性质证明不等式 [例2]　已知c>a>b>0,求证:>. 1.利用不等式的性质解题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 2.应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 3.已知a>b>0,c<0,证明:>. 知识点三　利用不等式的性质求代数式的范围 [例3]　已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b,a-b,的取值范围. 　本例的条件不变,求的取值范围. 1.利用不等式的性质求取值范围,要建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 4.(多选)已知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则(　　) A.3<x+2y<9 B.-1<x-y<3 C.2<xy<18 D.<<6 1.知识清单: (1)等式的性质. (2)不等式的性质及其应用. 2.方法归纳:作差比较法、赋值法、不等式性质法. 3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性. 1.设a>b>0,c<d<0,则下列不等式中一定成立的是(　　) A.ac>bd B.< C.> D.ac2<bd2 2.(多选)若x>y>z,且x+2y+z=0,则(　　) A.x>0 B.z<0 C.xy>yz D.< 3.不等式a>b和>同时成立的条件是　　　　.  4.若2<a<5,3<b<10,则a-2b的取值范围为　　　　.  1.若a>b,则下列不等式一定成立的是(　　) A.2 026a>2 025a+b B.a2>b2 C.a2>ab D.> 2.设a,b∈R,则下列条件可断定|a|<b的是(　　) A.a<b且-a<b B.a<b或-a<b C.a<b且a<-b D.a<b或a<-b 3.已知2<a<3,-2<b<-1,则2a+b的取值范围是(　　) A.0<2a+b<5 B.0≤2a+b≤2 C.2<2a+b<5 D.2≤2a+b≤5 4.已知a>b>c,则下列不等式一定成立的是(　　) A.a+b>c B.2a>b C.a(c2+1)>b(c2+1) D.a+c>b 5.已知实数a,b,c,若a>b>c,则下列不等式一定成立的是(　　) A.a-b>b-c B.ac>b2 C.a(a-c)>b(b-c) D.> 6.(多选)在所给的四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0中,能推出<成立的有(　　) A.① B.② C.③ D.④ 7.已知-2<a<-1,2<b<4,则的取值范围为　　　　　.  8.若a>b>0,n∈N,n≥2,则　　　 .(填“>”“<”或“=”) 9.若a>b>0,d<c<0,求证:<. 10.已知2<a<3,-2<b<3. (1)求3a+b的取值范围; (2)求a-b的取值范围. 11.已知-1<a<2,-2<b<3,则下列不等式错误的是(　　) A.-3<a+b<5 B.-4<a-b<4 C.2<ab<6 D.a2+b2<13 12.已知2<a+b<5,0<a-b<1,有如下结论:①1<a<3;②1<b<2;③<b<;④-4<a-2b<2;⑤-3<a-2b<1;⑥1<2a-b<4,则下列选项正确的是(　　) A.①③④ B.①②④ C.①②⑤ D.①③⑥ 13.设x,y∈R,使>和>同时成立的一个充分条件是　　　　.  14.已知实数x,y满足-1≤x+y≤4,2≤x-y≤3,求t=3x-2y的取值范围. 15.(多选)设[x]表示不超过x的最大整数,如[2.6]=2,[-3.2]=-4,则当x,y∈R时,下列说法正确的是(　　) A.0≤x-[x]<1 B.[x]-[y]≤[x-y] C.[[3x]-3[x]]≤1 D.[x+y]≤[x]+[y]+1 16.设a,b为正实数,有下列命题: ①若a2-b2=1,则a-b<1; ②若-=1,则a-b<1; ③若|-|=1,则|a-b|<1. 其中正确的命题为　　　　.(写出所有正确命题的序号)  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等式性质与不等式性质 1.了解等式的性质. 2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 　　通过上节课的学习,我们学会了用等式和不等式来表示现实生活中的相等关系和不等关系.现在就让我们一起探究等式性质和不等式性质,为我们下一步解不等式做好准备! 知识点一　等式性质与不等式性质 1.等式的性质 性质1　如果a=b,那么b=a; 性质2　如果a=b,b=c,那么a=c; 性质3　如果a=b,那么a±c=b±c; 性质4　如果a=b,那么ac=bc; 性质5　如果a=b,c≠0,那么=. 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a+c>b+c ⇔ 4 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc a>b,c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正 可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N,n≥2) 同正 　(1)若a>b>0,则0<<;若a<b<0,则0>>. (2)不等式只有同向可加和同向同正可乘,没有减法和除法运算. (1)若a<b<0,则|a|>|b|. (√) (2)已知a,b,c∈R,若a>b>c,则(a-c)2>(b-c)2. (√) (3)若ac=bc,则a=b. (×) (4)若a+c>b+d,则a>b,c>d. (×) [例1]　(多选)已知a,b,c,d均为实数,下列命题正确的有(　　) A.若a>b,c>d,则a-d>b-c B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b>c>0,则< 根据不等式的基本性质,即可判断A,B,C三个选项,对于选项D,用作差法,即可判断. 解析　ACD　对于选项A,因为c>d,所以-d>-c,又a>b,所以a-d>b-c,所以选项A正确;对于选项B,因为a,b,c,d不一定为正数,例如:0>-1,1>-2,但0×1<(-1)×(-2),所以选项B错误;对于选项C,因为ac2>bc2,易知c2>0,根据不等式性质,可知a>b,所以选项C正确;对于选项D,因为-==,又a>b>c>0,所以b-a<0,a+c>0,所以<0,所以-<0,所以<,所以选项D正确. 　 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 1.运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然随意捏造性质. 2.解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算. 1.若a<b<0,则(　　) A.|b|>|a| B.->- C.> D.> 解析　D　因为a<b<0,不妨设a=-3,b=-1,则|b|<|a|,故A错误;-=,-=1,所以-<-,故B错误;=,=3,所以<,故C错误;因为-==>0,所以>,故D正确. 2.(多选)下列命题是真命题的是(　　) A.若a>b,则a+c>b+c B.若a<b<0,则ac<bc C.若a>b>0,则a2>b2 D.若a<b<0,则< 解析　AC　A选项,若a>b,由不等式的性质可知a+c>b+c,A选项正确;B选项,若a<b<0,当c=0时,ac=bc,所以B选项错误;C选项,若a>b>0,则a2-b2=(a+b)(a-b)>0,a2>b2,C选项正确;D选项,若a<b<0,则-=>0,>,D选项错误. 知识点二　利用不等式的性质证明不等式 [例2]　已知c>a>b>0,求证:>. 思路一:利用不等式的性质证明;思路二:利用作差法证明. 证明　法一　因为a>b>0,所以-a<-b,所以c-a<c-b.因为c>a>b>0,所以0<c-a<c-b.上式两边同乘,得>>0.又因为a>b>0,所以>. 法二　作差-===, 因为c>a>b>0, 所以c-a>0,c-b>0,a-b>0, 所以(a-b)c>0, 所以>0,即->0, 所以>. 1.利用不等式的性质解题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 2.应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 3.已知a>b>0,c<0,证明:>. 证明　法一　-=, ∵a>b>0,c<0, ∴ab>0,b-a<0,c(b-a)>0, ∴->0,∴>. 法二　∵a>b>0,∴>>0. ∵c<0,∴<,即>. 知识点三　利用不等式的性质求代数式的范围 [例3]　已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b,a-b,的取值范围. 根据不等式的性质分别可得2a,3b,-b的范围,利用加法性质求2a+3b,a-b的范围;根据2<b<8的范围求的范围,利用乘法性质求的取值范围. 解　∵1<a<4,2<b<8,∴2<2a<8,且6<3b<24,∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8,∴-8<-b<-2. 又∵1<a<4,∴-7<a-b<2. 由2<b<8,得<<,又1<a<4, ∴1×<a·<4×,即<<2. 故2a+3b的取值范围是8<2a+3b<32,a-b的取值范围是-7<a-b<2,的取值范围是<<2. 　本例的条件不变,求的取值范围. 解　因为1<a<4,所以-4<a-5<-1, 则-1<<-, 又1<a<4,2<b<8, 所以-4<-a<-1,且4<2b<16, 故0<2b-a<15,所以-15<<0. 1.利用不等式的性质求取值范围,要建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围. 2.同向不等式的两边可以相加,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. 4.(多选)已知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则(　　) A.3<x+2y<9 B.-1<x-y<3 C.2<xy<18 D.<<6 解析　CD　因为2<y<3,所以4<2y<6,因为1<x<6,所以5<x+2y<12,故A错误;因为2<y<3,所以-3<-y<-2,因为1<x<6,所以-2<x-y<4,故B错误;因为1<x<6,2<y<3,所以2<xy<18,故C正确;因为2<y<3,所以1<y-1<2,所以<<1,又1<x<6,所以<<6,故D正确. 1.知识清单: (1)等式的性质. (2)不等式的性质及其应用. 2.方法归纳:作差比较法、赋值法、不等式性质法. 3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性. 1.设a>b>0,c<d<0,则下列不等式中一定成立的是(　　) A.ac>bd B.< C.> D.ac2<bd2 解析　B　a>b>0,c<d<0,即-c>-d>0,则有-ac>-bd>0,即ac<bd<0,故A错误;由cd>0,又ac<bd<0,两边同乘,得<,则B正确、C错误;由-c>-d>0,-ac>-bd>0,可得ac2>bd2,则D错误. 2.(多选)若x>y>z,且x+2y+z=0,则(　　) A.x>0 B.z<0 C.xy>yz D.< 解析　ABD　由x>y>z且x+2y+z=0得x+2y+z<x+2x+x=4x,所以4x>0,x>0,A选项正确;x+2y+z>z+2z+z=4z,所以4z<0,z<0,B选项正确;取x=1,y=0,z=-1,则xy=yz,C选项错误;由x>y>z得0<x-y<x-z,所以>,因为z<0,所以<,D选项正确. 3.不等式a>b和>同时成立的条件是　　　　.  答案　a>0>b 解析　∵-=,∴a>b和>同时成立的条件是a>0>b. 4.若2<a<5,3<b<10,则a-2b的取值范围为　　　　.  答案　-18<a-2b<-1 解析　由3<b<10,得-20<-2b<-6,又2<a<5,所以-18<a-2b<-1. 1.若a>b,则下列不等式一定成立的是(　　) A.2 026a>2 025a+b B.a2>b2 C.a2>ab D.> 解析　A　A选项,因为a>b,不等式两边同时加上2 025a得2 026a>2 025a+b,A正确;B选项,不妨设a=0,b=-1,则a2=0,b2=1,a2<b2,B错误;C选项,不妨设a=-1,b=-2,则a2=1,ab=2,a2<ab,C错误;D选项,不妨设a=-1,b=-2,显然=-1,=-,故<,D错误. 2.设a,b∈R,则下列条件可断定|a|<b的是(　　) A.a<b且-a<b B.a<b或-a<b C.a<b且a<-b D.a<b或a<-b 解析　A　由|a|<b可知b>0,则-b<a<b,等价于“a<b且-a<b”. 3.已知2<a<3,-2<b<-1,则2a+b的取值范围是(　　) A.0<2a+b<5 B.0≤2a+b≤2 C.2<2a+b<5 D.2≤2a+b≤5 解析　C　因为2<a<3,所以4<2a<6,又因为-2<b<-1,所以4-2<2a+b<6-1,即 2<2a+b<5. 4.已知a>b>c,则下列不等式一定成立的是(　　) A.a+b>c B.2a>b C.a(c2+1)>b(c2+1) D.a+c>b 解析　C　选项A:令a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,此时a+b=-1+(-2)=-3=c,故A不一定成立;选项B:令a=-1,b=-2,满足a>b,此时2a=2×(-1)=-2=b,故B不一定成立;选项C:∵a(c2+1)-b(c2+1)=(c2+1)(a-b),a>b>c,∴a-b>0,c2+1>0,∴a(c2+1)-b(c2+1)=(c2+1)(a-b)>0,即a(c2+1)>b(c2+1),故C成立;选项D:令a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,此时a+c=-1+(-3)=-4<-2=b,故D不一定成立. 5.已知实数a,b,c,若a>b>c,则下列不等式一定成立的是(　　) A.a-b>b-c B.ac>b2 C.a(a-c)>b(b-c) D.> 解析　D　由题知a>b>c,不妨取a=3,b=2,c=-1,则有a-b=1<b-c=3,ac=-3<b2=4,故选项A,B错误;关于选项C,不妨取a=-1,b=-2,c=-3,a(a-c)=-2=b(b-c)=-2,故选项C错误;关于选项D,∵a>b>c,∴a-c>b-c>0,∴>>0,故选项D正确. 6.(多选)在所给的四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0中,能推出<成立的有(　　) A.① B.② C.③ D.④ 解析　ABD　由不等式的基本性质可知①b>0>a⇒<0<,所以①为能使<成立的条件;②0>a>b,同乘,b×<×a可得<,②为能使<成立的条件;③a>0>b,可知<不成立;④a>b>0,同乘,a×>b×⇒<成立. 7.已知-2<a<-1,2<b<4,则的取值范围为　　　　　.  答案　<<2 解析　∵-2<a<-1,2<b<4,∴1<a2<4,<<,∴<<2. 8.若a>b>0,n∈N,n≥2,则　　　 .(填“>”“<”或“=”) 答案　< 解析　∵a>b>0,∴>>0,又n∈N,n≥2,∴>,∴<. 9.若a>b>0,d<c<0,求证:<. 证明　因为d<c<0, 所以-d>-c>0,dc>0. 因为a>b>0,所以-ad>-bc>0, 所以bc-ad>0, 所以-=>0,所以<. 10.已知2<a<3,-2<b<3. (1)求3a+b的取值范围; (2)求a-b的取值范围. 解　(1)∵2<a<3,-2<b<3, ∴4<3a+b<12, ∴3a+b的取值范围是{3a+b|4<3a+b<12}. (2)∵2<a<3,-2<b<3,∴-3<-b<2,∴-1<a-b<5, ∴a-b的取值范围是{a-b|-1<a-b<5}. 11.已知-1<a<2,-2<b<3,则下列不等式错误的是(　　) A.-3<a+b<5 B.-4<a-b<4 C.2<ab<6 D.a2+b2<13 解析　C　选项A:因为-1<a<2,-2<b<3,所以-3<a+b<5,故A正确;选项B:由-2<b<3,得-3<-b<2,又-1<a<2,所以-4<a-b<4,故B正确;选项C:因为-1<a<2,-2<b<3,取a=0,b=0时,此时ab=0,不满足2<ab<6,故C不正确;选项D:因为-1<a<2,故a2<4,因为-2<b<3,所以b2<9,所以a2+b2<13,故D正确. 12.已知2<a+b<5,0<a-b<1,有如下结论:①1<a<3;②1<b<2;③<b<;④-4<a-2b<2;⑤-3<a-2b<1;⑥1<2a-b<4,则下列选项正确的是(　　) A.①③④ B.①②④ C.①②⑤ D.①③⑥ 解析　D　a=(a+b)+(a-b),2<a+b<5,1<(a+b)<,0<a-b<1,0<(a-b)<,则1<a<3,①正确;b=(a+b)-(a-b),1<(a+b)<,0<(a-b)<,-<-(a-b)<0,则<b<,②错误、③正确;a-2b=-(a+b)+(a-b),-<-(a+b)<-1,0<(a-b)<,则-<a-2b<,④⑤错误;2a-b=(a+b)+(a-b),1<(a+b)<,0<(a-b)<,则1<2a-b<4,⑥正确.故正确的是①③⑥. 13.设x,y∈R,使>和>同时成立的一个充分条件是　　　　.  答案　y>x>1(答案不唯一) 解析　根据不等式的性质可知,当y>x>0时,>和>同时成立, 所以“y>x>0”是“>和>同时成立”的充分条件, 即只要满足y>x>0,就均是“>和>同时成立”的充分条件, 所以充分条件可以是y>x>1. 14.已知实数x,y满足-1≤x+y≤4,2≤x-y≤3,求t=3x-2y的取值范围. 解　设3x-2y=m(x+y)+n(x-y)=(m+n)x+(m-n)y, 故解得 所以3x-2y=(x+y)+(x-y). 因为-1≤x+y≤4,2≤x-y≤3, 所以-≤(x+y)≤2,5≤(x-y)≤, 所以≤(x+y)+(x-y)≤, 即≤3x-2y≤, 因此,t=3x-2y的取值范围是. 15.(多选)设[x]表示不超过x的最大整数,如[2.6]=2,[-3.2]=-4,则当x,y∈R时,下列说法正确的是(　　) A.0≤x-[x]<1 B.[x]-[y]≤[x-y] C.[[3x]-3[x]]≤1 D.[x+y]≤[x]+[y]+1 解析　AD　对于A,因为[x]表示不超过x的最大整数,所以0≤x-[x]<1,故A正确;对于B,取x=-2.6,y=1.5,则[x]=-3,[y]=1,得[x]-[y]=-3-1=-4,[x-y]=[-2.6-1.5]=-5,故B错误;对于C,取x=0.9,[3x]=[2.7]=2,3[x]=3[0.9]=0,得[[3x]-3[x]]=2,故C错误;对于D,设x=[x]+n(0≤n<1),y=[y]+m(0≤m<1),则[x+y]=[[x]+n+[y]+m]=[x]+[y]+[m+n],而0≤m+n<2,当0≤m+n<1时,[m+n]=0,此时[x+y]=[x]+[y]<[x]+[y]+1;当1≤m+n<2时,[m+n]=1,此时[x+y]=[x]+[y]+1,综上,[x+y]≤[x]+[y]+1,故D正确. 16.设a,b为正实数,有下列命题: ①若a2-b2=1,则a-b<1; ②若-=1,则a-b<1; ③若|-|=1,则|a-b|<1. 其中正确的命题为　　　　.(写出所有正确命题的序号)  答案　① 解析　对于①,由题意a,b为正实数,则a2-b2=1⇒a-b=⇒a-b>0⇒a>b>0,故a+b>a-b>0.若a-b≥1,则≥1⇒a+b≤1≤a-b,这与a+b>a-b>0矛盾,故a-b<1成立,①正确;对于②,取特殊值,a=3,b=,则a-b>1,②错误;对于③,取a=9,b=4,则|a-b|>1,③错误. 学科网（北京）股份有限公司 $