2.2基本不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.2 基本不等式 讲义 目录 知识点 1 知识点1 基本不等式 1 知识点2 两个常用最值结论 2 知识点3 常见解题思想 2 随学随练 2 典型题型 2 题型1：利用基本不等式比较大小 2 题型2：利用基本不等式证明简单不等式 3 题型3：基本不等式求积的最大值（和定求积最大） 3 题型4：基本不等式求和的最小值（积定求和最小） 4 题型5：条件等式约束下求最值 4 题型6：基本不等式的恒成立问题 5 题型7：基本不等式实际应用问题 5 课后综合练习 6 答案与详细解析 7 随学随练解析 7 本章复习小结 9 教学目标 课标要点 · 理解基本不等式 的推导过程，明确成立条件； · 会用基本不等式比较代数式大小； · 利用基本不等式证明简单不等式； · 掌握“一正、二定、三相等”，求解积、和的最值； · 会处理条件等式约束下的最值、恒成立问题； · 能够解决基本不等式的简单实际应用问题。 学习重难点 重点： · 基本不等式内容以及“一正二定三相等”； · 和定求积最大、积定求和最小；条件等式求最值。 难点： · 等号成立条件的检验；配凑定值技巧； · 恒成立问题转化；实际应用题建模。 知识点 知识点1 基本不等式 1. 重要不等式：对任意实数 ，有 · 当且仅当 时取等号。 1. 基本不等式：若 ，则 · 其中 叫做的算术平均数，叫做的几何平均数。 当且仅当 时取等号。 使用三条件：一正，二定，三相等 1. 一正：参与运算的数 均为正数； 1. 二定：和为定值或者积为定值； 1. 三相等：必须检验等号能够取到（变量存在实数使得）。 知识点2 两个常用最值结论 1. 积定求和最小：若 ，（定值），则 · 当且仅当 时， 取得最小值 。 1. 和定求积最大：若 ，（定值），则 · 当且仅当 时， 取得最大值 。 知识点3 常见解题思想 1. 配凑：对代数式变形，构造出和或者积为定值； 1. 恒成立：恒成立 ； 恒成立 ； 1. 实际问题：设变量，建立函数，利用基本不等式求最值，最后检验等号、写出实际意义。 随学随练 1. （24‑25高一上·月考）若，则 。 1. 已知，，则最大值为 。 1. 基本不等式 成立的条件： 。 典型题型 题型1：利用基本不等式比较大小 解题贴士 1. 满足，直接用算术平均数几何平均数； 1. 注意条件，如果不满足正数，不能直接套用基本不等式。 例1（24‑25高一上·杭州期中）已知，，比较 与 的大小。 解析：由基本不等式 ，，等号取不到。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·苏州月考）已知，比较 与 的大小。 1. （24‑25高一上·福州期中）若，比较 与 。 1. （25‑26高一上·成都阶段检测）设，比较 与 的大小。 题型2：利用基本不等式证明简单不等式 解题贴士 1. 先保证变量为正；合理使用或者； 1. 多次使用不等式时，注意等号同时成立的条件。 例2（24‑25高一上·济南期中）已知，求证：。 证明：由 ，展开： 当且仅当 即 取等。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·天津月考）已知，求证：。 1. （24‑25高一上·武汉期中）已知，求证：。 1. （25‑26高一上·西安阶段检测）已知，求证：。 题型3：基本不等式求积的最大值（和定求积最大） 解题贴士 1. 条件：一正；和为定值；检验等号可取得； 1. ，，。 例3（24‑25高一上·南京期中）已知，，求的最大值。 解析： 当且仅当 取等。故最大值。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·石家庄月考）若，，求最大值 。 1. （24‑25高一上·郑州期中）已知，求的最大值 。 1. （25‑26高一上·重庆阶段检测）已知，，，求最大值 。 题型4：基本不等式求和的最小值（积定求和最小） 解题贴士 1. 条件：一正；积为定值；检验等号； 1. ，，。 例4（24‑25高一上·合肥期中）已知，求 的最小值。 解析：，积 为定值。 当且仅当 取等。最小值。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·沈阳月考），求 的最小值 。 1. （24‑25高一上·哈尔滨期中）已知，求 的最小值 。 1. （25‑26高一上·昆明阶段检测）若，求 的最小值 。 题型5：条件等式约束下求最值 解题贴士 1. 已知等式约束，常用“乘1法”配凑，构造和或者积为定值； 1. 必须保证变量大于0，检验等号成立条件。 例5（24‑25高一上·厦门期中）已知，，求 的最小值。 解析： 当且仅当 ，结合取等。最小值。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·长沙月考）已知，，求最小值 。 1. （24‑25高一上·南宁期中）已知，，求最小值 。 1. （25‑26高一上·济南阶段检测）已知，，求 的最小值 。 题型6：基本不等式的恒成立问题 解题贴士 1. 恒成立等价于 ； 1. 恒成立等价于 ； 1. 先求函数最值，再解参数范围。 例6（24‑25高一上·南昌期中）已知，恒成立，求实数的取值范围。 解析：，，，故 。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·太原月考），恒成立，求的取值范围 。 1. （24‑25高一上·贵阳期中）已知，恒成立，求的取值范围 。 1. （25‑26高一上·兰州阶段检测），恒成立，求的取值范围 。 题型7：基本不等式实际应用问题 解题贴士 1. 设变量，写出目标函数，注意变量实际取值范围； 1. 一正二定三相等求最值；最后写出实际答案。 例7（24‑25高一上·广州期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，求矩形面积最大值。 解析：设长，宽，，。 当且仅当，正方形，面积最大。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·南宁月考）篱笆总长围成矩形，求矩形最大面积 。 1. （24‑25高一上·呼和浩特期中）某工厂要造一个容积为的无盖长方体盒子，底面为正方形，底面边长，高，，求底面与侧面面积之和最小值。 1. （25‑26高一上·福州阶段检测）某商店销售商品，总销售额固定，单价，销量，，求的最小值。 课后综合练习 1. 已知，求 的最小值。 1. 已知，，求的最大值。 1. 已知，，求最小值。 1. ，求 的最小值。 1. 已知，恒成立，求取值范围。 1. 用篱笆30围矩形菜园，求矩形最大面积。 1. 求证：，则 。 答案与详细解析 随学随练解析 1. ；解析：。 1. ；解析：。 1. 。 题型1解析 对点练1解析 1. ，，当且仅当取等。 1. ，，当且仅当取等。 1. ，当且仅当取等。 题型2解析 对点练2解析 1. ，，当且仅当取等，得证。 1. · 当且仅当取等，得证。 1. ，，当且仅当取等，得证。 题型3解析 对点练3解析 1. ，取等。 1. ，，取等。 1. ，，取等。 题型4解析 对点练4解析 1. ，取等。 1. ，，当且仅当取等。 1. ，当且仅当取等。 题型5解析 对点练5解析 1. ，最小值。 2. ，最小值。 3. ，最小值。 题型6解析 对点练6解析 1. ，最小值，。 1. ，，最大值，。 1. ，，最小值，。 题型7解析 对点练7解析 1. ，。 1. ，总面积 · 最小值。 1. ，，最小值。 课后练习解析 1. ，取等。 1. ，取等。 1. · 最小值。 1. ， 1. ，最小值，。 1. ，。 1. ，，，当且仅当取等，得证。 本章复习小结 · 基本不等式：，当且仅当取等； · 解题三要素：一正，二定，三相等，等号必须检验； · 和定积最大；积定和最小； · 条件等式常用“乘1法”配凑定值； · 恒成立转化：求函数最值再处理参数范围； · 实际应用题，先建模，注意变量实际取值。 学科网（北京）股份有限公司 $