第19节 导数专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第19节 导数 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 导数的几何意义：f'() 是曲线在该点处切线的斜率，据此由切点写切线方程，也可由切线反求参数 ② 用导数判断单调性：把 f'(x) 整理成可分解的因式，逐个区间读符号，注意"导数 ≥ 0 在区间上恒成立"与"单调递增"之间的对应关系 ③ 极值与最值：先由 f'(x) = 0 找驻点，再用 f' 的符号变化判断极大／极小，闭区间上的最值还要比较端点 ④ 恒成立与零点个数问题：先求导定出最小值（或最大值），再把"最小值 ≥ 0"或"最小值 < 0"翻译成参数不等式，分情况讨论边界是否取到 ⑤ 切线的代数化技巧：遇到 e 与 x 的乘积、x 与 ln x 的乘积，先整理成"局部单调 + 端点符号"再下结论，可以绕开复杂的隐零点估计 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某曲线型灯罩的母线方程为 y = − 3x，则在点 (2, 2) 处的切线方程为 A. y = 9x − 16 B. y = 9x − 14 C. y = 3x − 4 D. y = 9x − 18 2. 函数 f(x) = − + 2 的单调递减区间是 A. (0, 2) B. (−∞, 0) C. (2, +∞) D. (−∞, 0) ∪ (2, +∞) 3. 某储能单元的转换效率可表示为 + x（x > 0），则该表达式的最小值为 A. 2 B. 1 C. 4 D. 无最小值 4. 若函数 f(x) = + + x 在整条实数轴上单调递增，则实数 a 的取值范围是 A. [−, ] B. (−, ) C. a ≤ − 或 a ≥ D. a ≥ 5. 某反光路线的入射点在曲线 y = ln x 上，过该点的切线恰过原点，则该切点的横坐标为 A. e B. 1 C. D. 6. 函数 f(x) = − + x 在 x = 1 处取得极小值，则 a 等于 A. 2 B. 1 C. D. 3 7. 函数 f(x) = − 3x + 1 的不同零点的个数为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 8. 某冷却模型的温差函数写为 f(x) = − x − 1，则 f(x) 的最小值为 A. 0 B. −1 C. 1 D. 不存在最小值 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 针对三次函数 f(x) = − + 2，下列判断中正确的有 A. f(x) 的极大值为 2 B. f(x) 共有三个零点 C. f(x) 在 (−∞, 0) 上单调递增 D. f(x) 的极小值为 −4 10. 设 f(x) = x + （x ≠ 0）。对它的四个论断，成立的有 A. 当 x > 0 时，f(x) 的最小值为 2 B. 当 x < 0 时，f(x) 的最大值为 −2 C. 当 x > 0 时，f(x) ≥ 2 恒成立 D. f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增 11. 设 f(x) = − + 2x。下面关于它的四条说法，正确的是 A. f(x) 在 R 上单调递增 B. f(x) 存在极小值 C. f(1) = D. f(x) 只有一个零点 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 曲线 y = 在点 (0, 1) 处的切线方程为______。 13. 若 f(x) = − 3ax + 1 在整条实数轴上既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是______。 14. 设 x > 0，且表达式 a x + （a > 0）的最小值为 4，则 a =______。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某厂生产一种构件，产量为 x（吨）时的毛收益记为 f(x) = − + + 9x，这里 x ≥ 0。 （1）求 f(x) 在 [0, +∞) 上的单调区间与最大值； （2）若扣除单位能耗 k 之后的实际收益为 g(x) = f(x) − kx，要求对一切 x ∈ [0, 3] 都有 g(x) ≥ 0，求 k 的最大值； （3）证明：对一切 x ≥ 0，都有 f(x) ≤ 27，且等号当且仅当 x = 3。 16. 某算法调优时用到函数 f(x) = a − ln x（x > 0，a ∈ R）。 （1）当 a = 时，求 f(x) 的最小值； （2）若 f(x) ≥ 0 对一切 x > 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）讨论 f(x) 零点个数随 a 的变化，指出恰有一个零点时 a 的全部取值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第19节 导数 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 导数的几何意义与切线方程 数学运算 基础 A 2 单项选择题 5 由导数判断单调区间 数学运算 基础 A 3 单项选择题 5 导数求最值 数学运算 基础 A 4 单项选择题 5 导数与函数单调性的双向对应 数学运算 基础 A 5 单项选择题 5 切线过定点的反求问题 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 极值的必要与充分条件 数学运算、逻辑推理 中档 A 7 单项选择题 5 由极值符号判定零点个数 数学运算、逻辑推理 中档 A 8 单项选择题 5 导数求函数最值 数学运算 中档 A 9 多项选择题 6 三次函数性质的综合判断 数学运算、逻辑推理 中档 ABC 10 多项选择题 6 分式和函数的最值讨论 数学运算、逻辑推理 中档 ABC 11 多项选择题 6 导数判别式与零点个数的判定 数学运算、逻辑推理 中档 ACD 12 填空题 5 指数曲线的切线 数学运算 基础 y = x + 1 13 填空题 5 由驻点个数反推参数范围 数学运算 中档 a > 0 14 填空题 5 由最值反求参数 数学运算 中档 4 15 解答题 13 导数求最值、恒成立与代数变形 数学运算、逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 含参导数综合问题与零点分类讨论 数学运算、逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第19节 导数 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 导数的几何意义：f'() 是曲线在该点处切线的斜率，据此由切点写切线方程，也可由切线反求参数 ② 用导数判断单调性：把 f'(x) 整理成可分解的因式，逐个区间读符号，注意"导数 ≥ 0 在区间上恒成立"与"单调递增"之间的对应关系 ③ 极值与最值：先由 f'(x) = 0 找驻点，再用 f' 的符号变化判断极大／极小，闭区间上的最值还要比较端点 ④ 恒成立与零点个数问题：先求导定出最小值（或最大值），再把"最小值 ≥ 0"或"最小值 < 0"翻译成参数不等式，分情况讨论边界是否取到 ⑤ 切线的代数化技巧：遇到 e 与 x 的乘积、x 与 ln x 的乘积，先整理成"局部单调 + 端点符号"再下结论，可以绕开复杂的隐零点估计 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某曲线型灯罩的母线方程为 y = − 3x，则在点 (2, 2) 处的切线方程为 A. y = 9x − 16 B. y = 9x − 14 C. y = 3x − 4 D. y = 9x − 18 【答案】A 【解析】先把切点验证一遍：把 x = 2 代入 y = − 3x 得 8 − 6 = 2，与题中给的纵坐标一致，说明 (2, 2) 确实在曲线上，可以直接用法求切线。 求导得 y' = − 3。 把切点横坐标 x = 2 代入，得切线斜率 k = 3 × 4 − 3 = 9。 按点斜式写：y − 2 = 9(x − 2)，整理得 y = 9x − 16。 回代检查：B 项 9x − 14 过点 (2, 4)，斜率虽对但点不对；D 项 9x − 18 过 (2, 0)；把三个候选都代入 x = 2，只有 A 给出 y = 2。 这类题的两步检查口诀是"斜率看导数、落点看过点"，缺一不可。 【考查知识点】由导数值确定切线斜率，再按点斜式写出切线方程并复核切点 【易错点】只求出斜率 9 就选 A 而不写方程；或把 y' 算成 − 3x，斜率偏小 2. 函数 f(x) = − + 2 的单调递减区间是 A. (0, 2) B. (−∞, 0) C. (2, +∞) D. (−∞, 0) ∪ (2, +∞) 【答案】A 【解析】求导：f'(x) = − 6x = 3x(x − 2)。 这是一个开口向上的二次函数，在两根 0 与 2 之外为正、两根之间为负。 所以 f'(x) < 0 正好落在 (0, 2) 内，这就是递减区间。 注意选项 D 的写法：区间并起来不等于"在这两段上都递减"，单调区间应当写成一个连续区间，不能把两段用并符号连在一起。 回代检查：取 x = 1 有 f'(1) = 3 − 6 = −3 < 0，递减，符合 A；取 x = −1 有 f'(−1) = 3 + 6 = 9 > 0，递增，所以 B、D 都错；取 x = 3 有 f'(3) = 27 − 18 = 9 > 0，递增，C 也错。 【考查知识点】求导后因式分解，按二次函数符号读单调区间 【易错点】把导数大于零的区间当成递减区间；或把两个递增区间用并符号连成一个"递减区间" 3. 某储能单元的转换效率可表示为 + x（x > 0），则该表达式的最小值为 A. 2 B. 1 C. 4 D. 无最小值 【答案】A 【解析】设 g(x) = x + （x > 0）。 求导：g'(x) = 1 − = 。 在 x > 0 上分母恒正，符号由 − 1 决定。 g'(x) = 0 给出 x = 1；0 < x < 1 时 g' < 0，x > 1 时 g' > 0，所以 x = 1 处取得最小值 g(1) = 2。 回代检查：取 x = 得 + 2 = 2.5 > 2，取 x = 2 得 2 + = 2.5 > 2，两边都比 2 大，说明 2 确实是谷底。 本题也可以用基本不等式一步到位（x + ≥ 2），但这里刻意按导数走一遍，因为后面几题都要用到"导数定符号"这个动作。 【考查知识点】用导数求正半轴上的最小值，并处理等号能否取到 【易错点】把 x = 1 与函数值混淆，答成 1；或看到两项就套基本不等式却忘了先验证等号成立条件 4. 若函数 f(x) = + + x 在整条实数轴上单调递增，则实数 a 的取值范围是 A. [−, ] B. (−, ) C. a ≤ − 或 a ≥ D. a ≥ 【答案】A 【解析】求导得 f'(x) = + 2a x + 1，这是开口向上的二次函数。 要在 R 上始终递增，就要求 f'(x) ≥ 0 对一切 x 成立，即这条二次式的最小值不小于 0：判别式 Δ ≤ 0。 Δ = − 4 × 3 × 1 = − 12 ≤ 0，得 ≤ 3。 所以 − ≤ a ≤ ，即 a ∈ [−, ]。 回代检查边界：a = 时 f'(x) = + 2 x + 1，判别式为 0，只有 x = −{s|3}3 这一处 f' = 0，其余处处为正，f 仍然单调递增，所以端点可以取，B 项开区间偏紧。 反过来，若 a = 2（超出范围），f'(−1) = 3 − 4 + 1 = 0、f'(−2) = 12 − 8 + 1 = 5、f'(0) = 1，说明在两根之间 f' 会变负，函数不再单调，C、D 被排除。 本题的关键是把"单调递增"准确翻译成"导数恒非负"，不要写成"导数恒为正"而错选开区间。 【考查知识点】由"在 R 上单调递增"反推导数恒非负，用判别式定位参数范围 【易错点】把"导数为 0 只有有限个点"的情况漏掉，误选开区间；或把二次项系数 3 丢掉，判别式写成 − 4 5. 某反光路线的入射点在曲线 y = ln x 上，过该点的切线恰过原点，则该切点的横坐标为 A. e B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】设切点为 (t, ln t)，t > 0。 先求这一点的切线斜率：y' = ，所以切线斜率为 。 切线过原点，于是 (0, 0) 在这条切线上，斜率也可以写成 = 。 两式相等得 = ，两边同乘 t 得 ln t = 1，故 t = e。 回代检查：t = e 时切点为 (e, 1)，斜率为 ，过原点的直线方程是 y = x，在 x = e 处 y = 1，正好落在曲线上，说明这条直线就是切线。 本题用"斜率"这一条线索把"切点坐标"和"过原点"两个条件缝在一起，比先写切线方程再代入原点还要快。 【考查知识点】由切线过定点反求切点：用两条斜率表达式相等列方程 【易错点】把 y' = 误算成 ；或设切点后忘记切点本身必须在曲线上 6. 函数 f(x) = − + x 在 x = 1 处取得极小值，则 a 等于 A. 2 B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】可导函数在内部点取得极值的必要条件是 f'(1) = 0，先代这个条件。 f'(x) = − 2a x + 1，代入 x = 1 得 3 − 2a + 1 = 0，解得 a = 2。 必要条件解出的 a 必须回填验证"是不是极小值"，这一步不能省。 回代：a = 2 时 f'(x) = − 4x + 1 = (3x − 1)(x − 1)。 两个驻点是 与 1；在 左侧 f' > 0、右侧 f' < 0，那里是极大值；在 x = 1 左侧 f' < 0、右侧 f' > 0，这里正是极小值，与题设吻合。 若 a = 1，则 f'(x) = − 2x + 1，判别式 4 − 12 < 0，导数恒正，函数单调递增，压根没有极值，C、D 同理也造不出 x = 1 处的极小值。 这类"给极值点求参数"的题，标准动作是"必要条件定候选 + 充分性回代确认"。 【考查知识点】极值点的必要条件结合导数符号变化做充分性验证 【易错点】只解出 f'(1) = 0 就作答，不回代确认到底是极大还是极小；或把 f'(1) 算成 3 − a + 1 = 0 得到 a = 4 7. 函数 f(x) = − 3x + 1 的不同零点的个数为 A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】求导：f'(x) = − 3 = 3(x − 1)(x + 1)，两个驻点为 ±1。 在 (−∞, −1) 上 f' > 0 递增，(−1, 1) 上 f' < 0 递减，(1, +∞) 上 f' > 0 递增。 算出两个极值：f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3（极大），f(1) = 1 − 3 + 1 = −1（极小）。 三次函数首项系数为正，左端走向负无穷、右端走向正无穷。 现在看符号：极大值 3 > 0、极小值 −1 < 0，一正一负夹着中间那段递减，于是 (−∞, −1) 上从 −∞ 升到 3，必穿一次；(−1, 1) 上从 3 降到 −1，必穿一次；(1, +∞) 上从 −1 升到 +∞，也必穿一次。共 3 个零点。 回代检查：f(−2) = −8 + 6 + 1 = −1 < 0、f(−1) = 3 > 0，中间有一个零点；f(0) = 1 > 0、f(1) = −1 < 0，又有一个；f(2) = 8 − 6 + 1 = 3 > 0，再有一个。数轴上确实落了三个点。 判断零点个数的最短路径是"极值符号 + 首项系数"，不必真的把根解出来。 【考查知识点】利用极大值、极小值的符号与首项走向判断三次函数的零点个数 【易错点】只看 f(0) = 1 > 0 就说零点为 1 个；或把 f(−1) 算成 −1 + 3 + 1 = 1 而错过符号判断 8. 某冷却模型的温差函数写为 f(x) = − x − 1，则 f(x) 的最小值为 A. 0 B. −1 C. 1 D. 不存在最小值 【答案】A 【解析】求导：f'(x) = − 1。 f'(x) = 0 给出 = 1，即 x = 0。 x < 0 时 < 1，f' < 0，函数递减；x > 0 时 > 1，f' > 0，函数递增。所以 x = 0 处取得最小值。 代入：f(0) = − 0 − 1 = 1 − 1 = 0。 回代检查：f(1) = e − 2 ≈ 0.718 > 0，f(−1) = − 1 + 1 = > 0，f(2) = − 3 ≈ 4.389 > 0，几个方向的取样都不小于 0，说明谷底确实是 0。 这个结论常被拿来做放缩： ≥ x + 1 对一切实数 x 成立，等号只在 x = 0 处取到，后续大题里可以直接引用。 【考查知识点】用导数求含 的指数型函数的全局最小值，并守住取等点的位置 【易错点】把 f(0) 算成 = 1 之外的数；或误以为 增长太快而不存在最小值 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 针对三次函数 f(x) = − + 2，下列判断中正确的有 A. f(x) 的极大值为 2 B. f(x) 共有三个零点 C. f(x) 在 (−∞, 0) 上单调递增 D. f(x) 的极小值为 −4 【答案】ABC 【解析】A 项：f'(x) = − 6x = 3x(x − 2)，在 (−∞, 0) 上 f' > 0、在 (0, 2) 上 f' < 0、在 (2, +∞) 上 f' > 0。所以 x = 0 是极大值点，f(0) = 2，正确。 B 项：x = 2 是极小值点，f(2) = 8 − 12 + 2 = −2。极大值 2 > 0、极小值 −2 < 0，两端分别趋向 ±∞，三段各穿越横轴一次，故共有三个零点，正确。 C 项：由上面的符号表，(−∞, 0) 上 f' > 0，函数递增，正确。 D 项：极小值算出来是 f(2) = −2，与 −4 不符，错误。 回代验证零点：f(−1) = −1 − 3 + 2 = −2 < 0、f(0) = 2 > 0，中间有一个；f(1) = 0 本身就是一个零点；f(1) = 0、f(2) = −2，说明 [1, 2] 上还有端点；再取 f(3) = 27 − 27 + 2 = 2 > 0，与 f(2) < 0 之间又有一个。 注意 f(1) = 1 − 3 + 2 = 0 恰好是一个零点，把它与另外两个零点放在一起数，正好三 个，B 项站得住。 综上，正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】三次函数的极值、单调区间与零点个数的综合判断 【易错点】D 项把 f(2) 算成 −4；B 项忘记首项系数为正、两端走向 ±∞ 这一背景，误判零点个数 10. 设 f(x) = x + （x ≠ 0）。对它的四个论断，成立的有 A. 当 x > 0 时，f(x) 的最小值为 2 B. 当 x < 0 时，f(x) 的最大值为 −2 C. 当 x > 0 时，f(x) ≥ 2 恒成立 D. f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增 【答案】ABC 【解析】A 项：x > 0 时 f'(x) = 1 − ，在 (0, 1) 上 f' < 0、在 (1, +∞) 上 f' > 0，故 x = 1 处取最小值 f(1) = 2，正确。 B 项：x < 0 时同样看 f'，它在 (−∞, −1) 上为正、(−1, 0) 上为负，所以 x = −1 处取极大值 f(−1) = −2，也就是这一支的最大值，正确。 C 项：这正是 A 项结论的另一种说法——最小值 2 意味着 x > 0 时恒有 f(x) ≥ 2，正确。 D 项：f'(x) = 1 − 在 x = 1 处变号，函数在 (0, 1) 递减、(1, +∞) 递增，并非全程递增，错误。 回代检查：取 x = ，f = + 2 = 2.5 > 2；取 x = −2，f = −2 − = −2.5 < −2，这两个样本恰好卡在两条分支的"内侧"，说明两个最值都取得到。 再核一遍命题逻辑：A、C 说的是同一件事的两种表述，B 是对称的另一支，D 与 A 的推导直接冲突，所以三真一假，正确选项为 A、B、C。 【考查知识点】含分式的函数在正、负两支上分别取最值，并区分"最值"与"恒成立"两种说法 【易错点】D 项把 x > 0 这一支当成全程单调；或忽略 x < 0 的分支，误以为全局最小值为 2 11. 设 f(x) = − + 2x。下面关于它的四条说法，正确的是 A. f(x) 在 R 上单调递增 B. f(x) 存在极小值 C. f(1) = D. f(x) 只有一个零点 【答案】ACD 【解析】A 项：f'(x) = − x + 2，这是开口向上的二次式，判别式 Δ = 1 − 8 = −7 < 0，说明它处处为正。 导数在整条实轴上恒正，f(x) 单调递增，正确。 B 项：由 A 项可知函数没有驻点，自然不存在极值，错误。 C 项：f(1) = − + 2，先把前两项通分成 = −，再加上 2 得 ，正确。 D 项：f(x) 单调递增且 f(0) = 0，单调递增的函数在整条实轴上至多穿过横轴一次，而 x = 0 已经是交点，故零点只有 x = 0 一个，正确。 回代检查：f(−1) = − − − 2 < 0、f(1) = > 0，虽然跨过零点，但 f(0) = 0 那一点已经被计入；由于单调，跨零点只可能发生在 x = 0 这一处，单调性本身就是"至多一个零点"的保证。 综上，正确选项为 A、C、D。 【考查知识点】由导数判别式的符号判定"恒增无极值"，再用单调性锁定零点个数 【易错点】B 项凭直觉认为三次函数必有极值；D 项忘记单调函数至多一个零点这条依据，硬去解方程 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 曲线 y = 在点 (0, 1) 处的切线方程为______。 【答案】y = x + 1 【解析】求导得 y' = ，在 x = 0 处斜率为 = 1。 切点 (0, 1) 已知，按点斜式写 y − 1 = 1 · (x − 0)。 整理得 y = x + 1。 回代检查：这条直线过切点 (0, 1)；再取 x = 1 看两者的偏离——曲线上的点是 (1, e)，直线上是 (1, 2)，两者相差 e − 2 ≈ 0.718，说明在稍远处就分开了，切线只保证在切点处"贴合"，这个差距正符合切线的局部性质。 本题也可直接记 在 0 处的切线就是 y = x + 1，它是 ≥ 1 + x 这条基本放缩的来源。 【考查知识点】由导数求指数曲线在指定点的切线方程 【易错点】把斜率写成 e 本身；或把点斜式整理成 x = y + 1 之类的错误形式 13. 若 f(x) = − 3ax + 1 在整条实数轴上既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是______。 【答案】a > 0 【解析】求导：f'(x) = − 3a = 3( − a)。 要有两个不同的驻点，方程 = a 必须有两个不同实根，这要求 a > 0。 此时驻点为 ±；在两侧导数为正、中间为负，于是 x = − 处是极大值、x = 处是极小值，两极值都存在。 若 a = 0，f'(x) = ≥ 0 且只在一点为 0，函数在 R 上单调递增，没有极值；若 a < 0，f' 恒正，同样没有极值。 回代检查：取 a = 1，f'(x) = 3( − 1)，x = −1 处 f' 由正转负（极大）、x = 1 处由负转正（极小），两极值齐备；取 a = −1，f'(x) = 3( + 1) > 0，恒增无极值，验证了边界。 结论的落点是"a 的正负决定驻点个数"，这一步比算极值本身更重要。 【考查知识点】由导数有两个不同实根反推参数范围，并用符号变化确认两极值都存在 【易错点】把 f' 算成 − 3a 而漏掉系数 3 (系数不影响根的个数，这一点可以放心)；或误以为 a ≥ 0 即可而把 0 也算进去 14. 设 x > 0，且表达式 a x + （a > 0）的最小值为 4，则 a =______。 【答案】4 【解析】设 g(x) = a x + （x > 0，a > 0）。 求导：g'(x) = a − ，令其为 0 得 = ，即唯一驻点 x = 。 x 小于这个值时 g' < 0、大于时 g' > 0，所以在驻点处取最小值。 代入：g() = a · + = + = 2。 由 2 = 4 得 = 2，所以 a = 4。 回代检查：a = 4 时 g(x) = 4x + ，在 x = 处取到 4 × + 2 = 4；取 x = 1 得 5 > 4、取 x = 得 1 + 4 = 5 > 4，都大于 4，确认最小值就是 4。 这类"两项之和求最值"的题，用基本不等式也能得到 2，不过导数这里顺带把驻点的位置也定出来了，便于后面做恒成立。 【考查知识点】由最小值反推参数：先求导定驻点，再代入列方程 【易错点】把驻点算成 x = （漏掉 a 的倒数）；或忘记代回原表达式，把最小值 4 直接当成答案里的 a 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某厂生产一种构件，产量为 x（吨）时的毛收益记为 f(x) = − + + 9x，这里 x ≥ 0。 （1）求 f(x) 在 [0, +∞) 上的单调区间与最大值； （2）若扣除单位能耗 k 之后的实际收益为 g(x) = f(x) − kx，要求对一切 x ∈ [0, 3] 都有 g(x) ≥ 0，求 k 的最大值； （3）证明：对一切 x ≥ 0，都有 f(x) ≤ 27，且等号当且仅当 x = 3。 【答案】解：（1）f'(x) = − + 6x + 9 = −3( − 2x − 3) = −3(x − 3)(x + 1)。 由于只看 x ≥ 0，因子 x + 1 恒为正，于是 f' 的符号完全由 −(x − 3) 决定：0 ≤ x < 3 时 f' > 0，x > 3 时 f' < 0。 所以 f(x) 在 [0, 3] 上单调递增，在 [3, +∞) 上单调递减，最大值在 x = 3 处取得：f(3) = −27 + 27 + 27 = 27。 （2）g(x) = − + + (9 − k)x = x[− + 3x + (9 − k)]。 对 x ∈ (0, 3] 只需括号里的二次式非负，记 q(x) = − + 3x + (9 − k)。 q(x) 是开口向下的二次函数，在闭区间 [0, 3] 上的最小值一定在端点取得。 q(0) = 9 − k，q(3) = −9 + 9 + 9 − k = 9 − k，两端相等，故 q(x) 在 [0, 3] 上的最小值就是 9 − k。 要使 g(x) ≥ 0，只需 9 − k ≥ 0，即 k ≤ 9；并且 x = 0 时 g(0) = 0 恒成立不产生约束。 所以 k 的最大值为 9。 （3）考察 f(x) − 27 = − + + 9x − 27。 把括号里的 − − 9x + 27 因式分解：按 x = 3 试根，原式在 x = 3 处为 27 − 27 − 27 + 27 = 0，故含因子 (x − 3)； 商式为 − 9 = (x − 3)(x + 3)，所以 − − 9x + 27 = (x − 3)(x − 3)(x + 3) = (x + 3)。 于是 f(x) − 27 = −(x + 3)。 当 x ≥ 0 时 x + 3 > 0，且 ≥ 0，所以 f(x) − 27 ≤ 0，即 f(x) ≤ 27；等号成立当且仅当 = 0，即 x = 3。 复核：把 x = 3 代回 f 得 −27 + 27 + 27 = 27，与上界吻合；取 x = 0 得 0 ≤ 27、取 x = 5 得 −125 + 75 + 45 = −5 ≤ 27，均满足。 【解析】第（1）问的提速点是先做因式分解再谈符号：f'(x) 整理成 −3(x − 3)(x + 1) 之后，x + 1 在 x ≥ 0 上恒正可以直接"扔掉"，符号只剩一个因子可读，比把二次式单独画一遍表快得多。 第（1）问还要守住定义域：f'(x) 的另一根在 −1，它不在 [0, +∞) 内，单调区间的划分点只能是 3，不能写成 [0, 3] 与 [3, 3] 两段。 第（2）问是"带参一次项 + 闭区间恒成立"，最关键的观察是把 g(x) 提出一个 x，于是 x > 0 的条件转成二次式 q(x) ≥ 0，问题立刻降了一维。 第（2）问里"开口向下的二次式在闭区间上最小值在端点"这句话要会用：q 的对称轴是 x = ，落在区间内部，所以两端是唯一可能的低谷，而两端的值又恰好相等，判断强度就定下来了。 第（3）问是本题最有价值的一问：它不需要任何求根技巧，只要会"试根 + 多项式除法"，就能把差值写成 −(x + 3)，非负性、取等点一目了然。 三问连起来看，落脚点都是同一个数 27：第（1）问用导数找出它，第（2）问用它在 x = 3 处卡住 k，第（3）问用代数变形证明它真的上界。同一目标三路夹击，答案自然可信。 【考查知识点】三次函数的单调区间与最大值、带参一次项的闭区间恒成立、用因式分解证明上界并定位取等点 【易错点】第（1）问把 x < 0 的那一支也算进单调区间；第（2）问忘记先约去 x 而直接对 g 求导；第（3）问把等号条件说成 x ≥ 3 16. 某算法调优时用到函数 f(x) = a − ln x（x > 0，a ∈ R）。 （1）当 a = 时，求 f(x) 的最小值； （2）若 f(x) ≥ 0 对一切 x > 0 恒成立，求实数 a 的取值范围； （3）讨论 f(x) 零点个数随 a 的变化，指出恰有一个零点时 a 的全部取值。 【答案】解：（1）a = 时 f(x) = − ln x，f'(x) = x − = . x ∈ (0, 1) 时 f' < 0，x ∈ (1, +∞) 时 f' > 0，所以 x = 1 处取最小值 f(1) = − 0 = 。 （2）f'(x) = 2a x − = . 先看 a ≤ 0 的情形：此时 2a ≤ 0，分子恒为负，f'(x) < 0，f 在 (0, +∞) 上严格递减；而 x 趋于 0 时 −ln x 趋于正无穷，x 趋于正无穷时 a （a < 0）把函数拽向负无穷，此时 f 必有负值，不满足恒成立。故必须 a > 0。 a > 0 时，f'(x) = 0 等价于 2a = 1，即 = ，唯一驻点 = ；它在左侧使 f' < 0、右侧使 f' > 0，故为唯一极小值点。 极小值 f() = a · + ln，其中把驻点代回去，−ln() 正好翻成 ln，于是极小值可写成 m(a) = + ln。 令 m(a) ≥ 0，即 ln ≥ −，也就是 不小于 e 的负二分之一次方；两边平方得 2a ≥ ，故 a ≥ 。 所以恒成立的充要条件是 a ≥ 。 （3）由（2）的推导，极小值 m(a) = + ln，且 x 从正侧靠近 0 时、x 越来越大时 f(x) 都冲向 +∞（a > 0 的情形）。 于是：当 a > 时 m(a) > 0，函数整支在横轴上方，零点为 0 个； 当 a = 时 m(a) = 0，极小点恰好落在横轴上，恰有 1 个零点； 当 0 < a < 时 m(a) < 0，两端都为正而中间为负，穿过横轴两次，恰有 2 个零点； 当 a ≤ 0 时 f 严格递减，靠左端趋向正无穷、靠右端趋向负无穷，也恰有 1 个零点。 综上，f(x) 恰有一个零点当且仅当 a ≤ 0 或 a = 。 复核：a = （属于 a > 的情形，因 > ）时最小值为 > 0，与第（1）问直接算出的结果一致；a = 时驻点 = ，f() = · e − ln = − = 0，恰好触轴而不穿过，与恰有 1 个零点吻合。 【解析】第（1）问是全题的分量校准：它把 a = 时的极小值固定成 ，后面第（2）问求出的阈值 与它大小关系如何，要在脑子里先有个数—— 大于 ，所以第（1）问落在"零点为 0 个"这一档里，前后自洽。 第（2）问最容易漏的是 a ≤ 0 的讨论：只盯着 a > 0 去求驻点，就会把"a ≤ 0 时不可能恒成立"这一支忘掉，而它恰恰是第（3）问"恰有一个零点"的另一半答案。 第（2）问处理 a ≤ 0 时用"两端走向"就够了，不需要真的解出零点：x 趋于 0 时 −ln x 冲向正无穷、x 趋于正无穷时 a 冲向负无穷，中间又连续，必然穿到负值。这是连续函数"两端异号必然过零"的直接运用。 第（2）问的极小值整理是最容易算崩的一步：把 = 代回时，a · = a · = ，而 −ln = −ln() = ln，两项分别是 与 ln，别把第二项写成 −ln。 第（3）问的收口动作是"极小值的符号 + 两端走向"两张表：极小值大于 0 就 0 个零点、等于 0 就 1 个、小于 0 就 2 个；再单独补上 a ≤ 0 这支的单调递减分析。 最后那个边界复核很值：把 a = 代回，驻点是 ，函数值正好是 0，说明这条曲线是"擦着横轴"过去的——这时只有一个零点是切触，而不是穿过，两种情形在图像上差别很大，做题时务必区分。 【考查知识点】含参的极值与恒成立问题、按 a 的符号分类讨论、由极小值符号与两端走向判定零点个数 【易错点】第（2）问只讨论 a > 0 而漏掉 a ≤ 0，导致第（3）问答案少了 a ≤ 0；第（3）问把"擦触"与"穿过"当成同一种情形，误写零点个数 学科网（北京）股份有限公司 $