平面向量及其应用专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，系统整合平面向量基础理论与解三角形应用，通过定义法、坐标法、定理应用等提炼解题技巧，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2题|共线向量判定/相等向量识别|从向量基本属性到几何意义| |向量运算|单选3-4题+填空13题|数量积定义/投影向量公式|从代数运算到几何应用| |解三角形应用|单选7-8题+解答18题|正弦定理多解分析/费马点模型|从三角形性质到实际问题| |综合创新|解答19题|平方相加消元法/动态几何建模|从静态计算到动态优化|

2026-2027学年高三上学期数学专项特训：平面向量及其应用 一、单选题 1．已知向量，都是非零向量，设甲：存在实数，使得，乙：，则甲是乙的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图，矩形中，、分别是与边的中点，则与向量相等的向量为（    ） A． B． C． D． 3．若单位向量，的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 4．已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，与交于点.若，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．已知，，是平面内三个不同的单位向量，函数，若，且，则的最大值是（    ） A．4 B．3 C． D． 7．已知中，，，若满足条件的角有两个解，则长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，，点为的费马点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列关于平面向量描述正确的是（    ） A．平面中相反向量的长度一定相等 B． C．若，则 D．若，，则 10．已知平面向量，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则存在实数，使得 B．若存在实数，使得，则 C．若，则 D．若，则 11．在中，内角，，的对边分别是，，，点在所在的平面内，则下列命题正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形 B．若为边长为4的等边三角形，则的最小值为-6 C．若点为的垂心，且，则 D．若，则点的轨迹经过的外心 三、填空题 12．平面四边形的对角线的中点分别为， ，则___________． 13．已知向量，，，向量、在向量上的投影向量分别为、，且，则实数________． 14．南海观音位于浙江省舟山市普陀区双峰山南端的观音跳山岗上．此处势随峰起，秀林葱郁，气顺脉畅，碧波荡漾．莲花洋彼岸的朱家尖，隔海侍卫；双峰山坡麓的紫竹林，潮音频传．普陀山新的人文景观，海天佛国的象征．乘云中之龙，于南海波涛之上，又称龙头观音．某数学兴趣小组为了测得观音像整体的高（包括基底），如图，在点测得观音像底位于北偏东方向上的点处，观音像顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得观音像底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则观音像总的高度约为________．（结果精确到整数，参考数据：） 四、解答题 15．已知，，与的夹角为． (1)求； (2)若向量与相互垂直，求实数的值． 16．已知向量，，非零向量. (1)若，，向量与的夹角是钝角，求的取值范围； (2)若，求的最小值. 17．已知向量，是平面内的一组基底，，，与的夹角为60°．若，则称有序数对为向量在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为． (1)求向量的模长； (2)若向量在基底下的坐标为，且，求实数的值，并求与的夹角的余弦值． 18．设的内角，，所对的边分别是，，，已知． (1)求证：； (2)若，，设是边的中点，求的长． 19．直臂连杆是一种常见的机械部件，如图，平面四边形是某直臂连杆示意图，其中点固定，点可绕点作圆周运动，点随点运动，已知． (1)当时，求； (2)求的取值范围； (3)证明：当四边形的面积最大时，． 注：若运动中线段和相交于点，四边形的面积指的是和的面积之和． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高三上学期数学专项特训：平面向量及其应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D B C D B AB BC 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】充分性验证：若存在实数使得，且向量，都是非零向量，则， 根据向量数乘的几何意义，与方向相同（）或相反（），符合平行向量的定义，因此，充分性成立. 必要性验证：已知均为非零向量，若，根据共线向量基本定理，必然存在唯一实数，使得，必要性成立. 因此甲是乙的充要条件. 2．C 【详解】由题可得，又因为、分别是与边的中点， 所以，所以四边形为平行四边形，因此，， 又因与的方向相同，所以与向量相等的向量为. 3．C 【详解】 ， 故. 4．D 【分析】由垂直条件列出内积方程，再由投影向量定义列出第二个内积方程，联立得到两向量模长的比例关系，最后代入夹角余弦公式直接求出 ，结合夹角范围 得到具体角度. 【详解】由，得， 所以，所以 在 上的投影向量为：，所以 由①②得，所以，即， 所以，因为，所以. 5．B 【分析】以为基底表示，利用共线向量基本定理即可求解. 【详解】因为在上，所以与共线，设又， 所以，，又因为， 所以，又因为，，三点共线，所以存在，使得， 而， 所以，解得， 所以， 即，所以. 6．C 【分析】根据题目条件设出，，，由已知条件并判断范围，再用辅助角公式化简求解即可. 【详解】已知函数，，且， 则和中，一个大于0，另一个小于0， 不妨设，，，， 所以，， 则，异号，即， 所以， 则， 因为， 所以当时，取得最大值1， 即. 7．D 【详解】由于满足条件的角有两个解，所以，即，答案为D． 8．B 【分析】根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合三角形面积公式、费马点的性质、平面向量数量积的定义、基本不等式进行求解即可. 【详解】根据正弦定理，由 ， 因为，所以， 所以由， 因此该三角形三个内角均小于， 因此点与三角形三个顶点的连线两两成角， 由余弦定理可知：， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 即， 所以当时，有最小值. 9．AB 【分析】本题考查平面向量的基本概念、三角不等式及平行向量的性质，结合向量相关定义逐一判断选项即可 【详解】选项A：根据相反向量的定义，相反向量是长度相等、方向相反的向量，因此其长度一定相等，该选项正确； 选项B：该式为平面向量的三角不等式，对任意平面向量均成立，当且仅当与同向时取等号，该选项正确； 选项C：向量是既有大小又有方向的量，方向无法比较大小，因此向量之间不能直接比较大小，仅向量的模长可比较大小，该选项错误； 选项D：若为零向量，由于零向量和任意向量都平行，此时即使满足、，与也不一定平行，该选项错误. 10．BC 【详解】A选项： 且时，满足，此时不存在实数，使得，A选项错误； B选项： 存在实数，使得，若则，满足； 若，由向量数乘的定义可知，与共线，即，B选项正确； C选项： 若，两边同时平方化简得，若或，满足； 时，由，得，即与同向，满足，C选项正确； D选项： 时，若与方向相反，则不成立，D选项错误. 11．ABD 【分析】对于A，根据正余弦定理判断即可；对于B，建立平面直角坐标系，根据向量数量积的坐标表示，进而求最值即可；对于C，根据向量数量积运算律，结合已知条件及向量夹角的计算公式求解即可；对于D，根据向量的数量积，结合垂直关系的向量表示判断即可. 【详解】对于A，由正弦定理和，得， 由余弦定理，可得， 因为，所以，则为钝角三角形，A正确； 对于B，如图1，构建以中点为原点的直角坐标系，则， 设，所以，， 由，则， 当，时，的最小值为，B正确； 对于C，如图2，因为为垂心，故，故，即， 所以，同理可得， 因为，所以， 所以，同理，故， 所以， C错误； 对于D，如图3所示，设中点为，则， 所以， 则， 所以，即，所以， 故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，故D正确. 12．/ 【分析】首先线性分解，根据已知条件计算. 【详解】，， ， 是的中点，所以，， 所以， ，，， ， . 13．/ 【分析】首先写出投影向量，再根据投影向量的关系，列式求解. 【详解】由投影向量的定义可知， 同理可得， 因为，所以，解得：. 14．33 【详解】由题意，中，，，， 由正弦定理，. 在中，，， 所以. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用向量数量积公式求出两向量的数量积，展开求出并开方求出模； （2）利用向量垂直构造关于的方程，解方程求出． 【详解】（1）因为，，， 则，所以 ． （2）若向量与相互垂直， 则 ，即， 解得， 所以实数的值为． 16．(1) (2) 【分析】（1）通过向量的运算表示出向量后，利用两向量夹角为钝角时数量积小于零且不共线的条件求取值范围. （2）通过向量平行时的性质求出与间的数量关系，并通过函数性质求解最小值. 【详解】（1）由，， 则， 因为向量与夹角为钝角，所以，且与不共线， 则 解得且， 所以的取值范围为 （2）依题意，， 由，得，则 由为非零向量，得，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为 17．(1) (2)；与夹角的余弦值为. 【分析】（1）利用，求出即可. （2）利用及即可求；利用即可. 【详解】（1）因为，，与的夹角为60°， 所以. 因为向量在基底下的坐标为，所以. 所以，则. （2）因为向量在基底下的坐标为，所以. 因为，所以， 所以，解得. 所以.则，即. 又因为. 所以，即与的夹角的余弦值为. 18．(1)证明：由， 得， 所以，     因为，所以，所以， 由正弦定理，得，即； (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换和正弦定理即可得证； （2）利用余弦定理结合（1）得，再由，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由余弦定理，得， 因为，，所以， 又由（1）知，所以，    因为点是边的中点，所以， 所以，     则，所以的长为． 19．(1)或 (2) (3)设，，四边形的面积： ， 两边同乘，得到：①， 连接，分别在和中用余弦定理： ， 两者相等，化简得：②， 将①式和②式分别平方后相加（经典“平方相加”技巧）： 即：， ， 因为，当且仅当时， 取最大值，此时也取得最大值， 当时，， 即：， 四边形的内角和为， 所以： 因此，. 【分析】（1）利用向量共线分两种情况得出的长度，代入三角形的余弦定理计算； （2）通过三角形三边关系确定的取值范围，构造关于的对勾函数并利用单调性求值域； （3）将面积公式和余弦定理的等式分别平方后相加，利用三角函数“平方和”消元法及余弦函数的最值，推导出面积最大时满足对角互补，即得答案. 【详解】（1）向量共线说明三点共线，点在直线上，分两种情况： ①点在、之间时，， 在中，由余弦定理得： ； ②点在的另一侧（即共线）时， ， 同理： ， 故的值为或； （2）设，由三角形三边关系可知， 在中，由余弦定理得： ， 由对勾函数性质（或基本不等式导出的单调性）， 在单调递增， 而，故在上单调递增， 当时，取最小值； 当时，取最大值， 故范围为. （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $