2.1等式性质与不等式性质讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质 讲义 目录 知识点 1 知识点1 不等关系与不等式 1 知识点2 两个实数大小关系（作差法理论依据） 1 知识点3 等式的基本性质 2 知识点4 不等式的基本性质 2 随学随练 3 典型题型 3 题型1：用不等式（组）表示不等关系 3 题型2：作差法比较代数式的大小 3 题型3：作商法比较代数式的大小（正数） 4 题型4：由已知条件判断所给不等式是否正确 4 题型5：由不等式的性质比较数（式）大小 5 题型6：由不等式的性质证明不等式 5 课后综合练习 6 答案与详细解析 7 本章复习小结 9 教学目标 课标要点 · 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系； · 掌握作差法、作商法比较两个代数式的大小； · 理解等式的基本性质； · 掌握不等式的8条基本性质，理解每条性质成立条件； · 会利用不等式性质判断、比较大小、简单证明不等式。 学习重难点 重点： · 用不等式表示不等关系；作差法比较大小； · 不等式的基本性质。 难点： · 作商法比较大小的前提条件（符号限制）； · 不等式两边同乘负数要改变不等号方向； · 利用不等式性质证明简单不等式。 知识点 知识点1 不等关系与不等式 现实世界和数学中存在大量不等关系，可以用不等式来刻画。 ，，，。 含义： 或者 ； 含义： 或者 。 知识点2 两个实数大小关系（作差法理论依据） 对任意实数 ： 作差法步骤：作差变形（因式分解、配方）判断符号得出大小结论。 作商法（适用前提：） 注意：作商法只适合正数，若为负数不能直接使用。 知识点3 等式的基本性质 1. 对称性：若 ，则 。 1. 传递性：若 ，则 。 1. 可加性：若 ，则 。 1. 可乘性：若 ，则 。 1. 若 ，则 。 知识点4 不等式的基本性质 1. 对称性：。 1. 传递性：若 ，则 。 1. 可加性：。 1. 可乘性： 1. 同向可加：。 1. 同向同正可乘：。 1. 乘方：。 1. 开方：。 易错提醒 · 不等式两边同时乘负数，不等号方向必须反转； · 同向不等式只能相加，不能直接相减；同向正数才可相乘； · 乘方、开方性质要求两边均为正数。 随学随练 1. （24‑25高一上·期中）某实数大于且小于等于，用不等式表示： 。 1. 比较大小： （用作差法）。 1. 已知，则 ；若，则 。 典型题型 题型1：用不等式（组）表示不等关系 解题贴士 1. 读懂文字描述：大于、小于、不大于、不小于、至多、至少； 1. “至多”对应，“至少”对应； 1. 多个约束条件用不等式组。 例1（24‑25高一上·广州期中）用不等式表示： (1)实数大于等于； (2)是小于的正数。 解析：(1)；(2)。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·南京月考）某量不小于，用不等式表示 。 1. （24‑25高一上·杭州期中）某同学考试分数高于分，不超过分，写出不等式 。 1. （25‑26高一上·成都阶段检测）实数的绝对值不大于，写出对应的不等式 。 题型2：作差法比较代数式的大小 解题贴士 1. 作差；因式分解或者配方变形；判断差与0大小；得出结论； 1. 配方经常出现完全平方，平方具有非负性。 例2（24‑25高一上·武汉期中）用作差法比较 与 的大小。 所以 。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·长沙月考）用作差法比较 与 的大小。 1. （24‑25高一上·福州期中）比较 与 的大小。 1. （25‑26高一上·重庆阶段检测）已知，比较 与 的大小。 题型3：作商法比较代数式的大小（正数） 解题贴士 1. 前提条件：两个数都为正数； 1. 作商，把商和比较大小；得到原始两数大小。 1. 如果有负数，不能直接使用作商法。 例3（24‑25高一上·济南期中）已知 ，且，用作商法比较 与 的大小。 解析：。 若，； 若，。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·石家庄月考）已知，用作商法比较 与的大小。 1. （24‑25高一上·郑州期中）已知，比较 与 的大小。 1. （25‑26高一上·西安阶段检测）已知，比较 与 的大小（作商法）。 题型4：由已知条件判断所给不等式是否正确 解题贴士 1. 紧扣不等式性质，注意乘除时正负符号； 1. 判断错误举反例即可。 例4（24‑25高一上·天津期中）已知，判断下列命题是否正确： (1)；(2)。 解析：(1)错误；当时不等号反向；(2)正确，不等式可加性。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·合肥月考）已知，判断：是否正确，若错误举反例。 1. （24‑25高一上·沈阳期中）已知，判断正误：。 1. （25‑26高一上·哈尔滨阶段检测）已知，判断： 是否正确。 题型5：由不等式的性质比较数（式）大小 解题贴士 1. 利用传递性、同向可加、同向同正可乘； 1. 注意条件，缺少正数条件不能乱用乘方、开方。 例5（24‑25高一上·苏州期中）已知 ，比较 与 的大小。 解析：根据同向同正可乘性质，。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·宁波月考）已知，比较与大小。 1. （24‑25高一上·厦门期中）已知，，比较与大小。 1. （25‑26高一上·昆明阶段检测）已知，比较与的大小。 题型6：由不等式的性质证明不等式 解题贴士 1. 严格使用不等式性质，每一步写出依据； 1. 不能随意使用未证明的结论。 例6（24‑25高一上·长沙期中）已知，求证：。 证明： 两边同乘，，得到，即。 对点练（举一反三） 1. （24‑25高一上·济南月考）已知，求证：。 1. （24‑25高一上·武汉期中）已知，，求证：。 1. （25‑26高一上·南宁阶段检测）已知，，求证：。 课后综合练习 1. （24‑25高一上·郑州期中）是不小于，且小于的实数，用不等式表示。 1. 用作差法，比较 与 的大小。 1. 已知，用作商法比较 与（设）。 1. （24‑25高一上·太原期中）已知，判断命题“”是否正确，举反例。 1. 已知，比较与的大小。 1. 已知，，求证：？若不正确说明理由。 答案与详细解析 随学随练解析 1. 。 1. ，。 1. ；。 题型1解析 对点练1解析 1. 。 1. 。 1. （等价：）。 题型2解析 对点练2解析 1. ，，当且仅当取等。 · 。 · 。 题型3解析 对点练3解析 1. ，，。 1. ​ 1. ，，。 题型4解析 对点练4解析 1. 错误；反例：，，。 1. 正确；不等式可加性。 1. 错误；，取倒数。 题型5解析 对点练5解析 1. ，正数乘方性质，。 1. 同向可加：。 1. ，绝对值，平方。 题型6解析 对点练6解析 1. 证明：，两边加5，。 1. 证明：，，不等式可乘性，同乘正数不等号方向不变，得。 1. 证明：，，不等式可乘性，同乘负数不等号反向，。 课后练习解析 1. 。 1. ，。 1. ， 1. 错误；时，。 1. ，正数乘方性质，。 1. 不正确；同向不等式只可以相加，不能相减。反例：，，，，，。 本章复习小结 · 作差法万能，实数都可以用；作商法仅适合正数； · 不等式乘除：正数不改变不等号；负数必须反转不等号； · 同向不等式只能相加，不能直接相减；同向同正才可相乘； · 乘方开方性质前提：两边均为正数； · 判断命题错误，举出一个反例即可否定。 学科网（北京）股份有限公司 $