平面向量及其应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦平面向量核心概念与解三角形综合应用，题型覆盖基础运算到实际情境，知识逻辑从线性运算到边角关系推导，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |向量基本运算|单选1-2、填空12|模计算、投影向量|向量概念→线性运算→数量积性质| |向量关系判定|单选4-5、多选9-11|共线/垂直判定、夹角计算|共线定理→垂直条件→夹角公式推导| |解三角形综合|解答15-19、单选7|边角互化、面积计算|正弦/余弦定理→面积公式→实际问题应用|

高中数学人教A版必修二平面向量及其应用 一、单选题 1．已知向量，则（    ） A． B． C．4 D．5 2．已知平面向量，，若与共线且，则（    ） A．4 B．3 C．6 D．2 3．在中，点D在边BC上，且，则（    ）． A． B． C． D． 4．已知是平面内的一组基底，记向量，，若与共线，则（    ） A． B． C．2 D．4 5．若与同向，则（     ） A．-2 B．2 C． D． 6．某一摇杆机械装置的简化示意图如图所示，其中为定点，是动点，，，，，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 7．在中，角，，的对边分别为，，，已知命题：；命题：为等腰三角形．则命题是命题的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知单位向量、满足，则向量与的夹角为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知，，下列结论正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若A，B，C三点共线，则 D．若，则 10．已知平面向量，，下列结论中正确的是（    ） A．若，则存在实数，使得 B．若存在实数，使得，则 C．若，则 D．若，则 11．已知，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角为锐角，则 D．若|+|=， 则或 三、填空题 12．已知向量，，则在上的投影向量为______．（用坐标表示） 13．已知向量，，其中，，若，则的最小值是____． 14．已知以线段为直径的半圆上有两点为动点，为线段上靠近点的三等分点，点在线段上，满足，则___________，___________． 四、解答题 15．在中，内角所对的边分别为，． (1)求的值； (2)若，，求的周长． 16．的内角的对边分别为，已知. (1)求角的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 17．已知在中，内角，，所对的边分别为，，．若，满足． (1)求角； (2)若，，求． 18．记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若点是边的中点，且，求的取值范围． 19．在中，D是BC上的点，且，AD平分． (1)求； (2)若，的面积为，求BC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修二平面向量及其应用 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A A A B D C AC BC 题号 11 答案 ABD 1．D 【详解】方法1：由题意，，，， 且， 所以. 方法2：因为，所以， 所以. 2．A 【详解】由题意可得，，， 所以，解得或（舍去）． 所以． 3．A 【分析】使用平面向量的线性运算求解. 【详解】． 4．A 【详解】由，，与共线， 得存在实数，使得，即， 因为是平面内的一组基底，所以不共线，因此系数对应相等， 则且，得，. 5．A 【分析】根据平面向量共线的坐标运算及向量同向的判定即可得到答案. 【详解】因为，则，所以， 当时，，，则，那么向量与反向， 不符合题目要求，所以. 6．B 【详解】由题可知为定点，是动点，结合三角形性质可得， 在中． 7．D 【分析】根据正弦定理、二倍角公式、充分与必要条件等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于命题，，由正弦定理得， 所以， 由于， 所以或，所以或. 对于命题，为等腰三角形，如, 所以，所以命题是命题的既不充分也不必要条件. 8．C 【分析】由结合平面向量数量积的运算性质求出的值，进而求出、、的值，利用向量的夹角公式以及向量夹角的取值范围可得出结果. 【详解】因为单位向量、满足， 所以，则， 所以， ， ， 所以， 又因为，故， 所以向量与的夹角为. 9．AC 【详解】若，则，所以，A正确； 若，则，所以，解得，B错误； 若A，B，C三点共线，则与共线，所以，解得，C正确； 因为，所以，则，解得，D错误． 10．BC 【详解】A选项： 且时，满足，此时不存在实数，使得，A选项错误； B选项： 存在实数，使得，若则，满足； 若，由向量数乘的定义可知，与共线，即，B选项正确； C选项： 若，两边同时平方化简得，若或，满足； 时，由，得，即与同向，满足，C选项正确； D选项： 时，若与方向相反，则不成立，D选项错误. 11．ABD 【分析】由向量平行的坐标表示判断A，根据向量数量积的坐标运算判断BCD. 【详解】对于选项A，，则，，A正确； 对于选项B，，则，，B正确； 对于选项C，与的夹角为锐角，则，， 但当时，与同向，夹角为，C错； 对于选项D，，解得或，D正确. 12． 【分析】本题考查平面向量投影向量，直接使用投影向量公式计算即可. 【详解】由题意知在上的投影向量为. 13． 【分析】先由向量平行得到方程，求出，再由基本不等式“1”的代换求出最小值 【详解】，故，即， 因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为 14． 【分析】设，在中由正弦定理可得，在中利用余弦定理得，再利用同角关系求出. 【详解】设，因为，所以， 因为，所以， 则，， 则， 因为为线段上靠近点的三等分点，所以，则， 在中由正弦定理得，即 则，则，则， 则， ， 则， 设，则，因为，所以， 因为，所以，则， 在中利用余弦定理得 则， 故. 15．(1) (2)周长为 【分析】（1）利用正弦定理化简原式得到的关系，再代入中求解即可； （2）将第一问结果代入中求出，再利用余弦定理求出，进而求出，得到三角形周长. 【详解】（1）根据正弦定理可化为， 因为，所以， 又，（是三角形内角）. 把代入：， ， 所以， 由，得， 所以. （2）. 代入：， 由余弦定理，已知： ， 所以， . 所以周长为 16．(1) (2)18 【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角关系定理化简即得； （2）利用三角形面积求出的值，再由余弦定理求出的值，即得三角形的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 即，即，    ∴上式化为，即 （2）因为的面积为， 所以， 解得：，                            由已知及余弦定理得，即， 将代入得：， 即，得，                 则， 的周长为. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行，二倍角公式及同角三角函数的关系得出即可求解； （2）结合（1）求得，法一：过作，由求解；法二：由正弦定理表示出，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）由，得， 由正弦定理得， 由，得， 又， 所以，， 又因为，所以，所以． （2）由，则，代入， 所以，由得，，则， 法一：在中，过作， 因为，所以，则，，， ， 整理得（负值舍）． 法二： ， 由正弦定理得， ，解得． 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理对条件等式进行边角互换求解； （2）利用向量计算和余弦定理，可以将表示为关于的代数式，进而通过的取值范围求的取值范围. 【详解】（1）由题可知， 由正弦定理得，，故， 所以． （2）由为边中点，故， 平方可得， 故，① 由①知，故，又，故， 由余弦定理， 又由①式可得，所以，a的取值范围为． 19．(1) (2)． 【分析】（1）利用以及面积公式得出，再利用正弦定理求出； （2）在和中利用余弦定理得出，再结合面积得出，即可求出，最后代入计算. 【详解】（1）因为，所以． 因为AD平分，所以，即． 因为，， 所以，即． 由正弦定理可得． （2）在和中，由余弦定理得， 因为，，， 所以，得． 则，得． 则，所以，， 则，，． 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $