第1节 集合与常用逻辑用语基础专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第1节 集合与常用逻辑用语 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 交集的运算 数学运算 基础 A 2 单项选择题 5 并集与元素个数 数学运算 基础 B 3 单项选择题 5 补集运算 数学运算 基础 B 4 单项选择题 5 子集个数的计算 数学运算 基础 B 5 单项选择题 5 充分必要条件的判定 逻辑推理 基础 A 6 单项选择题 5 全称量词命题的否定 逻辑推理 基础 B 7 单项选择题 5 描述法与真子集 逻辑推理 基础 B 8 单项选择题 5 逆否命题 逻辑推理 基础 A 9 多项选择题 6 交并补综合运算 数学运算 中档 ABC 10 多项选择题 6 充分必要的多方判定 逻辑推理 中档 ACD 11 多项选择题 6 量词命题真假判定 逻辑推理 中档 BC 12 填空题 5 并集反推与计数 数学运算 基础 4 13 填空题 5 必要不充分条件求参 逻辑推理 中档 a < 3 14 填空题 5 子集计数与真子集 数学运算 中档 7 15 解答题 6 集合相等求参与子集计数 逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 6 量词命题与充要条件 逻辑推理 中档 见解析 17 解答题 7 差集与对称差 数学运算 略难 见解析 18 解答题 8 区间集合与充分条件求参 逻辑推理 略难 见解析 难度分布：基础 9 题，中档 7 题，略难 2 题。全卷共 18 题，满分 100 分。选择题与填空题覆盖集合运算、子集计数、量词命题的否定与充分必要条件的判定，两道解答题分别处理集合相等求参与区间型集合的充分条件，整体以概念辨析为主，适合一轮复习起步阶段过关使用。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第1节 集合与常用逻辑用语 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某智慧农业基地为大棚编号并逐月登记在用的传感器：6 月启用的编号组成集合 A = {1, 2, 4, 6}，7 月新增启用的编号组成集合 B = {2, 3, 6, 9}。则这两个月都在用的传感器编号组成 A. {2, 6} B. {1, 2, 3, 4, 6, 9} C. {2} D. {6} 2． 某县文旅局分两批推介传统村落，首批推介的村落编号组成 M = {3, 5, 7}，第二批推介的编号组成 N = {2, 5, 8}。则这两批推介过的村落编号组成的集合中，元素的个数为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 3． 某校为体质测试不合格学生建立帮扶台账，把参与帮扶的 9 名学生编号为 1 至 9，组成全集 U。其中需要加强上肢力量训练的编号组成 A = {2, 4, 6, 8}，则 U 中 A 的补集所含元素个数为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 4． 某校"校园邮局"设分拣、投递、收银、客服四个岗位，把这四个岗位看作集合 S 的元素。则 S 的真子集个数为 A. 14 B. 15 C. 16 D. 8 5． 某款新能源汽车的说明书注明：电池剩余电量高于 20% 时车辆可正常上高速，高于 35% 时可开启运动模式。记"该车的电池剩余电量百分比"为 x，则"车辆可开启运动模式"是"车辆可正常上高速"的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6． 某算力中心开展断电演练，演练报告中有一句结论："该中心每一台服务器在演练期间均保持在线。"这句话的否定形式是 A. 该中心每一台服务器在演练期间均未保持在线 B. 该中心至少有一台服务器在演练期间未保持在线 C. 该中心至少有一台服务器在演练期间保持在线 D. 该中心只有一台服务器在演练期间未保持在线 7． 某快递分拣中心给传送带上的包裹贴码，A 类码的编号组成 M = {x | x = 3k + 1，k ∈ Z}，B 类码的编号组成 N = {x | x = 6k + 1，k ∈ Z}。则 M 与 N 的关系为 A. M = N B. N ⊊ M C. M ⊊ N D. M ∩ N = ∅ 8． 命题"若一个四边形是菱形，则它的两条对角线互相垂直"的逆否命题是 A. 若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形 B. 若一个四边形不是菱形，则它的两条对角线不互相垂直 C. 若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形 D. 若一个四边形不是菱形，则它的两条对角线互相垂直 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某社区团购平台把 6 个前置仓编号为 1 至 6，组成全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}；其中冷链仓编号组成 A = {1, 3, 5}，常温仓编号组成 B = {2, 3, 4}。下面给出的四个等式中，成立的有 A. A ∩ B = {3} B. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} C. U 中 A 的补集为 {2, 4, 6} D. U 中 B 的补集为 {1, 3, 5, 6} 10． 下列关于充分条件与必要条件的四个判断中，正确的是 A. "x = 1"是"x(x − 1) = 0"的充分不必要条件 B. "a > b"是" > "的充分不必要条件 C. "一个四边形是正方形"是"这个四边形是矩形"的充分不必要条件 D. "a > 0 且 b > 0"是"ab > 0"的充分不必要条件 11． 下列四个命题中，属于真命题的有 A. 存在实数 x，使 + 1 = 0 B. 对任意实数 x，都有 ≥ 0 C. 存在实数 x，使 − 2x + 1 = 0 D. 对任意实数 x，都有 − 2x + 1 > 0 三、填空题（5×3=15分） 12． 某直播助农团队把三个供货村编号为 1、2、3，记 A = {1, 2}。若某次打包选用的供货村编号组成集合 B，满足 A ∪ B = {1, 2, 3}，则这样的集合 B 共有 ___________ 个。 13． 某外卖平台规定：骑手单次接单量 x（单位：单）超过 a 单即可参与星级评定。若"x > a"是"x > 3"的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 ___________。 14． 某智慧课堂平台为 5 个试点班编号 1 至 5，从中确定一批班级参与首批试用，记这批班级编号组成集合 A。若 A 满足 {1, 2} ⊆ A ⊊ {1, 2, 3, 4, 5}，则满足条件的集合 A 共有 ___________ 个。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某校社团联合会为三个特色社团分配活动室编号，把编号分别记录为集合 A = {1, a + 1, 4} 与 B = {1, 2, a + 3}，其中 a 为实数。 （1）若 A = B，求实数 a 的值，并写出集合 A； （2）在（1）的条件下，求集合 A 的非空真子集个数。 16． 记命题 p：存在实数 x，使 + 2x + a = 0；命题 q：a ≤ 1。试判断 q 是 p 的什么条件，并说明理由。 17． 对任意两个集合 X、Y，记 X − Y = {x | x ∈ X 且 x ∉ Y}，称为 X 与 Y 的差集。 已知 A = {1, 3, 5, 7}，B = {2, 3, 5, 8}，C = {1, 2, 3, 4}。 （1）求 A − B，B − A 与 C − A； （2）求 (A − B) ∪ (B − A) 与 (A ∪ B) − (A ∩ B)，并写出你由两者关系得到的结论。 18． 某冷链物流公司规定货厢温度 x（单位：℃）需落在区间型集合 B = {x | −1 ≤ x ≤ 5} 内才算合格； 某车型的温控系统设定的温度集合为 A = {x | m ≤ x ≤ m + 3}，其中 m 为实数。 （1）当 m = 3 时，求 A ∩ B 与 A ∪ B； （2）若"货厢温度属于 A"是"货厢温度属于 B"的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第1节 集合与常用逻辑用语 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某智慧农业基地为大棚编号并逐月登记在用的传感器：6 月启用的编号组成集合 A = {1, 2, 4, 6}，7 月新增启用的编号组成集合 B = {2, 3, 6, 9}。则这两个月都在用的传感器编号组成 A. {2, 6} B. {1, 2, 3, 4, 6, 9} C. {2} D. {6} 【答案】A 【解析】"两个月都在用"翻译成集合语言就是取交集，交集里的元素必须同时属于 A 与 B。 逐个核对：1 只在 A 中，2 在 A 与 B 中都有，3 只在 B 中，4 只在 A 中，6 在 A 与 B 中都有，9 只在 B 中。 所以 A ∩ B = {2, 6}，对应选项 A。 如果取成并集 {1, 2, 3, 4, 6, 9} 就落进了选项 B 的陷阱，那是"至少有一个月在用"的意思。 【考查知识点】交集的运算与交集的实际含义 【易错点】把"两个月都在用"当成"至少一个月在用"而误取并集；交集只保留两集合共有的元素 2． 某县文旅局分两批推介传统村落，首批推介的村落编号组成 M = {3, 5, 7}，第二批推介的编号组成 N = {2, 5, 8}。则这两批推介过的村落编号组成的集合中，元素的个数为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 【答案】B 【解析】"两批推介过"指至少被推介过一次，对应集合的并集 M ∪ N。 把两批编号合到一起：{3, 5, 7} ∪ {2, 5, 8} = {2, 3, 5, 7, 8}，其中编号 5 被两批都推介过，在并集里只记一次。 数一数可知并集中共有 5 个元素，选 B。 最容易错的是把 3 + 3 = 6 直接当成元素个数（选项 C），忘了并集要去掉重复元素。 【考查知识点】并集的运算、并集中重复元素只计一次 【易错点】把两个集合元素个数直接相加得到 6；先合并再去重，或写成列举形式再数最稳 3． 某校为体质测试不合格学生建立帮扶台账，把参与帮扶的 9 名学生编号为 1 至 9，组成全集 U。其中需要加强上肢力量训练的编号组成 A = {2, 4, 6, 8}，则 U 中 A 的补集所含元素个数为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】补集必须相对给定的全集来取，本题的全集是 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，共 9 个元素。 A = {2, 4, 6, 8} 占去 4 个编号，剩下的就是补集：{1, 3, 5, 7, 9}，共 5 个元素。 所以补集含 5 个元素，选 B。 若把补集写成偶数之外的所有正整数就错了，因为补集只能从全集 U 里取元素，不能随手补充新的编号。 【考查知识点】补集的运算与全集的限定作用 【易错点】脱离全集谈补集，把 10 以后的编号或 0 也写进去；补集元素个数 = 全集元素个数 − 原集合元素个数 4． 某校"校园邮局"设分拣、投递、收银、客服四个岗位，把这四个岗位看作集合 S 的元素。则 S 的真子集个数为 A. 14 B. 15 C. 16 D. 8 【答案】B 【解析】集合 S 含 4 个元素，它的子集总数为 = 16 个。 真子集要在全部子集中去掉集合自身，得 16 − 1 = 15 个。 所以真子集共 15 个，选 B。 若题目问的是"非空真子集"，还要再去掉空集，得 14 个（选项 A）；做题时务必看清"真"与"非空"这两个限定词各去掉了什么。 【考查知识点】子集与真子集个数的计算 【易错点】漏掉"真"字而答 16，或把"非空真子集"与"真子集"混为一谈而答 14 5． 某款新能源汽车的说明书注明：电池剩余电量高于 20% 时车辆可正常上高速，高于 35% 时可开启运动模式。记"该车的电池剩余电量百分比"为 x，则"车辆可开启运动模式"是"车辆可正常上高速"的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】把两句话翻译成关于 x 的条件：可开启运动模式对应 x > 35，可正常上高速对应 x > 20。 若 x > 35，则必有 x > 20，说明由前者能推出后者，充分性成立； 反过来取 x = 25，此时车辆能上高速却开不了运动模式，说明由后者推不出前者，必要性不成立。 所以"可开启运动模式"是"可正常上高速"的充分不必要条件，选 A。 【考查知识点】充分条件与必要条件的判定 【易错点】把推出方向读反，答成必要不充分；判定时牢记"A 是 B 的充分条件"即由 A 推 B 6． 某算力中心开展断电演练，演练报告中有一句结论："该中心每一台服务器在演练期间均保持在线。"这句话的否定形式是 A. 该中心每一台服务器在演练期间均未保持在线 B. 该中心至少有一台服务器在演练期间未保持在线 C. 该中心至少有一台服务器在演练期间保持在线 D. 该中心只有一台服务器在演练期间未保持在线 【答案】B 【解析】原句含全称量词"每一台"，否定它要做两件事：量词由"每一台"换成"至少有一台"，同时把结论"保持在线"改成"未保持在线"。 两件事合起来，否定形式就是"该中心至少有一台服务器在演练期间未保持在线"，选 B。 选项 A 把"每一台"原样保留，只改了结论，那是"全都在线"的反面，比原句的否定强得多；选项 C 只换了量词，选项 D 多加了"只有一台"的数量限制，都不对。 【考查知识点】全称量词命题的否定 【易错点】只改量词或只改结论；否定时必须"量词换、结论换"两步同时做，且不能额外添加数量限制 7． 某快递分拣中心给传送带上的包裹贴码，A 类码的编号组成 M = {x | x = 3k + 1，k ∈ Z}，B 类码的编号组成 N = {x | x = 6k + 1，k ∈ Z}。则 M 与 N 的关系为 A. M = N B. N ⊊ M C. M ⊊ N D. M ∩ N = ∅ 【答案】B 【解析】先把 N 中元素的样子改写一下：6k + 1 = 3(2k) + 1。由于 2k 仍是整数，可见 N 中每个数都能写成"3 乘以某个整数再加 1"，必属于 M。 再看 M 中有没有不属于 N 的数：取 k = 1 得 3 × 1 + 1 = 4，而 4 = 6k + 1 要 k = ，不是整数，故 4 ∈ M 但 4 ∉ N。 一头证明"都属于"，另一头举出反例说明"并不全属于"，两头合起来得 N ⊊ M，选 B。 判定真子集必须双向验证，只做第一步就只能得到"包含"，无法排除相等的情形。 【考查知识点】描述法表示的集合之间的真子集关系 【易错点】只验证包含方向就下结论；判定真子集要"证明包含 + 举反例"两步齐全 8． 命题"若一个四边形是菱形，则它的两条对角线互相垂直"的逆否命题是 A. 若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形 B. 若一个四边形不是菱形，则它的两条对角线不互相垂直 C. 若一个四边形的两条对角线互相垂直，则它是菱形 D. 若一个四边形不是菱形，则它的两条对角线互相垂直 【答案】A 【解析】写逆否命题的规则只有一句：把条件与结论互换位置，并且各取否定，两步要同时做。 原命题的条件是"四边形是菱形"，结论是"两条对角线互相垂直"；互换并取否定后得到"若一个四边形的两条对角线不互相垂直，则它不是菱形"。 这正是选项 A。 选项 B 只否定不换位置，是否命题；选项 C 只换位置不否定，是逆命题；选项 D 把结论的否定写反了。 【考查知识点】四种命题的构成与逆否命题的写法 【易错点】把否命题当成逆否命题而误选 B；逆否命题必须"换位置 + 都否定"两步齐全 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某社区团购平台把 6 个前置仓编号为 1 至 6，组成全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}；其中冷链仓编号组成 A = {1, 3, 5}，常温仓编号组成 B = {2, 3, 4}。下面给出的四个等式中，成立的有 A. A ∩ B = {3} B. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} C. U 中 A 的补集为 {2, 4, 6} D. U 中 B 的补集为 {1, 3, 5, 6} 【答案】ABC 【解析】逐项核算。A ∩ B 取两集合共有的编号，只有 3，故 A 项正确。 A ∪ B 合并后按从小到大排为 {1, 2, 3, 4, 5}，故 B 项正确。 U 中 A 的补集是从 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 中去掉 1、3、5，剩下 {2, 4, 6}，故 C 项正确。 U 中 B 的补集是去掉 2、3、4，剩下 {1, 5, 6}；选项 D 多写了 3，而 3 属于 B，不该出现在补集里，故 D 项错误。 成立的是 A、B、C 三项。另需提醒：补集必须盯着全集 U 取，不要把 7 以后的编号写进来。 【考查知识点】交集、并集与补集的综合运算 【易错点】把补集写成相对整数集而混入 0 或 7；四项全对的多选题在基础训练中确实存在，要逐项核算而不是"凑两个" 10． 下列关于充分条件与必要条件的四个判断中，正确的是 A. "x = 1"是"x(x − 1) = 0"的充分不必要条件 B. "a > b"是" > "的充分不必要条件 C. "一个四边形是正方形"是"这个四边形是矩形"的充分不必要条件 D. "a > 0 且 b > 0"是"ab > 0"的充分不必要条件 【答案】ACD 【解析】A 项：由 x = 1 代入得 1 × 0 = 0，等式成立，充分性成立；而等式成立时 x 还可以取 0，推不出 x = 1，必要性不成立。A 正确。 B 项：取 a = 1，b = −2，满足 a > b，但 = 1 小于 = 4，充分性不成立；再取 a = −2，b = 1，有 > 却不满足 a > b，必要性也不成立。B 错误。 C 项：正方形一定是矩形，充分性成立；矩形不一定是正方形，必要性不成立。C 正确。 D 项：由 a > 0 且 b > 0 得 ab > 0，充分性成立；而 ab > 0 时还可能 a、b 同为负数，推不出两者都为正。D 正确。 综上答案为 ACD。举反例是判定必要性的最快手段。 【考查知识点】充分条件与必要条件的判定、举反例否定必要性 【易错点】对 B 项凭直觉下结论；带平方的不等式在实数范围内没有保号性，务必代入负数检验 11． 下列四个命题中，属于真命题的有 A. 存在实数 x，使 + 1 = 0 B. 对任意实数 x，都有 ≥ 0 C. 存在实数 x，使 − 2x + 1 = 0 D. 对任意实数 x，都有 − 2x + 1 > 0 【答案】BC 【解析】A 项： ≥ 0 恒成立，故 + 1 ≥ 1，方程无实数解，A 是假命题。 B 项：实数的平方非负是基本事实，对任意实数 x 都成立，B 是真命题。 C 项： − 2x + 1 = ，取 x = 1 时值为 0，方程有实数解，C 是真命题。 D 项：同样由 ≥ 0 可知，当 x = 1 时该式等于 0，并不大于 0，D 是假命题。 所以真命题为 B、C。判定含"任意"的命题为假只需举一个反例，判定含"存在"的命题为真只需找出一个例子。 【考查知识点】全称量词与存在量词命题真假的判定 【易错点】C、D 两项用的是同一个式子，"存在使等于 0"为真与"任意都大于 0"为假并不矛盾，关键在量词 三、填空题（5×3=15分） 12． 某直播助农团队把三个供货村编号为 1、2、3，记 A = {1, 2}。若某次打包选用的供货村编号组成集合 B，满足 A ∪ B = {1, 2, 3}，则这样的集合 B 共有 ___________ 个。 【答案】4 【解析】由 A ∪ B = {1, 2, 3} 且 A = {1, 2} 可知：编号 3 不在 A 中，只能由 B 提供，故 3 必须属于 B。 同时并集里不能出现 1、2、3 以外的编号，所以 B 只能是 {1, 2, 3} 的子集。 于是 B 由"必选的 3"加上"1、2 中任意挑选"组成，1、2 各有选与不选两种可能，共 2 × 2 = 4 种，即 {3}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}。 答案为 4 个。 【考查知识点】由并集结果反推集合的可能个数 【易错点】漏掉"3 必属于 B"这一约束而直接数 {1, 2, 3} 的子集得 8；先定必选元素再数自由元素最稳 13． 某外卖平台规定：骑手单次接单量 x（单位：单）超过 a 单即可参与星级评定。若"x > a"是"x > 3"的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 ___________。 【答案】a < 3 【解析】把两个条件各看成一个集合：记 P = {x | x > 3}，Q = {x | x > a}。 "x > a"是"x > 3"的必要不充分条件，意思是"x > 3"能推出"x > a"，反过来推不出，即 P ⊊ Q。 要使 {x | x > 3} 真含于 {x | x > a}，数轴上的分界点必须满足 a < 3；若 a = 3，两个集合相同，就成了充要条件。 所以 a 的取值范围是 a < 3。 【考查知识点】由必要不充分条件转化为集合的真包含关系求参数 【易错点】把方向弄反得出 a > 3；记住"甲是乙的必要条件"即乙推出甲，对应乙的集合含于甲的集合 14． 某智慧课堂平台为 5 个试点班编号 1 至 5，从中确定一批班级参与首批试用，记这批班级编号组成集合 A。若 A 满足 {1, 2} ⊆ A ⊊ {1, 2, 3, 4, 5}，则满足条件的集合 A 共有 ___________ 个。 【答案】7 【解析】由 {1, 2} ⊆ A 知编号 1、2 必在 A 中；由 A ⊊ {1, 2, 3, 4, 5} 知 A 的元素只能从 1 至 5 中取，且不能取成整个 {1, 2, 3, 4, 5}。 因此 A 由"必选的 1、2"加上"从 3、4、5 中任选"组成，3、4、5 各有选与不选两种可能，共 = 8 种取法。 其中把 3、4、5 全选上时 A = {1, 2, 3, 4, 5}，与"真子集"矛盾，要剔除这一情形，剩 8 − 1 = 7 种。 答案为 7 个。 【考查知识点】子集与真子集的计数、必选元素与可选元素的分离 【易错点】忘记剔除"全选"情形而答 8；遇到真子集符号 ⊊ 时要立刻想到"至少少一个元素" 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某校社团联合会为三个特色社团分配活动室编号，把编号分别记录为集合 A = {1, a + 1, 4} 与 B = {1, 2, a + 3}，其中 a 为实数。 （1）若 A = B，求实数 a 的值，并写出集合 A； （2）在（1）的条件下，求集合 A 的非空真子集个数。 【答案】解：（1）因为 A = B，两个集合的元素完全相同。 两个集合中都已经含有元素 1，于是剩下的部分必须相同，即 {a + 1, 4} = {2, a + 3}。 配对有两种可能：其一是 a + 1 = 2 且 4 = a + 3，两式同解，得 a = 1； 其二是 a + 1 = a + 3 且 4 = 2，前者无解、后者不成立，舍去。 还要检查"有元素与 1 重复"的情形：若 a + 1 = 1，则 a = 0，此时 A = {1, 4}，B = {1, 2, 3}，两者不相等，舍去。 所以 a = 1，代入得 A = {1, 2, 4}，B = {1, 2, 4}，确有 A = B，且三个元素互不相同，符合集合元素的互异性。 （2）A = {1, 2, 4} 含 3 个元素，子集总数为 = 8 个。 非空真子集要去掉空集与集合自身两个，故个数为 8 − 2 = 6。 所以 a = 1，A = {1, 2, 4}，A 的非空真子集共 6 个。 【解析】思路点睛：集合相等就是元素逐一对应相等，先对齐两集合中已经相同的元素，再让剩下的元素配对，可大幅减少讨论。 关键步骤：配对后得到方程组，其中"a + 1 = a + 3"这一支显然无解，直接排除即可。 验算环节不能省：求出 a 后要代回去检查元素是否互异，若出现两个相同元素，该取值必须舍去。 第二问注意"非空真子集"要减去空集与自身两个，只减一个得到 7 是常见失误。 【考查知识点】集合相等求参数、子集个数的计算 【易错点】求出 a 后不检验元素互异性；非空真子集要减去空集与集合自身共 2 个 16． 记命题 p：存在实数 x，使 + 2x + a = 0；命题 q：a ≤ 1。试判断 q 是 p 的什么条件，并说明理由。 【答案】解：先求出命题 p 成立的充要条件。 方程 + 2x + a = 0 有实数解，当且仅当判别式 Δ = − 4 × 1 × a = 4 − 4a ≥ 0， 即 4 ≥ 4a，得 a ≤ 1。 所以 p 为真当且仅当 a ≤ 1，而这正是命题 q 所陈述的内容，故 p 与 q 等价。 既然 p 与 q 可以互相推出，那么 q 是 p 的充要条件。 答：q 是 p 的充要条件。 【解析】思路点睛：含"存在实数解"的命题，先把它转化成判别式非负这个等价条件，再与另一个命题比对。 关键步骤：判别式算出 4 − 4a，由 Δ ≥ 0 解得 a ≤ 1，与 q 完全一致。 判定用语要规范：p 与 q 等价时，q 既是 p 的充分条件也是 p 的必要条件，写作"充要条件"。 若把"存在实数解"误当成"对任意实数成立"，就会得到完全相反的结论，量词看错是这类题的第一失分点。 【考查知识点】存在量词命题与判别式的等价转化、充要条件的判定 【易错点】把"存在实数解"与"恒成立"混淆；判别式要写成 Δ ≥ 0 而不是 Δ > 0（取等时方程有两个相等实根，仍是有解） 17． 对任意两个集合 X、Y，记 X − Y = {x | x ∈ X 且 x ∉ Y}，称为 X 与 Y 的差集。 已知 A = {1, 3, 5, 7}，B = {2, 3, 5, 8}，C = {1, 2, 3, 4}。 （1）求 A − B，B − A 与 C − A； （2）求 (A − B) ∪ (B − A) 与 (A ∪ B) − (A ∩ B)，并写出你由两者关系得到的结论。 【答案】解：（1）A − B 要求元素属于 A 且不属于 B。A 中的 1、7 不在 B 中，而 3、5 都在 B 中，故 A − B = {1, 7}。 同理 B − A 中保留 B 内不在 A 中的元素 2、8，故 B − A = {2, 8}。 C − A 中保留 C 内不在 A 中的元素：C 的 1、3 在 A 中，剩下 2、4，故 C − A = {2, 4}。 （2）由（1）得 (A − B) ∪ (B − A) = {1, 7} ∪ {2, 8} = {1, 2, 7, 8}。 再算另一边：A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 8}，A ∩ B = {3, 5}， 于是 (A ∪ B) − (A ∩ B) 就是从并集中去掉 3、5，得 {1, 2, 7, 8}。 两者结果相同，故得到的结论是：(A − B) ∪ (B − A) = (A ∪ B) − (A ∩ B)，即"只属于其中一个集合的元素"既可以从两边差集的并集得到，也可以从并集中挖去交集得到。 【解析】思路点睛：差集是教材运算的自然延伸，处理时逐个元素判断"在不在对方里面"即可，不要凭印象。 关键步骤：A − B 与 B − A 一般并不相等，这正是差集不满足交换律的体现，答题时要分别算。 第二问的计算提示了一个常用变形：对称差 = 并集挖掉交集，它在集合计数中很有用。 书写时要注意集合元素按从小到大排列，重复元素只写一次。 【考查知识点】差集的定义与运算、并集与交集的综合 【易错点】把 A − B 与 B − A 当成同一个集合；第二问漏掉并集中的公共元素要被挖去 18． 某冷链物流公司规定货厢温度 x（单位：℃）需落在区间型集合 B = {x | −1 ≤ x ≤ 5} 内才算合格； 某车型的温控系统设定的温度集合为 A = {x | m ≤ x ≤ m + 3}，其中 m 为实数。 （1）当 m = 3 时，求 A ∩ B 与 A ∪ B； （2）若"货厢温度属于 A"是"货厢温度属于 B"的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围。 【答案】解：（1）当 m = 3 时，A = {x | 3 ≤ x ≤ 6}。 与 B = {x | −1 ≤ x ≤ 5} 取交集，两端各取更"靠里"的端点，得 A ∩ B = {x | 3 ≤ x ≤ 5}。 取并集，两端各取更"靠外"的端点，得 A ∪ B = {x | −1 ≤ x ≤ 6}。 （2）"温度属于 A"是"温度属于 B"的充分不必要条件，等价于集合 A 真包含于集合 B，即 A ⊊ B。 为此需要 A 的左端点不小于 B 的左端点，且 A 的右端点不大于 B 的右端点，即 m ≥ −1 且 m + 3 ≤ 5。 解得 m ≥ −1 且 m ≤ 2，故 −1 ≤ m ≤ 2。 由于 A 的区间长度为 3，B 的区间长度为 6，在上述范围内 A 不可能与 B 相等，"真"包含自动成立。 所以 m 的取值范围是 −1 ≤ m ≤ 2。 【解析】思路点睛：把充分必要条件翻译成集合的包含关系，是处理区间型参数问题的通法，比逐句推理想得清楚。 关键步骤：A ⊊ B 对区间而言就是"左端点不左于、右端点不右于"，列两个不等式即可。 端点能否取等需要单独想清楚：本题中 A 比 B 短，取等时仍不相等，故 m = −1 与 m = 2 都可以取。 若两区间长度相同，就必须额外排除相等的取值，答题时把这一点写明可以拿满步骤分。 【考查知识点】区间型集合的交并运算、充分不必要条件转化为真包含求参数 【易错点】忘记验证"真"包含：若两集合长度相同，端点取等时会出现相等的情形，必须排除对应取值 学科网（北京）股份有限公司 $