课时作业评价(26) 利用导数研究函数的零点(Word练习)-【新高考方案】2027年高考数学一轮总复习（旗舰版）

**基本信息** 聚焦导数研究函数零点，以分离参数、构造函数、导数分析单调性为核心方法，构建“性质分析-图像转化-零点判断”的逻辑链条，培养数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分离参数与图像交点|1题|分离参数构造φ(x)，利用导数分析单调性与极限值，转化为图像交点问题|导数求导→函数单调区间→极值与极限→图像交点判断| |导数分析极值与零点|2题|求导得极值点，通过极值正负判断零点个数，结合定义域分析趋势|极值点存在性→极值符号→函数趋势→零点存在定理| |切线方程与零点性质|3题|切线方程求参数，导数分析单调性得最小值，证明零点对称性|导数几何意义→函数单调性→零点存在性→对称性证明| |综合应用与参数讨论|4题|单调区间划分，结合区间端点值与极值，确定参数范围使函数有两零点|导数求单调区间→极值与端点值比较→参数范围确定|

课时作业评价(二十六)　利用导数研究函数的零点 1.(10分)(2025·渭南二模节选)已知函数f(x)=(2x-1)ex-a(x-1),若函数y=f(x)有两个零点,求实数a的取值范围. 2.(10分)已知函数f(x)=ln x-mx2+(2-m)x. (1)若函数f(x)的极值点在(2,3)内,求m的取值范围;(4分) (2)若f(x)有两个零点,求正实数m的取值范围.(6分) 3.(15分)已知函数f(x)=(x-1)ex-ax-b,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为x+y+2=0. (1)求a,b的值;(3分) (2)讨论f(x)的零点个数,并证明所有零点之和为0.(12分) 4.(17分)已知函数f(x)=(x-1)ex-x2. (1)求函数的单调区间;(3分) (2)求f(x)的零点个数;(4分) (3)若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,求m的取值范围.(10分) 答案 课时作业(二十六)　利用导数研究函数的零点 1.解:由f(x)=0得a(x-1)=(2x-1)ex,显然x=1不是方程的解, 所以a=.设函数φ(x)=,x≠1, 则φ'(x)==, 令φ'(x)>0得x<0或x>;令φ'(x)<0得0<x<1或1<x<. 所以φ(x)在(-∞,0)和上单调递增,在(0,1)和内单调递减, 又当x→-∞时,φ(x)→0,φ(0)=1,当x→1-时,φ(x)→-∞,当x→1+时,φ(x)→+∞,φ=4,当x→+∞时,φ(x)→+∞.所以作出φ(x)的大致图象如图,若函数y=f(x)有两个零点,则直线y=a与函数φ(x)的图象有两个交点,由图象可知,0<a<1或a>4, 即实数a的取值范围为(0,1)∪. 2.解:(1)已知f(x)=ln x-mx2+(2-m)x,则f'(x)=-2mx+2-m=-, 要使函数f(x)的极值点在(2,3)内,则f'(x)=0在(2,3)上有解,即mx-1=0在(2,3)上有解,则解得<m<,即m的取值范围为. (2)已知f(x)=ln x-mx2+(2-m)x,x>0,则f'(x)=-2mx+2-m=-, 因为m>0,2x+1>0,所以令f'(x)=0,得x=,当0<x<时,f'(x)>0,函数f(x)在内单调递增,当x>时,f'(x)<0,函数f(x)在上单调递减,又x→0时,f(x)→-∞,x→+∞时,f(x)→-∞,要使f(x)有两个零点,则f=ln-+(2-m)·=ln+-1>0恒成立,设g(x)=ln x+x-1,x>0,则g'(x)=+1>0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,则>1,解得0<m<1.综上所述,正实数m的取值范围为(0,1). 3.解:(1)f'(x)=xex-a,由题意得即所以 (2)由(1)知f(x)=(x-1)ex-x-1,所以f'(x)=xex-1,令g(x)=f'(x),则g'(x)=(x+1)ex,当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0,所以g(x)在(-∞,-1)上单调递减;当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(-1,+∞)上单调递增.又g(1)=e-1>0,g(0)=-1<0,且当x<0时,g(x)<0,所以存在唯一x0∈(0,1),使得g(x0)=0,当x∈(-∞,x0)时,g(x)<0,即f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,x0)上单调递减,当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,即f'(x)>0,所以f(x)在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(x0),因为g(x0)=0,即x0=1,也即=,所以f(x0)=-x0-<0.f(-2)=1->0,f(2)=e2-3>0,根据函数零点存在定理, 可得f(x)在区间(-2,x0)和(x0,2)上各有一个零点,所以f(x)有两个零点.证明如下: 设x1是函数f(x)的一个零点,则f(x1)=(x1-1)-x1-1=0, 所以f(-x1)=(-x1-1)+x1-1=[(x1-1)-x1-1]=0,所以-x1是函数f(x)的另一个零点,所以f(x)的所有零点之和为0. 4.解:(1)由题可得f'(x)=xex-2x=x(ex-2),令f'(x)=0,解得x=0或x=ln 2,令f'(x)<0,解得0<x<ln 2;令f'(x)>0,解得x<0或x>ln 2,所以f(x)的单调递减区间为(0,ln 2),单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞). (2)由(1)知f(x)的单调递减区间为(0,ln 2),单调递增区间为(-∞,0),(ln 2,+∞),由于f(0)=-1<0,则f(x)在(-∞,0)上无零点;由于f(ln 2)=2(ln 2-1)-(ln 2)2<0,则f(x)在(0,ln 2)上无零点;由于f(2)=e2-4>0,则f(x)在(ln 2,2)上存在唯一零点.综上,函数f(x)在R上存在1个零点. (3)若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,则函数y=f(x)与y=m在区间上有两个交点. 由(1)知,f(x)在(-1,0)内单调递增,内单调递减,f(-1)=--1<0,f(0)=-1<0,f=-->f(-1),如图所示,函数y=f(x)的图象与y=m在区间上有两个交点,则--≤m<-1,即若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,则m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $