第8节 平面向量及其应用基础专项训练-2027届高三数学一轮复习

湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第8节 平面向量及其应用 命题细目表 题号 题型 分值 考查知识点 关键能力 难度 答案 1 单项选择题 5 向量坐标的运算 数学运算 基础 B 2 单项选择题 5 数量积的定义式 数学运算 基础 C 3 单项选择题 5 垂直的坐标判定 数学运算 基础 C 4 单项选择题 5 共线的坐标判定 数学运算 基础 D 5 单项选择题 5 模长平方的展开 数学运算 基础 A 6 单项选择题 5 夹角余弦的计算 数学运算 基础 B 7 单项选择题 5 三点共线判定 数学运算 基础 C 8 单项选择题 5 定比分点的向量表示 数学运算 中档 B 9 多项选择题 6 数量积与模长核算 数学运算 中档 AB 10 多项选择题 6 向量命题真假判断 逻辑推理 中档 AC 11 多项选择题 6 含参向量的判定 数学运算 中档 ABC 12 填空题 5 同向单位向量求法 数学运算 基础 ({f|3|5}, −{f|4|5}) 13 填空题 5 模长平方展开求模 数学运算 中档 {s|13} 14 填空题 5 锐角夹角的判定 逻辑推理 中档 t > −3 且 t ≠ {f|1|3} 15 解答题 6 合力与夹角余弦 数学运算 中档 见解析 16 解答题 6 向量的线性表示 数学运算 中档 见解析 17 解答题 7 模长展开与恒等变形 数学运算 略难 见解析 18 解答题 8 平行四边形与向量 数学建模 略难 见解析 难度分布：基础 8 题，中档 8 题，略难 2 题。全卷共 18 题，满分 100 分。选择题与填空题覆盖向量的坐标运算、数量积的定义式与坐标式、垂直与共线的坐标判定、夹角余弦与模长平方的展开，三道多选题分别从数值核算、命题真假与含参判定三个角度训练向量意识，四道解答题分别处理求合力与夹角余弦、用基本定理求线性表示系数、由模长与夹角求两向量线性表示的模长与参数、平行四边形的顶点与对角线问题，整体以"会算坐标、会用数量积、会用基本定理"为目标，适合一轮复习过关使用。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第8节 平面向量及其应用 （解析版） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某露天矿场给无人驾驶矿卡下达了两段调度指令，位移分别记为向量 = (3, −1) 与向量 = (−2, 5)（单位：m）。若第二段按原样重复执行两次后再与第一段合并，则总位移向量 + 2 的坐标为 A. (1, 4) B. (−1, 9) C. (1, 9) D. (7, −11) 【答案】B 【解析】坐标运算要按分量来做，数乘先作用，再把横坐标与横坐标相加、纵坐标与纵坐标相加，不要交叉。 先做数乘：2 = (−4, 10)，即横坐标 2 × (−2) = −4，纵坐标 2 × 5 = 10。 再相加： + 2 = (3 − 4, −1 + 10) = (−1, 9)，故选 B。 选项 A 是漏乘系数 2 而算成的 + 的结果，选项 C 只在横坐标上出了符号差错。 选项 D 是把加号看成了减号，得到的正是 − 2 = (7, −11)。 【考查知识点】向量坐标的数乘与加法运算 【易错点】把数乘漏掉或把加号看成减号；坐标运算要按分量分别进行，不能交叉配对 2． 某海上风电平台用两根锚链固定船位，两根锚链对平台的拉力是两个平面向量，其中一个力的大小为 5，另一个力的大小为 2，两力的夹角为 120°。则这两个力的数量积为 A. 10 B. 5 C. −5 D. 5 【答案】C 【解析】数量积的定义式是模乘模再乘夹角余弦，即两个向量的模长之积再乘以 120°。 两力大小分别为 5 与 2，数量积为 5 × 2 × 120° = 10 × (−) = −5，故选 C。 选项 A 是漏掉了余弦因子，直接把两个模长相乘；选项 B 是把 120° 误换成了 30° 后算出的 5。 选项 D 是把 120° 当成 60°，忽略了 120° 的余弦为负；数量积是数量而不是向量，结果为负正说明夹角为钝角，这与几何直观一致。 【考查知识点】数量积的定义式与特殊角的余弦值 【易错点】把 120° 记成 60° 而答成正数；钝角的数量积一定为负 3． 某协作机器人手臂上相邻的两段连杆互相垂直，前一段的方向向量为 = (3, 2)，后一段的方向向量为 = (t, −6)，其中 t 为实数。则 t 的值为 A. −4 B. 9 C. 4 D. −9 【答案】C 【解析】两个非零向量互相垂直的充要条件是数量积为 0，坐标形式就是横坐标相乘加纵坐标相乘等于 0。 列出方程 3 × t + 2 × (−6) = 0，即 3t − 12 = 0，解得 t = 4，选 C。 选项 B 来自配对错误，把式子写成 3 × (−6) + 2t = 0 就会得到 t = 9，选项 A 与 D 只是符号上的失误。 写坐标式时务必让横坐标对着横坐标、纵坐标对着纵坐标，交叉配对是本题唯一的陷阱。 【考查知识点】两向量垂直的坐标判定条件 【易错点】把数量积的坐标式错配成 3 × (−6) + 2t 而答 9；只有同横坐标才能相乘相加 4． 某智慧货场的穿梭车先后走过两段直线路段，两段位移依次记为向量 = (1, −2) 与向量 = (k, 6)（单位：m）。若这两段位移共线，则实数 k 等于 A. 12 B. 3 C. −12 D. −3 【答案】D 【解析】两个向量共线的坐标判定是交叉相乘之差为 0，代入本题得 1 × 6 − k × (−2) = 0。 化简得 6 + 2k = 0，解得 k = −3，选 D。 选项 C 是把条件错写成横坐标相乘等于纵坐标相乘，由 1 × k = (−2) × 6 得 k = −12；选项 A 与 B 都只是单纯的倍数或符号失误。 要注意共线包括同向与反向两种情形，本题算出的 = (−3, 6) = −3 属于反向共线，同样符合要求。 【考查知识点】两向量共线的坐标判定条件 【易错点】把共线条件错写成横坐标相乘等于纵坐标相乘而答 −12；正确写法是交叉相乘之差为 0 5． 某地铁隧道盾构机的两组推进油缸同时出力，两组推力可视为向量 与 ， 的模为 2， 的模为 3，两者的合力的模为 4。则这两个推力的数量积为 A. B. 3 C. D. − 【答案】A 【解析】合力就是 ，它的模为 4，把这个模长平方展开得 16 = 4 + 9 + 2 乘以两推力的数量积。 移项得 2 乘以数量积等于 16 − 13 = 3，所以数量积为 ，选 A。 选项 B 是展开时漏掉交叉项的系数 2 所致，选项 C 与 D 则是移项或符号出错。 这类题的通用做法是先平方、再展开、后解出，展开后的两个模长平方项与交叉项系数一定要写全。 【考查知识点】由模长平方的展开反求数量积 【易错点】展开后的交叉项系数是 2 而不是 1，漏掉这个 2 就会得到选项 B 6． 某光伏跟踪支架的跟踪控制器把两组受力方向写成向量 = (1, ) 与向量 = (, 1)。则这两个向量的夹角为 A. 60° B. 30° C. 45° D. 90° 【答案】B 【解析】先求数量积：· = 1 × + × 1 = 2。 再求两个模长： 的模为 = 2， 的模为 = 2。 于是数量积为 2，两模长分别为 2 与 2，故余弦值为 = 。 这个余弦值正是 30° 的余弦，所以夹角为 30°，选 B。 选项 A 是把余弦值 与 搞混；由于两个向量都不含负分量，夹角必为锐角，可据此先排除选项 D。 【考查知识点】由坐标计算两向量夹角的余弦值 【易错点】算完余弦值后把它错当成 60°；θ = 对应的是 30° 7． 某港区自动化轨道吊在一次标定中记录到三个相邻定位点的坐标，依次为 A(1, 3)、B(4, 5)、C(7, t)。若这三个定位点在同一条直线上，则实数 t 为 A. 12 B. 5 C. 7 D. −7 【答案】C 【解析】三点共线等价于两个共起点的向量共线，这里取从 A 出发的两个向量。 由坐标得 = (4 − 1, 5 − 3) = (3, 2)， = (7 − 1, t − 3) = (6, t − 3)。 用交叉相乘之差为 0 列式：3(t − 3) − 2 × 6 = 0，即 3t − 21 = 0，解得 t = 7，选 C。 选项 B 是漏乘了系数 2 而列成 3(t − 3) − 6 = 0，属于只拿纵坐标差直接相减。 选项 A 与 D 都出现在把交叉相乘的两项约分之后忘记还原的场合，列式时应统一用交叉相乘之差为 0 处理，不要去凑分子分母。 【考查知识点】三点共线的向量坐标判定 【易错点】共线等式漏乘系数或把常数项符号写反；务必用交叉相乘之差为 0 统一处理 8． 某高标准农田的滴灌管网呈三角形布置，三个节点记为 U、V、W，中转阀门 T 落在边 VW 上，且 VT 的长度是 TW 长度的 2 倍。记向量 = ，向量 = ，则向量 用 、 表示为 A. + B. + C. + D. + 【答案】B 【解析】把路径从 U 到 V 再从 V 到 T 拆开： = + = + 。 由 VT 的长度是 TW 长度的 2 倍，得 = ，这就是线段定比分点的向量表示。 又 = − = − ，代入得 = + ( − ) = + ，选 B。 选项 A 是把分点比例用反了，那正是 TW 的长度是 VT 长度的 2 倍时应得的结果。 选项 C 与 D 的两个系数之和分别是 与 ，都不等于 1，而用两个向量线性表示直线上一点时两个系数之和必须等于 1，据此可先排除它们。 【考查知识点】平面向量基本定理与线段定比分点的向量表示 【易错点】把定比 2 ∶ 1 用反；先算出分点占整段的比例再代入最稳妥 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某斜拉桥施工监控系统把主塔两侧两根斜拉索的索力记作向量 = (2, 3) 与向量 = (−1, 2)（单位：kN）。关于这两个向量，下面四个说法中正确的有 A. 向量 与 的数量积是 4 B. 向量 的模为 ，向量 的模为 C. 向量 与 互相垂直 D. 向量 的模等于向量 的模 【答案】AB 【解析】先算数量积：· = 2 × (−1) + 3 × 2 = −2 + 6 = 4，故 A 项正确。 再算两个模长： 的模为 = ， 的模为 = ，故 B 项正确。 C 项要求数量积为 0，而上面已算出是 4，不为 0，故 C 项错误。 D 项： = (1, 5)，模为 ； = (3, 1)，模为 ，两者并不相等，故 D 项错误。 所以正确项为 A、B；顺带记住恒等式： 与 的数量积等于 的模的平方减去 的模的平方，本题即 13 − 5 = 8，同样不为 0。 【考查知识点】坐标形式下的数量积、模长与垂直判定 【易错点】把数量积算错导致 C、D 两项跟着判断失误；多选题要一项一项独立核算 10． 某数字孪生车间把搬运机器人的两段指令位移记作非零向量 与 。关于它们的下列四个论断中，成立的有 A. 若 与 共线，则存在实数 λ，使 = λ B. 若 与 的数量积为 0，则 与 中至少有一个是零向量 C. 若向量 的模等于向量 的模，则 与 的数量积为 0 D. 若 与 的数量积等于两个向量模的乘积，则 与 反向 【答案】AC 【解析】A 项：共线向量基本定理的本身就是"一个非零向量可以表成另一个非零向量的实数倍"， 非零，故存在这样的 λ，A 正确。 B 项：数量积为 0 还有另一种常见来源，即两个非零向量互相垂直，例如 = (1, 0)、 = (0, 2) 都非零却数量积为 0，故 B 错误。 C 项：把两边平方后展开，两边都含同样那两个模长平方项，而交叉项一正一负，相等即得 4 乘 · = 0，故 C 正确。 D 项：此时两模长之积为正且恰等于数量积，故 θ = 1，夹角为 0°，两向量同向而不是反向，D 错误。 所以成立的是 A、C；判定这类命题的关键是把文字语言翻译成数量积或夹角，再逐句核对。 【考查知识点】共线向量基本定理、垂直与模长关系的向量表达 【易错点】把"垂直"这一来源漏掉而误判 B；把 θ = 1 当成反向而误判 D 11． 某六轴机器人末端执行器的两段位移记为向量 = (1, 2) 与向量 = (2, t)（单位：cm）。就 t 的不同取值，下面四个说法中正确的有 A. 当 t = −1 时，向量 与 互相垂直 B. 当 t = 4 时，向量 与 共线 C. 当 t = 1 时，向量 与 的夹角为锐角 D. 当 t = 0 时，向量 的模为 【答案】ABC 【解析】先写两个常用量：· = 2 + 2t，共线条件为 1 × t − 2 × 2 = t − 4 = 0。 A 项：t = −1 时数量积为 2 − 2 = 0，两向量互相垂直，A 正确。 B 项：t = 4 时 t − 4 = 0，两向量共线，此时 = (2, 4) = 2，属同向共线，B 正确。 C 项：t = 1 时数量积为 4 大于 0，且 t = 1 不满足共线条件，故夹角为锐角，C 正确。 D 项：t = 0 时 = (2, 0)，模为 2，并不是 ，故 D 错误。 所以正确项为 A、B、C；判断锐角时别忘了"数量积大于 0 且不共线"这两条要同时成立。 【考查知识点】含参数的垂直、共线判定与锐角夹角的充要条件 【易错点】D 项误把 t 当成 1 去算模；锐角必须同时排除同向共线的取值 三、填空题（5×3=15分） 12． 某立体仓库的堆垛机沿一段直轨往复运行，这段直轨的走向与向量 = (3, −4) 完全一致。则在该方向上与 同向的单位向量的坐标为 ___________。 【答案】(, −) 【解析】先求模长： 的模为 = = 5。 与 同向的单位向量就是把 的每个坐标都除以它的模，得到 (, −)。 注意负号必须跟着纵坐标走，写成 (, ) 就指向了另一个方向。 若题目改成与 反向，则每个坐标都要变号，结果是 (−, )，可见同向要保号、反向才全变号。 【考查知识点】同向单位向量的求法 【易错点】忘记把坐标除以模长，或把负号漏掉；同向要保号，反向才全变号 13． 某特高压线路的巡检飞艇记录到两组气流扰动，分别用向量 与 表示： 的模为 1， 的模为 2，两者的夹角为 60°。则向量 的模为 ___________。 【答案】 【解析】先算数量积：· 等于两模长之积乘 60°，即 1 × 2 × = 1。 再把目标模长平方展开：模的平方等于 1 的平方加 2 的平方乘 的模的平方，再减去 4 乘两者的数量积。 代入得 1 + 4 × 4 − 4 × 1 = 1 + 16 − 4 = 13，所以 的模为 。 最容易失分的一步是系数：中间交叉项是 2 × 1 × 2 = 4 倍的数量积，且因是减法而取负号，两边都要盯住。 【考查知识点】模长平方的展开在求两向量线性表示模长中的应用 【易错点】把交叉项系数误当成 2 或把它写成正号；先平方后展开是最稳的做法 14． 某风电场的偏航系统把两组测量位移记为向量 = (3, 1) 与向量 = (1, t)（单位：cm），其中 t 为实数。若这两个向量的夹角为锐角，则实数 t 的取值集合为 ___________。 【答案】t > −3 且 t ≠ 【解析】夹角为锐角要求两件事同时成立：数量积大于 0，且两向量不共线同向。 先列数量积：· = 3 + t > 0，得 t > −3。 再排除同向共线：共线条件是 3t − 1 = 0，即 t = ，此时 = 3，两者同向，夹角为 0° 而不是锐角，必须剔除。 若两向量反向共线则夹角为 180°，此时数量积小于 0，已被第一步自动排除，不必另作处理。 【考查知识点】锐角夹角的充要条件：数量积大于 0 且排除同向共线 【易错点】只写 t > −3 而漏掉 t ≠ ；同向共线时夹角是 0°，不算锐角 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某近海养殖平台用两根钢缆固定网箱，两根钢缆的拉力分别记作向量 = (3, 4) 与向量 = (4, 3)（单位：kN）。 （1）求两根钢缆的合力向量 及其模； （2）求向量 与 夹角的余弦值。 【答案】解：（1）合力就是两个力的向量和，按分量相加： = (3 + 4, 4 + 3) = (7, 7)（单位：kN）。 它的模为 = = = 7。 （2）先算数量积：· = 3 × 4 + 4 × 3 = 12 + 12 = 24。 再算两个模长： 的模为 = 5， 的模为 = 5。 数量积为 24，两模长分别为 5 与 5，故余弦值为 = 。 答：合力向量为 (7, 7)，它的模为 7，两力夹角的余弦值为 。 【解析】思路点睛：求合力用坐标加法，求夹角余弦则用数量积除以两个模长之积，两步互不干扰，先分别算完再汇总。 关键步骤：本题 与 只是交换了坐标顺序，所以两者的模长都是 5，计算量很小，但数量积要老老实实按 3 × 4 + 4 × 3 算。 书写提醒：算模长时先写平方和再开根号， 要化简成 7，答案不化简通常会丢步骤分。 结果 接近 1，说明两根钢缆的拉力方向相当接近，这与两个坐标十分接近的直观是一致的。 【考查知识点】向量加法求合力、数量积与模长求夹角余弦 【易错点】把数量积的坐标式错配成 3 × 3 + 4 × 4；模长结果不化简 16． 某县域物流共配中心把三个方向的货流搬运量用平面向量表示，分别为向量 = (1, 2)、 = (3, −1)、 = (5, 3)（单位：吨次）。 （1）求实数 x、y，使 = x + y； （2）在（1）的条件下，求向量 x − y 的模。 【答案】解：（1）设 = x + y，把右边按分量写出来： x + y = x(1, 2) + y(3, −1) = (x + 3y, 2x − y)。 令它等于 = (5, 3)，得到方程组 x + 3y = 5，2x − y = 3。 由第二式得 y = 2x − 3，代入第一式得 x + 3(2x − 3) = 5，即 7x = 14，解得 x = 2。 于是 y = 2 × 2 − 3 = 1。 检验：2(1, 2) + 1(3, −1) = (2 + 3, 4 − 1) = (5, 3)，与 一致，所以 x = 2，y = 1。 （2）x − y = 2(1, 2) − 1(3, −1) = (2 − 3, 4 + 1) = (−1, 5)。 它的模为 = 。 答：x = 2，y = 1，向量 x − y 的模为 。 【解析】思路点睛：平面向量基本定理告诉我们，两个不共线的向量可以表示平面内任意向量，先把表示式按分量展开，再比较横、纵坐标，方程组自然出来。 关键步骤：由 2x − y = 3 解出 y = 2x − 3 代入消元，比用两式相加减更快也不易出错。 别忘了检验：把求得的 x、y 代回原式验证一遍，既确认答案正确，也顺带说明这一表示式的系数是唯一的。 第二问要注意减去 y 是减整个向量，纵坐标是 4 − (−1) = 5 而不是 3。 【考查知识点】平面向量基本定理的应用与线性表示求系数 【易错点】第二问减去向量时纵坐标变号出错；求得系数后不代回检验 17． 某低空物流试点航线的前两段位移分别记作向量 与 ，已知 的模为 2， 的模为 1，且 与 的夹角为 60°。 （1）求向量 的模，并求向量 与 的数量积； （2）设向量 = （t 为实数），若 与 互相垂直，求 t 的值与此时向量 的模。 【答案】解：先算出贯穿全题的基础量：· 等于两模长之积乘 60°，即 2 × 1 × = 1。 （1）把 的模平方展开，得 4 + 4 × 1 + 4 × 1 = 12，所以 的模为 = 2。 又 与 的数量积等于 的模的平方减去 的模的平方，即 4 − 1 = 3。 （2）由 与 垂直得 · = 0，展开后是 · 加上 t 乘 的模的平方等于 0。 代入 · = 1 与 的模的平方 = 1，得 1 + t = 0，故 t = −1。 此时 = ，它的模的平方等于 4 + 1 − 2 × 1 = 3，所以 的模为 。 答：（1） 的模为 2，且 与 的数量积为 3；（2）t = −1，此时 的模为 。 【解析】思路点睛：只给出模长与夹角时，一切断言都要落到数量积上，所以第一步就把 · 算出来作为贯穿全题的公共常量。 关键步骤： 的模平方展开中，第二项是 2 的平方乘 的模的平方而不是 2，交叉项也是 4 倍的数量积，系数最容易写错。 第二问把垂直翻译成数量积为 0 的方程，展开后是 t 的一次式，解出 t 再代回求模，顺序不能颠倒。 另外 与 的数量积等于两模平方之差是常用的一条恒等变形，记住它可以省去四处相乘的麻烦。 【考查知识点】模长平方展开、垂直条件求参数与数量积的恒等变形 【易错点】展开后交叉项系数写错；第二问该用 的模去代入方程而不是 的模 18． 某县城投放的共享电单车设有四个电子围栏停放点 P、Q、R、S，依次构成一个平行四边形 PQRS，它们在平面直角坐标系中的坐标为 P(1, 1)、Q(4, 2)、R(5, 5)。 （1）求点 S 的坐标，并求两条邻边所在向量 与 的模； （2）求两条对角线所在向量 与 的数量积，判断这两条对角线是否互相垂直，并求该平行四边形的周长。 【答案】解：（1）在平行四边形 PQRS 中， 与 是相等向量。 由坐标得 = (5 − 4, 5 − 2) = (1, 3)。 设 S(x, y)，则 = (x − 1, y − 1) = (1, 3)，于是 x = 2，y = 4，即点 S 的坐标为 (2, 4)。 = (4 − 1, 2 − 1) = (3, 1)，模为 = ； = (1, 3)，模为 = ，两条邻边长度相等。 （2） = (5 − 1, 5 − 1) = (4, 4)， = (2 − 4, 4 − 2) = (−2, 2)。 它们的数量积为 4 × (−2) + 4 × 2 = −8 + 8 = 0。 数量积为 0，所以 与 互相垂直，即该平行四边形的两条对角线互相垂直。 周长为两邻边长度之和的 2 倍：2 × ( + ) = 4。 由（1）知两条邻边长度相等，该平行四边形其实是菱形，菱形的对角线互相垂直，与上面的计算结果完全一致。 【解析】思路点睛：平行四边形的顶点顺序是环绕的，抓住对边所在向量相等就可以把未知顶点坐标直接解出来，不必借助任何图形。 关键步骤：设 S(x, y) 后用 = 列出两个分量方程，一步到位；求对角线向量时要用终点坐标减起点坐标，方向别写反。 第二问先算数量积再下结论，是否垂直的答案必须由数字说话，数量积为 0 就说垂直，不为 0 就说不垂直。 最后一并指出它是菱形，既验证了计算，也让结论更有说服力，是拿满步骤分的好习惯。 【考查知识点】平行四边形顶点坐标的向量求法、对角线垂直判定与周长计算 【易错点】把顶点顺序弄错导致 S 坐标求成其他值；对角线向量用端点坐标相减时方向写反 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高三数学基础过关满分 第8节 平面向量及其应用 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（5×8=40分） 1． 某露天矿场给无人驾驶矿卡下达了两段调度指令，位移分别记为向量 = (3, −1) 与向量 = (−2, 5)（单位：m）。若第二段按原样重复执行两次后再与第一段合并，则总位移向量 + 2 的坐标为 A. (1, 4) B. (−1, 9) C. (1, 9) D. (7, −11) 2． 某海上风电平台用两根锚链固定船位，两根锚链对平台的拉力是两个平面向量，其中一个力的大小为 5，另一个力的大小为 2，两力的夹角为 120°。则这两个力的数量积为 A. 10 B. 5 C. −5 D. 5 3． 某协作机器人手臂上相邻的两段连杆互相垂直，前一段的方向向量为 = (3, 2)，后一段的方向向量为 = (t, −6)，其中 t 为实数。则 t 的值为 A. −4 B. 9 C. 4 D. −9 4． 某智慧货场的穿梭车先后走过两段直线路段，两段位移依次记为向量 = (1, −2) 与向量 = (k, 6)（单位：m）。若这两段位移共线，则实数 k 等于 A. 12 B. 3 C. −12 D. −3 5． 某地铁隧道盾构机的两组推进油缸同时出力，两组推力可视为向量 与 ， 的模为 2， 的模为 3，两者的合力的模为 4。则这两个推力的数量积为 A. B. 3 C. D. − 6． 某光伏跟踪支架的跟踪控制器把两组受力方向写成向量 = (1, ) 与向量 = (, 1)。则这两个向量的夹角为 A. 60° B. 30° C. 45° D. 90° 7． 某港区自动化轨道吊在一次标定中记录到三个相邻定位点的坐标，依次为 A(1, 3)、B(4, 5)、C(7, t)。若这三个定位点在同一条直线上，则实数 t 为 A. 12 B. 5 C. 7 D. −7 8． 某高标准农田的滴灌管网呈三角形布置，三个节点记为 U、V、W，中转阀门 T 落在边 VW 上，且 VT 的长度是 TW 长度的 2 倍。记向量 = ，向量 = ，则向量 用 、 表示为 A. + B. + C. + D. + 二、多项选择题（6×3=18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分） 9． 某斜拉桥施工监控系统把主塔两侧两根斜拉索的索力记作向量 = (2, 3) 与向量 = (−1, 2)（单位：kN）。关于这两个向量，下面四个说法中正确的有 A. 向量 与 的数量积是 4 B. 向量 的模为 ，向量 的模为 C. 向量 与 互相垂直 D. 向量 的模等于向量 的模 10． 某数字孪生车间把搬运机器人的两段指令位移记作非零向量 与 。关于它们的下列四个论断中，成立的有 A. 若 与 共线，则存在实数 λ，使 = λ B. 若 与 的数量积为 0，则 与 中至少有一个是零向量 C. 若向量 的模等于向量 的模，则 与 的数量积为 0 D. 若 与 的数量积等于两个向量模的乘积，则 与 反向 11． 某六轴机器人末端执行器的两段位移记为向量 = (1, 2) 与向量 = (2, t)（单位：cm）。就 t 的不同取值，下面四个说法中正确的有 A. 当 t = −1 时，向量 与 互相垂直 B. 当 t = 4 时，向量 与 共线 C. 当 t = 1 时，向量 与 的夹角为锐角 D. 当 t = 0 时，向量 的模为 三、填空题（5×3=15分） 12． 某立体仓库的堆垛机沿一段直轨往复运行，这段直轨的走向与向量 = (3, −4) 完全一致。则在该方向上与 同向的单位向量的坐标为 ___________。 13． 某特高压线路的巡检飞艇记录到两组气流扰动，分别用向量 与 表示： 的模为 1， 的模为 2，两者的夹角为 60°。则向量 的模为 ___________。 14． 某风电场的偏航系统把两组测量位移记为向量 = (3, 1) 与向量 = (1, t)（单位：cm），其中 t 为实数。若这两个向量的夹角为锐角，则实数 t 的取值集合为 ___________。 四、解答题（共27分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15． 某近海养殖平台用两根钢缆固定网箱，两根钢缆的拉力分别记作向量 = (3, 4) 与向量 = (4, 3)（单位：kN）。 （1）求两根钢缆的合力向量 及其模； （2）求向量 与 夹角的余弦值。 16． 某县域物流共配中心把三个方向的货流搬运量用平面向量表示，分别为向量 = (1, 2)、 = (3, −1)、 = (5, 3)（单位：吨次）。 （1）求实数 x、y，使 = x + y； （2）在（1）的条件下，求向量 x − y 的模。 17． 某低空物流试点航线的前两段位移分别记作向量 与 ，已知 的模为 2， 的模为 1，且 与 的夹角为 60°。 （1）求向量 的模，并求向量 与 的数量积； （2）设向量 = （t 为实数），若 与 互相垂直，求 t 的值与此时向量 的模。 18． 某县城投放的共享电单车设有四个电子围栏停放点 P、Q、R、S，依次构成一个平行四边形 PQRS，它们在平面直角坐标系中的坐标为 P(1, 1)、Q(4, 2)、R(5, 5)。 （1）求点 S 的坐标，并求两条邻边所在向量 与 的模； （2）求两条对角线所在向量 与 的数量积，判断这两条对角线是否互相垂直，并求该平行四边形的周长。 学科网（北京）股份有限公司 $