2.1 第1课时 不等关系与不等式 培优讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 [学习目标] 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会作差法比较两实数的大小. [情境导入] 　　大家知道,相等关系和不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的数量关系,比如说:长与短、远与近的比较;同学们之间高与矮、轻与重的比较;国家人口的多少、面积大小的比较.正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”. 知识点一　不等关系与不等式 1.在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和_______,常用_______来研究含有不等关系的问题. 2.用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式,以表示不等关系.“a≠b”应包含“_______”或“_______”. 微点拔　常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于,高 于,超过 小于,低 于,少于 大于等于,至 少,不低于 小于等于,至 多,不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ [例1]　用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系. [感悟升华]　 利用不等式(组)表示不等关系的步骤 1.审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等于…… 2.设未知数表示变量. 3.用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式(组). 【注意】　实际问题中要注意实际意义对变量的限制. [跟踪训练] 1.将一根长为5 m的绳子截成两段,已知其中一段的长度为x m,若两段绳子长度之差不小于1 m,则x所满足的不等关系为(　　) A. B.2x-5≥1或5-2x≥1 C. D. 知识点二　作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔_______; a=b⇔_______; a<b⇔_______ 结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的_____与_____的大小 微点拔　(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小. [例2]　(1)(湘教版必修第一册例题)比较(x+1)(x+3)与(x+2)2的大小. (2)比较p=(a2+a+1)-1与q=a2-a+1的大小关系. [变式探究]　对于本例(2),你还有什么方法比较p与q的大小? [感悟升华]　作差法比较两个实数(代数式)大小的基本步骤 [跟踪训练] 2.(人教B版必修第一册例题)比较x2-x和x-2的大小. 知识点三　重要不等式 重要不等式:一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥_______,当且仅当_______时,等号成立. [例3]　已知a>0,b>0. (1)求证:a2+3b2≥2b(a+b); (2)求证:a3+b3≥ab2+a2b. [感悟升华] 1.比较两个数的大小或证明不等式,最基本的方法是利用作差法,其关键是作差变形,判断符号. 2.不等式a2+b2≥2ab对于任意实数a,b均成立,当且仅当a=b时,等号成立,用其证明不等式时注意说明. [跟踪训练] 3.已知a>0,b>0,c>0,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. [课堂小结] 1.知识清单: (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)重要不等式. 2.方法归纳:作差法. 3.常见误区:忽略实际问题中变量的实际意义对变量的限制. [随堂练习] 1.某投资方对某项目提出两个投资方案:方案一为一次性投资1 000万元;方案二为第一年投资200万元,以后每年投资30万元.下列不等式表示“经过n年后,方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是(　　) A.30n+170≤1 000 B.30n+170≥1 000 C.30n+200≥1 000 D.30n+170>1 000 2.大桥头竖立的“限重40 t”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使货车总重量T不超过40 t,用不等式表示为(　　) A.T<40 B.T>40 C.T≤40 D.T≥40 3.若a≠3,则M=a2-6a的值与-9的大小关系是(　　) A.M=-9 B.M<-9 C.M>-9 D.不能确定 4.若实数a>b,则a2-ab　　　　ba-b2(填“>”或“<”).  [课时精练] [基础达标] 1.已知某矩形的周长为24,且其中一条边长为x,则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是(　　) A.x(12-x)>20 B.x(12-x)≥20 C.x(24-x)>20 D.x(24-x)≥20 2.已知M=(2x-1)2,N=3x2-4,则M与N的大小关系正确的是(　　) A.M<N B.M≤N C.M>N D.M≥N 3.铁路总公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm,且体积不超过72 000 cm3,设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学关系式可表示为(　　) A.a+b+c<130且abc<72 000 B.a+b+c>130且abc>72 000 C.a+b+c≤130且abc≤72 000 D.a+b+c≥130且abc≥72 000 4.已知四个实数a,2a,a2,2a2.当0<a<1时,这四个实数中的最大者是(　　) A.a B.2a2 C.2a D.a2 5.若x>0,y>0,则p=与q=x+y的大小关系是(　　) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q 6.若a,b,m都是正数,则不等式>成立的条件是(　　) A.a>b B.b>a C.a>m D.m>b 7.某商品包装上标有重量500±1 g,若用x(单位:g)表示商品的重量,则该商品的重量用不等式表示为　　　　.  8.比较大小:+1　 　 .(填“>,<或=”)  9.若a>b>0,比较与的大小. 10.设a>0,b>0,求证:a5+b5≥a4b+ab4. [能力提升] 11.英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于任意非零实数a和b,若a<b,则下列命题是真命题的是(　　) A.a2<b2 B.ab2<a2b C.< D.< 12.数学来源于生活,又服务于生活.小明和小亮均两次购买同一种文娱用品时,小明不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;小亮不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.假设所购物品的价格发生波动,则(　　) A.两位中省钱小能手是小明 B.两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C.两位中省钱小能手是小亮 D.两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 13.有学生若干名,住若干间宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,则宿舍间数和学生人数分别为　　　　.  14.已知实数a,b满足a>b,求证:a3-b3>a2b-ab2. [创新演练] 15.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题:今有出钱五百七十六,买竹七十八,欲其大小率之,向各几何?其意是:今有人出钱576,买竹子78根,拟分大、小两种竹子为单位进行计算,每根大竹子比小竹子贵1钱,问买大、小竹子各多少根?每根竹子单价各是多少钱?则在这个问题中大竹子每根的单价可能为(　　) A.6钱 B.7钱 C.8钱 D.9钱 16.已知a>1,b>1,M=+,N=+,试比较M与N的大小,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.1　等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 [学习目标] 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会作差法比较两实数的大小. [情境导入] 　　大家知道,相等关系和不等关系是数学中、也是日常生活中最基本的数量关系,比如说:长与短、远与近的比较;同学们之间高与矮、轻与重的比较;国家人口的多少、面积大小的比较.正所谓“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”. 知识点一　不等关系与不等式 1.在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,常用不等式来研究含有不等关系的问题. 2.用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式,以表示不等关系.“a≠b”应包含“a>b”或“a<b”. 微点拔　常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字 语言 大于,高 于,超过 小于,低 于,少于 大于等于,至 少,不低于 小于等于,至 多,不超过 符号 语言 > < ≥ ≤ [例1]　用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18 m,要求菜园的面积不小于110 m2,靠墙的一边长为x m.试用不等式表示其中的不等关系. [思路点拨] 根据题意可得0<x≤18,以及菜园面积S=x,即可得不等关系. 解　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m,而墙长为18 m,所以0<x≤18, 这时菜园的另一条边长为=m. 因此菜园面积S=x,依题意有S≥110,即x≥110, 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 [感悟升华]　 利用不等式(组)表示不等关系的步骤 1.审清题意,明确表示不等关系的关键词语:至多、至少、大于等于…… 2.设未知数表示变量. 3.用不等号表示关键词语,并连接变量得不等式(组). 【注意】　实际问题中要注意实际意义对变量的限制. [跟踪训练] 1.将一根长为5 m的绳子截成两段,已知其中一段的长度为x m,若两段绳子长度之差不小于1 m,则x所满足的不等关系为(　　) A. B.2x-5≥1或5-2x≥1 C. D. 解析　D　由题意,可知另一段绳子的长度为(5-x)m.因为两段绳子长度之差不小于1 m,所以化简得 知识点二　作差法比较大小 基本事实 依据 a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0; a<b⇔a-b<0 结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小 微点拔　(1)利用作差法比较大小,只需判断差的符号,通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值,也可采用作商的方法,比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小. (教材例1)比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 解　因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2>0, 所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4). [例2]　(1)(湘教版必修第一册例题)比较(x+1)(x+3)与(x+2)2的大小. (2)比较p=(a2+a+1)-1与q=a2-a+1的大小关系. [思路点拨]　作差→变形→判断差的符号→确定大小关系 解　(1)因为(x+1)(x+3)-(x+2)2 =(x2+4x+3)-(x2+4x+4)=-1<0, 所以(x+1)(x+3)<(x+2)2. (2)q-p=a2-a+1-(a2+a+1)-1 =a2-a+1- ==≥0, 故p≤q,当且仅当a=0时,取等号. [变式探究]　对于本例(2),你还有什么方法比较p与q的大小? 解　可以用作商法比较p与q的大小. p=(a2+a+1)-1==>0,q=a2-a+1=+>0, 则==(a2-a+1)(a2+a+1)=(a2+1)2-a2=(a2)2+a2+1≥1. 故p≤q,当且仅当a=0时,取等号. [感悟升华]　作差法比较两个实数(代数式)大小的基本步骤 [跟踪训练] 2.(人教B版必修第一册例题)比较x2-x和x-2的大小. 解　因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1, 又因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,从而(x2-x)-(x-2)>0, 因此x2-x>x-2. 知识点三　重要不等式 重要不等式:一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. [例3]　已知a>0,b>0. (1)求证:a2+3b2≥2b(a+b); (2)求证:a3+b3≥ab2+a2b. 证明　(1)因为a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0, 当且仅当a=b时,等号成立, 所以a2+3b2≥2b(a+b). (2)因为a3+b3-(ab2+a2b) =a3+b3-ab2-a2b =a3-ab2+b3-a2b=a(a2-b2)+b(b2-a2) =(a2-b2)(a-b)=(a+b)(a-b)2, 因为a>0,b>0,所以(a+b)(a-b)2≥0,当且仅当a=b时,等号成立, 所以a3+b3-(ab2+a2b)≥0, 所以a3+b3≥ab2+a2b. [感悟升华] 1.比较两个数的大小或证明不等式,最基本的方法是利用作差法,其关键是作差变形,判断符号. 2.不等式a2+b2≥2ab对于任意实数a,b均成立,当且仅当a=b时,等号成立,用其证明不等式时注意说明. [跟踪训练] 3.已知a>0,b>0,c>0,求证:a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 证明　∵a2+b2≥2ab　①, b2+c2≥2bc　②, c2+a2≥2ac　③, ①+②+③,得2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac. ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时,等号成立). [课堂小结] 1.知识清单: (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)重要不等式. 2.方法归纳:作差法. 3.常见误区:忽略实际问题中变量的实际意义对变量的限制. [随堂练习] 1.某投资方对某项目提出两个投资方案:方案一为一次性投资1 000万元;方案二为第一年投资200万元,以后每年投资30万元.下列不等式表示“经过n年后,方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是(　　) A.30n+170≤1 000 B.30n+170≥1 000 C.30n+200≥1 000 D.30n+170>1 000 解析　B　由题意,经过n年后,方案二的总投资为200+30(n-1)=(30n+170)万元,则“经过n年后,方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为30n+170≥1 000. 2.大桥头竖立的“限重40 t”的警示牌,是指示司机要安全通过该桥,应使货车总重量T不超过40 t,用不等式表示为(　　) A.T<40 B.T>40 C.T≤40 D.T≥40 解析　C　由题可得T≤40. 3.若a≠3,则M=a2-6a的值与-9的大小关系是(　　) A.M=-9 B.M<-9 C.M>-9 D.不能确定 解析　C　由M-(-9)=a2-6a+9=(a-3)2,因为a≠3,故(a-3)2>0,即得M=a2-6a>-9. 4.若实数a>b,则a2-ab　　　　ba-b2(填“>”或“<”).  答案　> 解析　因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a-b)2>0.故a2-ab>ba-b2. [课时精练] [基础达标] 1.已知某矩形的周长为24,且其中一条边长为x,则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是(　　) A.x(12-x)>20 B.x(12-x)≥20 C.x(24-x)>20 D.x(24-x)≥20 解析　B　设矩形面积为S,则S=x·=x(12-x)≥20,故表示“该矩形的面积不小于20”的是x(12-x)≥20. 2.已知M=(2x-1)2,N=3x2-4,则M与N的大小关系正确的是(　　) A.M<N B.M≤N C.M>N D.M≥N 解析　C　依题意,M-N=(2x-1)2-(3x2-4)=x2-4x+5=(x-2)2+1>0,所以 M>N. 3.铁路总公司关于乘车行李规定如下:乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130 cm,且体积不超过72 000 cm3,设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a,b,c(单位:cm),这个规定用数学关系式可表示为(　　) A.a+b+c<130且abc<72 000 B.a+b+c>130且abc>72 000 C.a+b+c≤130且abc≤72 000 D.a+b+c≥130且abc≥72 000 解析　C　由长、宽、高之和不超过130 cm得a+b+c≤130,由体积不超过72 000 cm3得abc≤72 000. 4.已知四个实数a,2a,a2,2a2.当0<a<1时,这四个实数中的最大者是(　　) A.a B.2a2 C.2a D.a2 解析　C　由0<a<1,得2a-a=a>0,则2a>a;2a-a2=a(2-a)>0,则2a>a2;2a-2a2=2a(1-a)>0,则2a>2a2,所以这四个实数中的最大者是2a. 5.若x>0,y>0,则p=与q=x+y的大小关系是(　　) A.p≥q B.p≤q C.p>q D.p<q 解析　B　由题意有p-q=-(x+y)=,因为x>0,y>0,所以x+y>0,-(x-y)2≤0,所以p-q≤0,即p≤q. 6.若a,b,m都是正数,则不等式>成立的条件是(　　) A.a>b B.b>a C.a>m D.m>b 解析　B　>⇒->0⇒-=>0,因为a,b,m都是正数,所以要使不等式成立,只需b-a>0,即b>a. 7.某商品包装上标有重量500±1 g,若用x(单位:g)表示商品的重量,则该商品的重量用不等式表示为　　　　.  答案　499≤x≤501 解析　∵商品包装上标有重量500±1 g, 若用x表示商品的重量,则-1≤x-500≤1,∴499≤x≤501. 8.比较大小:+1　 　 .(填“>,<或=”)  答案　> 解析　因为(+1)2=6+2,()2=10,又2=>=4,所以6+2>6+4=10.所以(+1)2>()2,所以+1>. 9.若a>b>0,比较与的大小. 解　因为a>b>0, 所以有-===<0, 即-<0⇒<. 10.设a>0,b>0,求证:a5+b5≥a4b+ab4. 证明　a5+b5-(a4b+ab4)=(a5-a4b)+(b5-ab4)=a4(a-b)+b4(b-a) =(a4-b4)(a-b)=(a2+b2)(a2-b2)(a-b)=(a2+b2)(a+b)(a-b)2, 因为a>0,b>0,所以a+b>0,a2+b2>0,(a-b)2≥0,当且仅当a=b时等号成立, 所以(a2+b2)(a+b)(a-b)2≥0. 所以a5+b5≥a4b+ab4. [能力提升] 11.英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.对于任意非零实数a和b,若a<b,则下列命题是真命题的是(　　) A.a2<b2 B.ab2<a2b C.< D.< 解析　C　对于A,因为a2-b2=(a+b)(a-b),又a<b⇒a-b<0,但a+b符号不确定,故a2<b2未必成立,故A错误;对于B,因为ab2-a2b=ab(b-a),又a<b⇒b-a>0,但ab符号不确定,故ab2<a2b未必成立,故B错误;对于C,因为-=,由a<b⇒a-b<0,根据题意有a2b2>0,所以<0,故<成立,故C成立;对于D,因为-==,由a<b⇒b-a>0,但b+a,ab的符号均不能确定,所以<未必成立,故D错误. 12.数学来源于生活,又服务于生活.小明和小亮均两次购买同一种文娱用品时,小明不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;小亮不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.假设所购物品的价格发生波动,则(　　) A.两位中省钱小能手是小明 B.两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C.两位中省钱小能手是小亮 D.两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 解析　C　设第一次所购物品的价格为p1,第二次所购物品的价格为p2,小明单次购买物品的数量为n,则小明两次所购物品的平均价格为=.设小亮单次购买物品所花的钱数为m,第一次购买物品的数量为,第二次购买物品的数量为,则小亮两次所购物品的平均价格为=.因为-=-==≥0,但p1≠p2,等号不能取到,所以小明两次所购物品的平均价格大于小亮两次所购物品的平均价格,故小亮是省钱小能手. 13.有学生若干名,住若干间宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,则宿舍间数和学生人数分别为　　　　.  答案　10,59或11,63或12,67 解析　设宿舍有x间,则学生有(4x+19)人,依题意,得解得<x<. ∵x∈N*,∴x=10,11或12, ∴学生人数分别为59,63,67. 故宿舍间数和学生人数分别为10,59或11,63或12,67. 14.已知实数a,b满足a>b,求证:a3-b3>a2b-ab2. 证明　a3-b3-(a2b-ab2)=a3+ab2-(b3+a2b)=a(a2+b2)-b(a2+b2)=(a-b)(a2+b2), 因为a>b,所以(a-b)(a2+b2)>0,所以a3-b3>a2b-ab2. [创新演练] 15.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题:今有出钱五百七十六,买竹七十八,欲其大小率之,向各几何?其意是:今有人出钱576,买竹子78根,拟分大、小两种竹子为单位进行计算,每根大竹子比小竹子贵1钱,问买大、小竹子各多少根?每根竹子单价各是多少钱?则在这个问题中大竹子每根的单价可能为(　　) A.6钱 B.7钱 C.8钱 D.9钱 解析　C　依题意可设买大竹子x根,每根单价为m钱,则买小竹子(78-x)根,每根单价为(m-1)钱,所以576=mx+(78-x)·(m-1),即78m+x=654,即x=6(109-13m),因为0≤x≤78,所以即所以≤m≤,根据选项知 m=8,x=30,所以买大竹子30根,每根8钱. 16.已知a>1,b>1,M=+,N=+,试比较M与N的大小,并说明理由. 解　由题意,M-N=+--=-= =-, 因为a>1,b>1,所以a-1>0,b-1>0,a+b>0,(a-b)2≥0, 所以M-N=-≤0, 即M≤N, 当且仅当a=b时,M=N,所以M≤N. 学科网（北京）股份有限公司 $