2.1 第1课时 不等关系与不等式-【创新教程】2026-2027学年高中数学必修第一册五维课堂同步复习（人教A版）

数学·必修第一册 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 第1课时不等关系与不等式 课程标准 素养解读 1.用不等式（组）表示不等关系及两个实1.通过运用不等式（组）表示实际问题的不等关系及比较 数大小的关系 两个实数的大小提升数学抽象及数学运算素养 2.实际问题中不等关系的确定 2.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题， 3.作差法比较两个数的大小 提升逻辑推理及数学运算素养 课前。预习学案 [情境引入] 3.本质：现实世界和日常生活中的不等关系在 在日常生活中，糖水中加些 数量关系上的反映，这种不等关系可以用不 糖后就会变的更甜，你能根据这 等式来表示.应用：描述现实世界和日常生 一事实表示出糖水浓度不等 活中的不等关系。 式吗？ 2思考1.3≤3成立吗？ [知识梳理] 知识点二] 比较两个实数a,b大小的依据 [知识点一]不等式与不等关系 1.不等式的概念 文字语言 符号表示 我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两 如果a>b,那么a一b是正 a>b台 个数或代数式，以表示它们之间的 数，反之亦然 如果a<b,那么a一b是负 含有这些不等号的式子叫做不等式 a<b台 数，反之亦然 2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换， 如果a=b,那么a一b等于 a=b台 大于或 小于或等 0,反之亦然 文字 大于，高 小于，低 等于，至 于，至多，不 配思考2.在比较两实数a,b大小的依据中， 语言 于，超过 于，少于 少，不 多于，不 a,b两数是任意实数吗？ 低于 超过 3.p台q的含义是什么？ 符号 语言 34 第二章一元二次函数、方程和不等式 [预习自测] 170≤x+y≤190， 1.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人 z<y 500元，请瓦工共需付工资每人400元，现 170x+y190, B. 有工人工资预算20000元，设木工x人，瓦 I>y 工y人，则工人满足的关系式是 ( ) 170<x+y190, A.5x+4y<200 B.5.x+4y≥200 I<y C.5x+4y=200 D.5.x+4y≤200 170<x+y≤190， 2.在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大 r>y 于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于 3.雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面 170,且不大于190.设甲班和乙班的分数分 温度的4.5倍还要高.设太阳表面温度为t 别为x,y,则用不等式组表示为 》 ℃，那么t应满足的关系式是 课堂。互动学案 题型一“用不等式（组）表示不等关系 题型三 作差法比较大小 [例1]某钢铁厂要把长度为4000mm的钢 [例2]设x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与 管截成500mm和600mm两种.按照生产 (x2-y2)·(x+y)的大小. 的要求600mm钢管的数量不能超过 [思路点拨作差，判断差与0的大小关系” 500mm钢管数量的3倍，写出满足所有上 述不等关系的不等式（组）. [思路点拨]读懂题意，把实际问题转化 为数学不等式关系 规律方法 比较大小最常用的是作差法，其步骤为： 第一步：作差并变形，其目的是应容易判断 规律方法 差的符号 将不等关系表示成不等式（组）的思路 变形有两种情形： (1)读懂题意，找准不等式所联系的量. ①将差式进行因式分解转化为几个因式 (2)用适当的不等号连接. 相乘 (3)多个不等关系用不等式组表示. ②将差式通过配方转化为几个非负数之 ◇[变式训练] 和，然后判断 1.某蔬菜收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒 第二步：判断差值与零的大小关系 运往某市销售，可租用的大卡车和农用车分 、 第三步：得出结论 别为10辆和20辆.若每辆大卡车载重8t, ⊙[变式训练] 运费960元，每辆农用车载重2.5t,运费 2.已知a,b均为正实数，试利用作差法比较 360元，运输成本之和不能超过10000元， a3+b3与a2b+ab2的大小. 据此安排两种车型，应满足哪些不等关系？ 请列出来 ·35· 数学·必修第一册 题型】 比较大小的其它方法 ⊙[变式训练] [例3]比较a%与ab(a>0且a≠1，b>0 3.已知a>0,b>0,试比较2+6与6+6的 且b≠1)的大小. 大小. [思路点找作商，判断商与1的大小. 规律方法 作商法比较大小 如果两实数同号，亦可采用作商法来比较 大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是 小于1.方法图示如下： a>0,b>0 a<0,b<0 8>1=>6 >1Aa<b 6 依据 a=1→a=b =1台a=b 6 &<1曰a<b a<1台a>b 应用 同号两数比较大小或分式、积、幂 范围 之间比较大小 (1)作商；(2)变形；(3)判断商值 步骤 与1的大小；(4)下结论 ● 随堂。步步夯实 1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为 2.（多选)下列关于不等关系的说法正确的是 120km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距 () A.某隧道入口竖立着“限高4.5米”的警示 d不得小于10m,用不等式表示 () 牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车 A.v≤120(km/h)或d≥10(m) 载货物高度h(米)满足0<h≤4.5 /v≤120(km/h) B.用不等式表示“a与b的差是非负数”为 B. d≥10(m) a-b>0 C.不等式x≥2的含义是指x不小于2 C.v≤120(km/h) D.若a<b或a=b之中有一个成立，则a≤b D.d≥10(m) 成立 ·36· 第二章一元二次函数、方程和不等式 3.某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小 5.试比较下列各组式子的大小： 李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学 (1)/x+I-√元与反-√x-I,其中x>1; 费用问题，小李所在班级学生（除小李外）决 (2)x3-2y3与xy2-2x2y,其中x>y>0. 定承担这笔费用.若每人承担12元人民币， 则多余84元；若每人承担10元，则不够；若 每人承担11元，又多出40元以上.设该班 (除小李外)共有x人，这笔开学费用共y 元，则x,y应满足的不等式组为 4.设a=2,b=7-5,c=√6-√2，则a,b,c 的大小关系是 C温馨提西 学习至此，请完成配套训练 第2课时 不等式的性质 课程标准 素养解读 通过用不等式（组）表示实际问题的不等关系、 1.掌握不等式的性质及各自成立的条件 不等式的性质提升数学抽象素养.通过作差法、 2.能利用不等式的性质比较大小或证明不 运用不等式的性质解决问题、提升数学运算素 等式 养和逻辑推理素养 课前。预习学案 [情境引入] [知识梳理] 如图为某三盆路口 [知识点一]等式的性质 交通环道的简化模型，在 1.等式的性质 某高峰时段，单位时间进 性质1 如果a=b,那么b=a 出路口A,B,C的机动车 性质2 如果a=b,b=c,那么 辆如图所示，图中x1,x2, 性质3 如果a=b,那么a士c= x?分别表示该时段单位时间通过路段AB, 性质4 如果a=b,那么ac=bc BC,CA的机动车辆数（假设：单位时间内，在 性质5 如果a=b,c≠0，那么a= 上述路段中，同一路段上驶入与驶出车辆数 相等). 2.本质：性质1,2反映了相等关系自身的特 [问题1]你能用x3,x1,x2分别表示出x1, 性，性质3,4,5是从运算角度提出的，反映 x2,x3吗？ 了等式在运算中保持的不变性， [问题2]你能判断出x1,x2,x3的大小吗？ 3.应用：处理等式运算过程中的依据 ?思考1.想一想，以前我们用等式基本性质 解决过哪些问题？ ·37数学·必修第一册 (2)该命题是全称量词命题，是假命题. 因为4x2-(2x-1+3x2)=x2-2x+1=(x-1)≥0， 所以当x=1时，4x=2x-1+3x2. 该命题的否定：3x∈R,4x2≤2x-1十3.x2. (3)该命题是存在量词命题，是真命题. 因为当x=1时，|x一2=1<2. 该命题的否定：x∈{-2，-1,0,1,2}，x-2≥2. (4)该命题是全称量词命题，是假命题.当a≠0时，方程 ax十b=0才恰有一解，该命题的否定：3a,b∈R,方程 ax十b=0无解或至少有两解. [例5][解析]①ab=0台a=0或b=0,即a,b至少有一 个为0； ②a十b=0台a,b互为相反数，则a,b可能均为0，也可能 为一正数一负数： ③a(a+b)=0台a=0,b为任意实数； ④ab>0台 1a0或0· 1b>01b<0, 即a,b同为正数或同为 负数 综上可知：(1)使a,b都为0的必要条件是①②③： (2)使a,b都不为0的充分条件是④； (3)使a,b至少有一个为0的充要条件是①， [答案](1)①②③(2)④(3)① [例6][解析]设参加数学、物理、化学小组的人数构成 的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x 人，由题意可得如图所示的Venn图. 以 B 26-6-89(15-46 国大 (13-4-x) 由全班共36名同学可得(26一6-x)十6十(15一4一6) +4+(13-4-x)+x=36, 解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人 [答案]8 变式训练 1.解析：(1)C(2)3或1[(1)易知A=1,2},又AUB =(01,2},所以集合B可以是：{0}，{0,1}，{0,2}，{0， 1,2}. (2)当m十2=5时，m=3,M={1,5,13),符合题意； 当m+4=5时，m=1或m=-1,若m=1,则M={1, 3,5},符合题意；若m=一1，则m十2=1，不满足元素的 互异性，故m=3或1.] 2.D[当m=0时，方程mx一6=0无解，B=⑦，满足B二 A:当m≠0时，B=(6},因为BCA,所以6=2或6= 72 m m 3,解得m=3或m=2.] 3.(1)D[由题意得，B={1,4,7,10},所以A∩B={1, 4}.] (2)A[由题意知CuA={2,5},所以(CuA)UB=(2, 4,5},故选A.] ·31 4.(1)B[量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是 有理数”否定后为“它的平方不是有理数”故选B.] 2)C[A中，x+z+3=(e+2)+>0,故A是 假命题：B中∈Q,子x+宁+1一定是有理数，故B 是真命题；C中，x=4,y=1时，3x-2y=10成立，故C 是真命题；对于D,当x=0时，左边=右边=0，故D为 假命题.] 5.解：由命题p为假命题，可知7p:Hx∈R,ax十2x-1 ≠0为真命题. 当a=0时，Vx∈R,2.x-1≠0显然不成立； 当a≠0时，只需△=4十4a<0→a<一1. 综上，A={ala<-1}. 选①：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则BA. 当B=心时，3m≥m十2→m≥1，满足要求； 当B≠时，3m<m十2解得m≤-3. m+2≤-1， 综上，实数m的取值范围是{mm≤-3或m≥1}. 选②：“x∈B”是“x∈CRA”的充分条件，则B二CRA,且 CRA={aa≥-1}. 当B=☑时，3m≥m十2→m≥1，满足要求： 当B≠②时，3m<m+2 3m≥-1， 解得-}≤m<1. 等上，实数m的取位范周是{mm≥吉} 选③：B∩(CRA)=0,又CRA={aa≥-1}， 则当B=财时，3m≥m十2→m≥1，满足要求： 当B≠时，3m<m+2, 1m+2≤-1， 解得m≤-3. 综上，实数m的取值范围是{mm≤一3或m>1} 6.B[由题可得参加比赛的学生共有31人，因为card(A UB)=card(A)十card(B)一card(A∩B),所以田赛和径 赛都参加的学生人数为16+23一31=8.故选B.] 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 第1课时不等关系与不等式 课前预习学案 情境引入 提示指水支甜这一现象对应的不等武为公<牛，共 中a<b,c>0. 知识梳理 知识点一、1.不等关系2.><≥≤ 知识点二、a-b>0a-b<0a-b=0 [思考] l.提示：成立，不等式“a≤b”的含义是：或者“a<b”或者“a =b”,即当“a<b”与“a=b”一个成立时，该不等式就 成立 2.提示：是. 3.提示：台g的含义是：力可以推出q,g也可以推出p,即 p与q可以互推」 预习自测 1.D2.D3.4.5t28000 课堂互动学案 [例1][解]设裁得500mm的钢管x根.裁得600mm 的钢管y根. 500x+600y≤4000， 3x≥y, 根据题意得： x≥0且x∈N. y≥0且y∈N. [例2][解](x2+y)(x-y)-(x2-y2)(x+y) =(z-y)(z2+y)-(z-y)(z+y)2 =(x-y)[(x+y2)-(x+y)] =(x-y)(-2xy) 由于x<y<0,所以x-y<0,-2xy<0, 所以(x-y)(-2xy)>0, 即(x+y)(x-y)>(x2-y2)(x+y). [[解答-。g-(台) 当u>6>0时，分>1，a-b>0, 则（后） >1,所以ab>ab; 当6>a>0时，0<分<1a-K0, 则（后） >1,所以ab>ab“; 当a=b>0时.（号）》 =1,所以ab=ab, 综上可知，ab≥ab“(当且仅当a=b时取等号) 变式训练 1.解：设租用大卡车x辆，农用车y辆， 根据题意，应满足如下的不等关系： ①两种车辆的总载重量应该不少于100t; ②运输成本之和不超过10000元： ③大卡车不能超过10辆： ④农用车不能超过20辆： ⑤x∈N,y∈N. 要同时满足以上不等关系，可以用下面的不等式组来 表示： r8x+2.5y≥100， r16x+5y≥200， 960x+360y10000, 24x+9y250, 即 0x≤10，x∈N, 0x≤10，x∈N, (0≤x≤20，y∈N, 0≤x≤20，y∈N. 2.解：：a3+b-(a2b+ab)=(a3-a2b)+(6-ab) =a2(a-b)+b(b-a) =(a-b)(a2-b)=(a-b)2(a+b). 当a-b=0,即a=b时，a3+b3=ab+ab: 当a一b≠0，即a≠b时， (a-b)2>0,a+b>0,a3+b3>ab+ab 综上所述，a3+b≥ab十ab 3.解：方法一（作差法） -(a+6) 后6+（会@}- a-b+ b-a a (a-6)(a-B)(a-B)'(a+B) √ab √ab ·31 参考答案 a>0,b>0,∴.a+b>0,ab>0,(a-√)≥0， :a-⑥6+D≥0.g+么>a+6 √ab b va 方法二（作商法）》 匠E_)+(W面)=a+历)(a+b-面 a+/b Vab(va+B) ab(wa+√b) -a+b-画-6-6+画=1+6-6≥1. √ab √ab √ab :a>0,b>0.4+4>0wWa+万>0， .么+g≥a+6 vab 随堂步步夯实 1.B 2.ACD 12x-y=84, 3 10xy, 11x-y>40, Lx∈N 4.a>c>b 5.解：(1)√x+I-√= 1 =,√E-√x-1 √x+I+ 1 √E+x-I :x+I+√>√E+√x-I>0, ∴.√x+I-√E<√E-√x-I. (2)(x3-2y3)-(xy2-2xy)=x3-xy2+2x2y-2y =x(x2-y)+2y(x2-y)=(x2-y2)(x+2y) =(x-y)(x+y)(x+2y). x>y>0,∴.x-y>0,x+y>0,x+2y>0, .(x3-2y)-(xy-2x2y)>0, 即x3-2y3>xy2-2x2y. 第2课时不等式的性质 课前预习学案 情境引入 1.提示x1=50+x3-55=xg-5,x2=x1-20+30= x1+10,x3=x2-35+30=x2-5. 2.提示由1知x1=x3-5,x2=x十5，则x1<x<x2· 知识梳理 知识点一、1.a=cb士c b c [思考] 1,提示：解方程过程中的去分母、移项、系数化为1的步骤 都是利用了等式的性质 2.提示：a+c>b+d成立，a-c>b-d不一定成立，但a- d>b-c成立. 3.提示：不一定，但当a>b>0,c>d>0时，一定成立. 预习自测 1.C2.AC3.< 课堂互动学案 [例1][解析]对于A项，因为 >6所以-> a b 0,即5>0.又a>b,所以b-a<0.所以ab<0,所以a ab