直线与圆：第1讲 直线与圆（一）（基础）专项训练-2027届高三数学一轮复习

直线与圆（一） 直线的方程、位置关系与直线和圆的位置关系 直线的方程、两直线的位置关系与距离 一条直线的位置，可以用两个量锁定：一个点，和一个方向。方向有两种写法，一种是倾斜角，一种是斜率。倾斜角是直线向上的方向与 轴正方向所成的角，规定范围是 ；斜率则是倾斜角的正切，记作 。两者说的是同一件事，但斜率更便于计算，倾斜角更便于描述范围。 斜率与倾斜角有一处对不上：倾斜角等于 时，直线垂直于 轴，正切没有意义，所以竖直直线没有斜率。其余的直线，倾斜角在 上增大时斜率从 增到无限大，在 上增大时斜率从负无穷增到 。两个区间里的变化方向相反，所以由斜率的范围反查倾斜角时，一般要分成两段来写。 两直线的位置关系看斜率与截距。斜率都存在时，斜率相等且截距不等就是平行，斜率之积等于 就是垂直；写成一般式 与 之后，平行的条件是 ，垂直的条件是 。这两个式子是解含参问题的起点。还有一种情形要单独拿出来看：两条直线都垂直于 轴时，斜率都不存在，但它们互相平行 —— 不能因为「没有斜率」就当成不平行。 距离公式有两个。点 到直线 的距离是 ；两条平行线之间的距离，先把 、 的系数化成完全相同，再代入 。两个公式的分母一样，区别只在分子：一个代点，一个代常数项之差。用第二个公式之前必须先对齐系数，否则算出来的不是两条平行线之间的距离。 例1（单选·★☆☆☆☆） 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【切入点】求倾斜角，先从方程里读出斜率，再用正切值反查角，最后在 里定出唯一的值。 【关键】把 写成斜截式，得 ，所以直线的斜率 。设倾斜角为 ，则 。因为 ，而在 内正切为 的角只有 ，所以 。故选 C。 【易错】正切值为负时对应的倾斜角是钝角，不要顺手写成 。这道题除此之外没有别的分支，但换成斜率恰好不存在的方程（如 ）时，倾斜角要直接写成 ，不能去解正切方程。 【答案】C 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为_____. 【切入点】方向向量给出的是直线的走向，纵坐标与横坐标之比就是斜率。 【关键】方向向量 ，所以直线的斜率 。设倾斜角为 ，由 得 。所以倾斜角为 。 【易错】方向向量的两个分量作比时，是「纵比横」而不是「横比纵」；写反会得到 倍的关系，倾斜角完全不对。还有一处要留心：方向向量的横坐标为 时斜率不存在，那种情形要单独判成 ，不能在式子里硬除。 【答案】 例2（单选·★☆☆☆☆） 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两条直线已经给出，先看它们是不是平行；是平行就用两平行线间的距离公式，但系数必须先对齐。 【关键】 两边除以 ，得 ，此时它与 的 、 系数完全相同。于是两平行线之间的距离 。故选 B。 【易错】最容易错在直接把两条方程的常数项相减：公式里的 只有在 、 系数已经相同时才有意义，否则算出来的不是两条平行线之间的距离。另外分母是 而不是 ，最后的结果一般还要把分母有理化。 【答案】B 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知直线，，且，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题目先给了平行这个条件，所以要先把参数解出来，两条直线才具体，距离才谈得上。 【关键】由 得 ，即 。此时 ，两边乘 得 ，与 的系数已经一致。于是 。故选 A。 【易错】解出 之后要回代看一眼是不是重合：本题两条直线的常数项不同，确实平行，可以直接用公式。最后一分要扣在化简上 —— 与 是同一个数，但选项是按后者给的。 【答案】A 例3（单选·★☆☆☆☆） 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】平行的两条直线，方程的左半边形状相同，所以可以先把所求直线设成与已知直线同形状，再用点定常数。 【关键】所求直线与 平行，故设它的方程为 ，其中 。把 代入得 ，即 。所以所求直线为 。故选 B。 【易错】设方程时忘了附加 ，等于允许所求直线与已知直线重合 —— 重合也是「方向相同」，但题目问的是平行，两者不是一回事。本讲后面还会遇到「解出参数后要排除重合」的题，这道题先把这个习惯立起来。 【答案】B 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 已知直线与直线平行，则 = （ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 【切入点】两直线平行的系数条件列出来是一个含参方程，解完必须逐一代回原方程，把「重合」那一个剔掉。 【关键】平行的条件是 。代入系数得 ，即 ，解得 或 。当 时，两条直线分别是 与 ，重合，舍去；当 时，两条直线分别是 与 ，系数成比例而常数项不成比例，平行不重合，保留。所以 。故选 C。 【易错】平行的系数条件对「平行」与「重合」是都满足的，所以单靠它解出的答案必然多一个。检验的快办法是把两条方程都化成 、 系数相同的形状，再看常数项是否也相同；本题正好一个重合一个平行，漏掉检验就会选到含两个值的选项。 【答案】C 变式3-2（填空·★★☆☆☆） 写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 【切入点】题目只要「写出一个」，所以不必求轨迹，直接套点到直线的距离公式，挑一个让计算最省事的坐标。 【关键】直线 即 。设所求点为 ，则 ，即 。取 ，左边为 ，条件正好成立，于是取 即可。 【易错】一是别把 约掉 —— 分母的 与分子里的 是两个不同来源的根号，约掉之后方程就错了；二是要看清题目问的是「写出一个」，满足条件的点有无穷多个，写成一条直线反而超出要求。 【答案】 圆的方程与直线和圆的位置关系 圆的标准方程只记一个式子：圆心为 、半径为 的圆是 。展开就得到一般式 ，配方之后圆心是 ，半径是 。所以求圆的方程，本质上只要定出圆心与半径这两个量。 直线与圆的位置关系有三种，判断只看一个量：圆心到直线的距离 与半径 的大小。 时相交，有两个公共点； 时相切，只有一个公共点； 时相离，没有公共点。把位置关系翻译成 与 的不等式，是这一节所有题目的共同动作。也把方程组联立起来数解的个数：两个解是相交，一个解是相切，没有解是相离 —— 两种算法等价，但距离法少一步运算，含参数时也更少出错。 相交时还要会算弦长。圆心到弦所在直线的距离记作 ，半径 、半弦 、弦心距 构成一个直角三角形，于是 ，弦长为 。这条关系两头都能用：已知弦长求参数，或者已知参数求弦长。从圆外一点向圆作切线，切点为 ，则切线长 ， 是圆心 —— 用的还是同一个直角三角形。 两个容易混的地方。一是过圆外一点向圆作切线有两条，若设成斜截式求解，要把斜率不存在的那条竖直直线单独检查一遍，否则会漏一条或者多一条。二是「圆上有几个点到某条直线的距离等于定值」这类问法，要同时看圆在这条直线两侧的分布，不能只看圆心到直线的距离与半径的大小关系。 例4（单选·★☆☆☆☆） 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【切入点】已知直线与圆，求弦长，先量出圆心到直线的距离，再用半弦、弦心距、半径的直角三角形。 【关键】圆 的圆心是 、半径 。直线 是一条竖直直线，圆心到它的距离 。于是弦长为 。故选 B。 【易错】竖直直线的距离不能套 之外的想当然算法，它写不成 的样子，是最容易算错 的一类。另外记牢是「半径的平方减去弦心距的平方」再开方，不要写成加号。 【答案】B 变式4-1（填空·★★☆☆☆） 轴被圆截得的弦长为_____. 【切入点】 轴就是直线 ，圆心到它的距离就是圆心横坐标的绝对值。 【关键】圆 的圆心为 、半径 。圆心到 轴的距离 ，所以截得的弦长为 。 【易错】求 轴上的弦长时算的是圆心横坐标到 的距离，求 轴上的弦长时算的是纵坐标 —— 两个容易互换。另外要判断这条坐标轴与圆是否真的相交：本题 ，确实相交；若 则弦不存在，不能硬代公式。 【答案】 变式4-2（填空·★★☆☆☆） 若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 【切入点】直线只给了倾斜角，要先用它把直线写出来，再回到「圆心到直线的距离」这条主线上。 【关键】过 且倾斜角为 的直线，斜率 ，方程为 ，即 。圆 的圆心为原点、半径 ，圆心到直线的距离 。于是弦长为 。 【易错】 是 ，不要写成 —— 倾斜角在第二象限，斜率为负。另外最后一步开方时 ，不要漏掉分母的 。 【答案】 变式4-3（填空·★★☆☆☆） 直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则 = ___________． 【切入点】题目给的不是弦长而是圆心角，圆心角与弦心距之间有一条现成的换算：半圆心角的余弦等于弦心距比半径。 【关键】圆 的圆心为原点、半径 。圆心角 ，由等腰三角形 知弦心距 。另一方面，圆心到直线 的距离是 。于是 ，解得 ，即 ，所以 。 【易错】圆心角与弦心距的换算是 ，用到的角是圆心角的一半，直接写 会把弦心距算成 。另外 要写成两个值，直线方程里 前的系数可正可负，两个都满足题意。 【答案】 例5（单选·★★☆☆☆） 已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【切入点】圆心在 轴上，可以设成 ；「过一点」与「与一条直线相切」各给一个方程，两个条件定两个未知量。 【关键】设圆心为 、半径为 。圆过 ，所以 。圆与直线 即 相切，圆心到它的距离等于 ，即 。把两式平方后联立：，整理得 ，即 ，所以 。代回得 。故选 A。 【易错】相切的条件是「圆心到直线的距离等于半径」，不是「只有一个公共点」的联立判别式为零 —— 两者等价，但直接用距离公式少一步运算，也更不容易算错。另外把 平方时要注意两边都为非负，可以直接平方而不用讨论符号。 【答案】A 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】「恰有 个交点」就是相交，翻译成圆心到直线的距离小于半径，得到一个含 的不等式。 【关键】圆 的圆心为 、半径 。直线 即 ，圆心到它的距离 。恰有 个交点等价于 ，即 ，解得 。故选 C。 【易错】把「恰有 个」当成「不小于」是不对的： 时相切、只有 个交点，所以端点 与 都不能取，区间必须是开的。另外直线 是水平线，弦心距就是圆心纵坐标与 之差的绝对值，不必套一般式的公式。 【答案】C 例6（单选·★★☆☆☆） 过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】从圆外一点引两条切线，图形关于「圆心与该点的连线」对称，于是夹角的一半可以放进直角三角形里算。 【关键】圆 的圆心为 、半径 。点 到圆心的距离 。设两条切线的夹角为 ，由对称性，半角 满足 ，于是 ，。由二倍角公式 。故选 A。 【易错】半角关系里的分母是「该点到圆心的距离」，不是「该点到某条切线的长度」—— 前者是斜边、后者是直角边，用错一个就全错。本题另有巧合： 的纵坐标与圆心相同， 恰好是水平距离 ，换成一般位置时要老老实实用两点间距离公式。 【答案】A 变式6-1（填空·★★☆☆☆） 过引直线l,与圆C：相切于Q,则 = __________. 【切入点】切线长、半径、点到圆心的距离构成直角三角形，其中切线长与半径是两条直角边。 【关键】圆 的圆心为 、半径 。。由 得 。 【易错】公式里减的是半径的平方，写成 会把答案算成 。另外要先确认点 在圆外（本题 ），否则切线根本不存在，求出的「切线长」也就没有意义。 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆（一） 直线的方程、位置关系与直线和圆的位置关系 直线的方程、两直线的位置关系与距离 一条直线的位置，可以用两个量锁定：一个点，和一个方向。方向有两种写法，一种是倾斜角，一种是斜率。倾斜角是直线向上的方向与 轴正方向所成的角，规定范围是 ；斜率则是倾斜角的正切，记作 。两者说的是同一件事，但斜率更便于计算，倾斜角更便于描述范围。 斜率与倾斜角有一处对不上：倾斜角等于 时，直线垂直于 轴，正切没有意义，所以竖直直线没有斜率。其余的直线，倾斜角在 上增大时斜率从 增到无限大，在 上增大时斜率从负无穷增到 。两个区间里的变化方向相反，所以由斜率的范围反查倾斜角时，一般要分成两段来写。 两直线的位置关系看斜率与截距。斜率都存在时，斜率相等且截距不等就是平行，斜率之积等于 就是垂直；写成一般式 与 之后，平行的条件是 ，垂直的条件是 。这两个式子是解含参问题的起点。还有一种情形要单独拿出来看：两条直线都垂直于 轴时，斜率都不存在，但它们互相平行 —— 不能因为「没有斜率」就当成不平行。 距离公式有两个。点 到直线 的距离是 ；两条平行线之间的距离，先把 、 的系数化成完全相同，再代入 。两个公式的分母一样，区别只在分子：一个代点，一个代常数项之差。用第二个公式之前必须先对齐系数，否则算出来的不是两条平行线之间的距离。 例1（单选·★☆☆☆☆） 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为_____. 例2（单选·★☆☆☆☆） 直线与直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★☆☆☆☆） 已知直线，，且，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 例3（单选·★☆☆☆☆） 经过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★☆☆☆☆） 已知直线与直线平行，则 = （ ） A. 2 B. 或2 C. D. 或1 变式3-2（填空·★★☆☆☆） 写出1个到直线的距离为1的点的坐标_________． 圆的方程与直线和圆的位置关系 圆的标准方程只记一个式子：圆心为 、半径为 的圆是 。展开就得到一般式 ，配方之后圆心是 ，半径是 。所以求圆的方程，本质上只要定出圆心与半径这两个量。 直线与圆的位置关系有三种，判断只看一个量：圆心到直线的距离 与半径 的大小。 时相交，有两个公共点； 时相切，只有一个公共点； 时相离，没有公共点。把位置关系翻译成 与 的不等式，是这一节所有题目的共同动作。也把方程组联立起来数解的个数：两个解是相交，一个解是相切，没有解是相离 —— 两种算法等价，但距离法少一步运算，含参数时也更少出错。 相交时还要会算弦长。圆心到弦所在直线的距离记作 ，半径 、半弦 、弦心距 构成一个直角三角形，于是 ，弦长为 。这条关系两头都能用：已知弦长求参数，或者已知参数求弦长。从圆外一点向圆作切线，切点为 ，则切线长 ， 是圆心 —— 用的还是同一个直角三角形。 两个容易混的地方。一是过圆外一点向圆作切线有两条，若设成斜截式求解，要把斜率不存在的那条竖直直线单独检查一遍，否则会漏一条或者多一条。二是「圆上有几个点到某条直线的距离等于定值」这类问法，要同时看圆在这条直线两侧的分布，不能只看圆心到直线的距离与半径的大小关系。 例4（单选·★☆☆☆☆） 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 变式4-1（填空·★★☆☆☆） 轴被圆截得的弦长为_____. 变式4-2（填空·★★☆☆☆） 若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 变式4-3（填空·★★☆☆☆） 直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则 = ___________． 例5（单选·★★☆☆☆） 已知圆C的圆心在y轴上，若圆C过点且与直线相切，则圆C的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 3 变式5-1（单选·★★☆☆☆） 已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例6（单选·★★☆☆☆） 过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式6-1（填空·★★☆☆☆） 过引直线l,与圆C：相切于Q,则 = __________. 学科网（北京）股份有限公司 $