第1节 集合与常用逻辑用语 专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第1节 集合与常用逻辑用语 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 容斥关系与元素个数 数学运算 基础 B 2 单项选择题 5 差集的实际意义与集合分类计数 数学运算 基础 A 3 单项选择题 5 量词陈述的否定 逻辑推理 基础 B 4 单项选择题 5 充分必要条件的判定 逻辑推理 基础 A 5 单项选择题 5 子集个数的计数 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 描述法与包含关系 逻辑推理 中档 B 7 单项选择题 5 判别式与充分条件 逻辑推理 中档 A 8 单项选择题 5 并集与补集运算 数学运算 中档 C 9 多项选择题 6 方程解集的交并运算 数学运算 中档 ABC 10 多项选择题 6 量词陈述的真假判定 逻辑推理 中档 BCD 11 多项选择题 6 条件关系的判定 逻辑推理 中档 ABD 12 填空题 5 交集的列举 数学运算 基础 1 13 填空题 5 量词否定与恒成立 逻辑推理 中档 (−∞, −1) 14 填空题 5 子集关系与空集讨论 数学运算、逻辑推理 中档 {0} ∪ (1, +∞) 15 解答题 13 子集关系与含参讨论 数学运算、逻辑推理 中档 见解析 16 解答题 14 判别式、复合命题与逻辑推理 逻辑推理、数学运算 略难 见解析 难度分布：基础 6 题，中档 9 题，略难 1 题。全卷共 16 题，满分 100 分，预估难度系数 0.55—0.70。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第1节 集合与常用逻辑用语 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 集合的表示法与交、并、补运算；空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集 ② 用集合语言处理计数：由容斥关系由两个集合的元素个数反推并集、交集的大小 ③ 子集与真子集的计数：含 n 个元素的集合共有 个子集、 − 1 个真子集 ④ 充分条件与必要条件的判定：把两句话各自翻译为集合的包含关系，或用反例说明不成立 ⑤ 全称量词、存在量词命题的否定与真假判定，以及"且""或"型复合命题真假的判定 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某班 45 名同学全员参加"旧物回收"打卡，其中回收塑料瓶的有 21 人，回收旧书刊的有 18 人，两样都回收的有 7 人。两样都没有回收的同学共有 A. 11 人 B. 13 人 C. 15 人 D. 17 人 2. 某单位 120 名职工体检，报告显示血压偏高者 52 人，血糖偏高者 48 人，两项都偏高者 16 人。则血糖偏高但血压正常的人数为 A. 32 人 B. 36 人 C. 40 人 D. 68 人 3. 陈述"对任意实数 t， + t + 1 ≠ 0"的否定式，写作 A. 对任意实数 t， + t + 1 = 0 B. 存在实数 t，使 + t + 1 = 0 C. 存在实数 t，使 + t + 1 ≠ 0 D. 对任意实数 t， + t + 1 < 0 4. "x = 2"是" − 5x + 6 = 0"成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 某社团的成员构成集合 S，经盘点 S 的所有子集一共 16 个，则 S 的非空真子集共有 A. 14 个 B. 15 个 C. 16 个 D. 8 个 6. 设 M = {x | x = 6k + 2，k ∈ Z}，N = {x | x = 3k − 1，k ∈ Z}，则 M 与 N 的关系是 A. M = N B. M ⊊ N C. N ⊊ M D. M ∩ N = ∅ 7. 记命题 p：方程 + bx + 3 = 0 有实数根；命题 q：b ≥ 4。则 q 是 p 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A = {2, 4, 6, 8}，B 为 U 中所有小于 3 的元素组成的集合。则 U 中 A ∪ B 的补集含有 A. 1 个元素 B. 2 个元素 C. 3 个元素 D. 4 个元素 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 某校"建模社"把方程 − 7x + 12 = 0 的解组成集合 A，把方程 + x − 6 = 0 的解组成集合 B，另取 C = {2, 3, 4}。在下列关于这三个集合的说法中，成立的是 A. A ∪ B = {−3, 2, 3, 4} B. A ∩ C = {3, 4} C. B ∩ C = {2} D. A ∩ B ≠ ∅ 10. 下列四种关于量词的陈述中，判断为真的是 A. 对任意实数 x， + 2 < 0 B. 对任意实数 x， + 1 ≥ 0 C. 存在整数 x，使 = 9 D. 对 {0, 1} 中的每一个 x，都有 x(x − 1) = 0 11. 设 a，b ∈ R。下列四组条件关系中，判断无误的是 A. "a + b > 0"是"a > 0 且 b > 0"的必要不充分条件 B. "|a| = |b|"是"a = b"的必要不充分条件 C. "a = 0"是"ab = 0"的充要条件 D. "a > b"是" > "的充要条件 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设 A = {−1, 0, 3, 5}，B = {x | x = 3k，k ∈ A}，则 A ∩ B 的元素个数为___________。 13. 若"存在 x ∈ [−1, 3]，使 − 2x − a ≤ 0"是假陈述，则实数 a 的取值范围是___________。 14. 设集合 A = {0, 2}，B = {x | − 2x + a = 0}。若 B 是 A 的子集，则实数 a 的取值集合为___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校"建模社"登记两次活动：第一次由方程 − 3x − 4 = 0 的解组成集合 A，第二次由方程 (k − 1)x = 2 的解组成集合 B。 （1）当 k = 3 时，求 A ∩ B 与 A ∪ B； （2）若 A ∪ B = A，求实数 k 的取值集合。 16. 设 p：方程 + 3x + t = 0 有实数根；q：方程 + 2tx + 3 = 0 没有实数根。 （1）若 p 为真命题，求实数 t 的取值范围； （2）若"p 或 q"为真命题且"p 且 q"为假命题，求实数 t 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三120分突破 第1节 集合与常用逻辑用语 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 【本节考查知识点】 ① 集合的表示法与交、并、补运算；空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集 ② 用集合语言处理计数：由容斥关系由两个集合的元素个数反推并集、交集的大小 ③ 子集与真子集的计数：含 n 个元素的集合共有 个子集、 − 1 个真子集 ④ 充分条件与必要条件的判定：把两句话各自翻译为集合的包含关系，或用反例说明不成立 ⑤ 全称量词、存在量词命题的否定与真假判定，以及"且""或"型复合命题真假的判定 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 某班 45 名同学全员参加"旧物回收"打卡，其中回收塑料瓶的有 21 人，回收旧书刊的有 18 人，两样都回收的有 7 人。两样都没有回收的同学共有 A. 11 人 B. 13 人 C. 15 人 D. 17 人 【答案】B 【解析】把回收塑料瓶的人看作一个集合，其中 21 人；回收旧书刊的看作另一个集合，其中 18 人；两样都回收的正是这两个集合的交集，共 7 人。 先数"至少回收一样"的人数：21 + 18 − 7 = 32。这里必须减掉一次交集，因为两样都回收的 7 人在前面的 21 与 18 里各被统计了一遍。 全班 45 人扣掉这 32 人，剩下的就是两样都没回收的：45 − 32 = 13，所以两样都没有回收的共 13 人。 【考查知识点】集合的容斥关系与元素个数的计算 【易错点】并集个数里忘记扣掉交集，算成 21 + 18 = 39 而误选 D；另外"两样都没有"是补集里的事，必须先求出并集再取补 2. 某单位 120 名职工体检，报告显示血压偏高者 52 人，血糖偏高者 48 人，两项都偏高者 16 人。则血糖偏高但血压正常的人数为 A. 32 人 B. 36 人 C. 40 人 D. 68 人 【答案】A 【解析】"血糖偏高者"共 48 人，其中 16 人血压也偏高。 从血糖偏高者中去掉两项都偏高的 16 人，剩下的就是"血糖偏高但血压正常"的人数：48 − 16 = 32。 所以所求为 32 人。 【考查知识点】集合的差集思想在实际分类计数中的应用 【易错点】用血压偏高者 52 人减去两项都偏高的 16 人，得到的是"血压偏高但血糖正常"的人数；本题问的是血糖偏高但血压正常，应拿 48 − 16 3. 陈述"对任意实数 t， + t + 1 ≠ 0"的否定式，写作 A. 对任意实数 t， + t + 1 = 0 B. 存在实数 t，使 + t + 1 = 0 C. 存在实数 t，使 + t + 1 ≠ 0 D. 对任意实数 t， + t + 1 < 0 【答案】B 【解析】否定一个含量词的陈述，要做两件事并且同时做：量词由"任意"换成"存在"，结论取反。 原结论是"≠ 0"，它的反面是"= 0"；量词"对任意实数 t"换成"存在实数 t"。 两件事合起来，否定式就是"存在实数 t，使 + t + 1 = 0"，选 B。 顺带说明：这个否定式其实是假命题，因为 + t + 1 = (t + ){^|2|} + 恒为正；但真假归真假，否定式的写法不变。 【考查知识点】全称量词陈述的否定：量词与结论同时改变 【易错点】只把"任意"换成"存在"而原样保留结论，写成"存在 t 使 … ≠ 0"而漏选；或把"≠"的否定写成"<"，漏掉取等的那一种 4. "x = 2"是" − 5x + 6 = 0"成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先把左边的式子拆开： − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)，所以等式成立当且仅当 x 取 2 或 3。 由 x = 2 必然能推出等式成立，充分性成立；反过来等式成立时 x 还可能是 3，推不出 x = 2，必要性不成立。 所以"x = 2"是"等式成立"的充分不必要条件，选 A。 通用的判法是把两句话各变成一个集合，看前者集合是不是后者集合的子集；这里是"单元素集合"含于"二元素集合"，只能得充分性。 【考查知识点】充分条件与必要条件的判定、一元二次方程的因式分解 【易错点】看到方程有两个根就贴上"充要"而误选 C；只要前者只取到其中一个根，就只有充分性，没有必要性 5. 某社团的成员构成集合 S，经盘点 S 的所有子集一共 16 个，则 S 的非空真子集共有 A. 14 个 B. 15 个 C. 16 个 D. 8 个 【答案】A 【解析】含 n 个元素的集合，子集总数为 。由 = 16 = 反解得 n = 4。 真子集要在全部子集中去掉集合自身，得 16 − 1 = 15 个；题目问的是"非空"真子集，还要再去掉空集，剩 15 − 1 = 14 个。 所以非空真子集共有 14 个，选 A。 【考查知识点】子集、真子集与非空真子集的个数计算 【易错点】去掉集合本身后直接答 15 而误选 B，漏看"非空"二字；按"先数全部、再剔掉集合自身、最后剔掉空集"的顺序一层层剥离最稳 6. 设 M = {x | x = 6k + 2，k ∈ Z}，N = {x | x = 3k − 1，k ∈ Z}，则 M 与 N 的关系是 A. M = N B. M ⊊ N C. N ⊊ M D. M ∩ N = ∅ 【答案】B 【解析】先把 N 换个写法：3k − 1 = 3k + 2 = 3(k + 1) − 1，把 k + 1 再记成一个新的整数下标，于是 N = {x | x = 3乘以这个整数再加 2}，它描述的是所有被 3 除余 2 的整数。 M 中的元素是 6k + 2，也就是把上一条里的那个新下标限定成偶数后得到的，所以 M 里每个数都属于 N； 反过来，在 N 中取那个新下标等于 1，得到 5，而 5 不能写成 6k + 2（k 为整数），说明 N 里有 M 之外的元素。 两头合起来就是 M 真含于 N，即 M ⊊ N，选 B。 【考查知识点】描述法表示的集合之间的包含关系、整式变形 【易错点】只看"M 的元素都是整数"就下结论；判定真子集必须两头验证：一头用恒等变形证明"属于"，另一头举一个反例证明"真" 7. 记命题 p：方程 + bx + 3 = 0 有实数根；命题 q：b ≥ 4。则 q 是 p 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】p 成立的条件来源于判别式非负：Δ = − 12 ≥ 0，即 b ≤ − 或 b ≥ 。 q 给出 b ≥ 4，由 4 > 可知 b ≥ 4 一定落在 p 的范围内，所以由 q 能推出 p，充分性成立； 反过来取 b = ，它满足 p 却显然不满足 b ≥ 4，说明由 p 推不出 q，必要性不成立。 题目问的是"q 是 p 的什么条件"，方向是把 q 当作前提去推 p，结论是充分不必要，选 A。 【考查知识点】由判别式解出条件、判定充分与必要 【易错点】把问法方向读反，按"p 是 q 的什么条件"另算一套；比较 b 与 时不必开尽，只要知道 4 比它大即可 8. 全集 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A = {2, 4, 6, 8}，B 为 U 中所有小于 3 的元素组成的集合。则 U 中 A ∪ B 的补集含有 A. 1 个元素 B. 2 个元素 C. 3 个元素 D. 4 个元素 【答案】C 【解析】先求 B：U 中小于 3 的元素是 1 与 2，故 B = {1, 2}。 再求并集：A ∪ B = {2, 4, 6, 8} ∪ {1, 2} = {1, 2, 4, 6, 8}。 然后在 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 中取补集，去掉 1、2、4、6、8，剩下 {3, 5, 7}。 所以补集含 3 个元素，对应选项 C。 候选中 2 个（B 项）来自只去掉 A 里的元素而漏掉 B 中的 1；先算谁后算谁不影响结果，顺序错了才会乱。 【考查知识点】并集与补集的运算、全集的限制作用 【易错点】补集必须相对给定的全集 U 来取，随手把 3 或 9 之类的数写进去；另外并集里重复元素只算一次 二、多项选择题（每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9. 某校"建模社"把方程 − 7x + 12 = 0 的解组成集合 A，把方程 + x − 6 = 0 的解组成集合 B，另取 C = {2, 3, 4}。在下列关于这三个集合的说法中，成立的是 A. A ∪ B = {−3, 2, 3, 4} B. A ∩ C = {3, 4} C. B ∩ C = {2} D. A ∩ B ≠ ∅ 【答案】ABC 【解析】先都化成列举形式： − 7x + 12 = 0 即 (x − 3)(x − 4) = 0，得 A = {3, 4}； + x − 6 = 0 即 (x + 3)(x − 2) = 0，得 B = {−3, 2}。 A 项：A ∪ B = {−3, 2, 3, 4}，并集里重复的元素只写一次，正确； B 项：A ∩ C = {3, 4} ∩ {2, 3, 4} = {3, 4}，正确； C 项：B ∩ C = {−3, 2} ∩ {2, 3, 4} = {2}，正确； D 项：A 的元素是 3、4，B 的元素是 −3、2，两边毫无重合，A ∩ B = ∅，这说法与事实正相反，错误。 【考查知识点】集合与一元二次方程的综合、交并运算 【易错点】判 D 时只看两个式子长得像就以为有公共解；两个不同方程有没有公共解必须实打实求出各自的解集再比对 10. 下列四种关于量词的陈述中，判断为真的是 A. 对任意实数 x， + 2 < 0 B. 对任意实数 x， + 1 ≥ 0 C. 存在整数 x，使 = 9 D. 对 {0, 1} 中的每一个 x，都有 x(x − 1) = 0 【答案】BCD 【解析】A 项：无论 x 取什么实数， ≥ 0，于是 + 2 ≥ 2 > 0，不可能小于 0，是假陈述； B 项： + 1 ≥ 1 ≥ 0 恒成立，是真陈述； C 项：只要举出一个实例，例如 x = 3，有 = 9 且 3 是整数，存在性即成立，是真陈述； D 项：x = 0 时左边为 0，x = 1 时 1 × (1 − 1) = 0，集合 {0, 1} 里没有别的元素，全部满足，是真陈述。 所以为真的陈述是 B、C、D。 【考查知识点】全称量词、存在量词陈述真假的判定 【易错点】A 项凭"好像有正有负"的印象就排除；判定全称陈述要用配方一类的一般性论证，而判定存在陈述只需一个反例破解或实例坐实 11. 设 a，b ∈ R。下列四组条件关系中，判断无误的是 A. "a + b > 0"是"a > 0 且 b > 0"的必要不充分条件 B. "|a| = |b|"是"a = b"的必要不充分条件 C. "a = 0"是"ab = 0"的充要条件 D. "a > b"是" > "的充要条件 【答案】ABD 【解析】A 项：a、b 都大于 0 时相加必得 a + b > 0，具备必要性；反过来取 a = 3、b = −1，有 a + b = 2 > 0 但 b < 0，故不充分，A 无误； B 项：a = b 则绝对值必相等，具备必要性；反过来取 a = 2、b = −2，|a| = |b| 却 a ≠ b，故不必要，B 无误； C 项：a = 0 一定能推出 ab = 0，但若 b = 0 且 a = 5，也有 ab = 0 而 a ≠ 0，所以这是充分不必要而非充要，C 判错了； D 项：函数 y = 在 R 上严格增，a > b 与 > 完全等价，D 无误。 【考查知识点】充分条件、必要条件的综合判定与反例构造 【易错点】C 项顺着"a = 0 能推出 ab = 0"就贴上充要标签，忘了验反向；条件关系必须正反两个方向都走一遍，缺一不可 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 设 A = {−1, 0, 3, 5}，B = {x | x = 3k，k ∈ A}，则 A ∩ B 的元素个数为___________。 【答案】1 【解析】把 k 的取值逐个代入 x = 3k：k = −1 得 −3，k = 0 得 0，k = 3 得 9，k = 5 得 15，于是 B = {−3, 0, 9, 15}。 与 A = {−1, 0, 3, 5} 比对公共元素，只有 0 这一项。 所以 A ∩ B = {0}，元素个数为 1。 【考查知识点】列举法与描述法的互化、交集运算 【易错点】把 A 中的元素直接当成 B 中的元素（例如以为 x = 3 属于 B），于是把公共元素数成两个而答 2 13. 若"存在 x ∈ [−1, 3]，使 − 2x − a ≤ 0"是假陈述，则实数 a 的取值范围是___________。 【答案】(−∞, −1) 【解析】存在量词的陈述为假，等价于它的否定为真，即"对任意 x ∈ [−1, 3]，都有 − 2x − a > 0"。 把它整理成关于 a 的条件：a < − 2x 要对区间里每一个 x 都成立，也就是 a 必须小于 − 2x 在该区间上的最小值。 记 g(x) = − 2x = − 1，顶点在 x = 1 处，函数值 −1，且 1 ∈ [−1, 3]，故最小值为 −1。 于是条件化为 a < −1，即取值范围是 (−∞, −1)。 端点检验：a = −1 时取 x = 1，有 1 − 2 − (−1) = 0，原存在陈述反而变真，故 −1 必须排除。 【考查知识点】存在量词陈述的否定、恒成立条件与闭区间上的最值 【易错点】把"陈述为假"错译成"对任意 x 使不等式 < 0"，不等号方向就翻错了；求区间最小值时顶点与端点要同时比较，不能只顾顶点 14. 设集合 A = {0, 2}，B = {x | − 2x + a = 0}。若 B 是 A 的子集，则实数 a 的取值集合为___________。 【答案】{0} ∪ (1, +∞) 【解析】按判别式 Δ = 4 − 4a 分三类走。 ① 当 a > 1 时 Δ < 0，方程无实根，B = ∅。空集是任何集合的子集，B ⊆ A 自动成立，这一类要收； ② 当 a = 1 时 Δ = 0，两根重合为 x = 1，此时 B = {1}，而 1 不在 A 中，不合题意； ③ 当 a < 1 时两根之和为 2、之积为 a。两个根都要落在 {0, 2} 里，又它们的和恰为 2，只能是 0 与 2 各一个，此时 a = 0，符合 a < 1。 把①③两类的结果并起来，a 的取值集合为 {0} ∪ (1, +∞)。 这类含参子集问题的通法是"先判空集、再判有根"，漏掉空集这一支是失分的主因。 【考查知识点】含参方程的根与集合子集关系、空集的特殊地位 【易错点】只在 a = 1 与 a < 1 之间比来比去，忘了 a > 1 时 B 为空集仍满足子集关系；另外"两根之和恒为 2"是筛选 a 的关键约束，不能丢 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校"建模社"登记两次活动：第一次由方程 − 3x − 4 = 0 的解组成集合 A，第二次由方程 (k − 1)x = 2 的解组成集合 B。 （1）当 k = 3 时，求 A ∩ B 与 A ∪ B； （2）若 A ∪ B = A，求实数 k 的取值集合。 【答案】解：（1）由 − 3x − 4 = 0 得 (x − 4)(x + 1) = 0，解得 x = 4 或 x = −1，所以 A = {4, −1}。 当 k = 3 时，方程 (k − 1)x = 2 化为 2x = 2，得 x = 1，即 B = {1}。 所以 A ∩ B = ∅，A ∪ B = {−1, 1, 4}。 （2）A ∪ B = A 与 B ⊆ A 说的是同一件事。 ① 当 k = 1 时，方程化为 0 · x = 2，无解，B = ∅，空集是任何集合的子集，条件成立； ② 当 k ≠ 1 时，由 (k − 1)x = 2 得 x = ，即 B = {} 是单元素集合。 由 B ⊆ A = {4, −1} 得 = 4 或 = −1，分别解得 k = 与 k = −1。 综上，k 的取值集合为 {1, −1, }。 【解析】第（1）问的落点是先把 A 写成列举形式，再代 k = 3 求 B，最后做两次交、并运算。注意 A ∩ B 完全可以是空集，这并不说明题目出错了。 第（2）问的关键词是"A ∪ B = A"，把它翻译成"小的那份含在大的那份里"，即 B ⊆ A，立刻把问题化成对单参数的讨论。 讨论要按一次项系数是否为 0 分两层：k = 1 时方程退化成矛盾式 0 = 2，B 是空集，这一支极易漏；k ≠ 1 时 B 是单元素集合，让这个元素等于 A 里的某个元素即可。 最后别忘把 k = 1 这个孤立的点并回取值集合，写成 {1, −1, }，不要写成两个离散值加一个区间的样子。 【考查知识点】集合与方程的综合、子集关系、含参分类讨论与空集的特殊性 【易错点】（2）中漏掉 k = 1 时 B = ∅ 这一支；或误以为空集不是任何集合的子集而把它排除 16. 设 p：方程 + 3x + t = 0 有实数根；q：方程 + 2tx + 3 = 0 没有实数根。 （1）若 p 为真命题，求实数 t 的取值范围； （2）若"p 或 q"为真命题且"p 且 q"为假命题，求实数 t 的取值范围。 【答案】解：（1）p 为真就是判别式非负： = − 4t = 9 − 4t ≥ 0，解得 t ≤ 。 所以 p 为真时 t 的取值范围为 (−∞, ]。 （2）先求 q 为真时 t 的范围：q 为真即方程无实根， = − 12 = − 12 < 0，得 < 3，即 − < t < 。 "p 或 q"真而"p 且 q"假，说明两个命题恰好有一个为真。 两个条件对应的范围分别是 (−∞, ] 与 (−, )。由于 ≈ 1.73 小于 = 2.25，第二个范围整个被第一个包住，于是"q 真而 p 假"这种情形不可能出现。 剩下的只能是"p 真且 q 假"：由 p 真得 t ≤ ；由 q 假得 ≥ 3，即 t ≤ − 或 t ≥ 。 两部分取交集，得 t ≤ − 或 ≤ t ≤ 。 所以实数 t 的取值范围为 (−∞, −] ∪ [, ]。 【解析】两问的入口都是判别式：p 把"有实根"翻成 Δ ≥ 0，q 把"无实根"翻成 Δ < 0。先把命题还原成关于 t 的不等式，再谈真与假，思路就清楚了。 第（2）问的捷径是先看两个范围的包含关系：q 的范围完全落在 p 的范围内部，因此"q 真而 p 假"绝无可能，只剩下"p 真而 q 假"这一种情况，于是一个不等式组就解完了。 把 q 的否定取回来时要小心："没有实根"的否定是"有实根"，对应 Δ ≥ 0，于是 t = ± 这两个端点必须留住，写成 < 3 的补集时注意别把等号丢了。 最后合并区间时，别漏掉 [, ] 这一段，它正是"p 真而 q 假"留下的部分；写成两个区间也不要忘了第一段是向左无限延伸的。 【考查知识点】一元二次方程根的判别式、复合命题真假的判定、条件包含关系的比较 【易错点】（1）把"有实根"写成 Δ > 0；第（2）问不比较两个条件的包含关系就机械地分两类，容易多解；取 q 的否定时丢掉端点 ± 学科网（北京）股份有限公司 $