分层练10 函数性质的综合应用 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数奇偶性、单调性、周期性及对称性的综合应用，通过分层训练构建“性质判定-关系转化-综合应用”的解题方法体系，强化逻辑推理与数学抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题|奇偶性与单调性综合判断、周期公式推导、对称性质转化|从单一性质（奇偶、单调）到双性质结合，形成“概念定义-判定方法-简单应用”逻辑链| |B级能力提升|4题|多性质交叉应用（周期+对称+单调）、函数不等式求解|从性质关联到综合论证，构建“性质推导-模型应用-复杂问题解决”进阶路径|

分层练10 函数性质的综合应用 【A级 基础巩固】 1. 已知偶函数满足，则在上（ ） A.单调递增 B.单调递减 C.先递增后递减 D.先递减后递增 2. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义域为的偶函数，，.若是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 定义在上的奇函数，其图象关于点对称，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 6. 若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. (多选)已知函数，则下列说法正确的是（ ） A.是偶函数 B.在上单调递减 C.是周期函数 D.恒成立 8. 已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点对称，则下列说法正确的是（ ） A. B. C.的周期为 D. 9. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式____. ①的最大值为， ②，， ③是周期函数. 10. 已知为上的奇函数，且，当时，，则的值为____. 11. 若函数满足，则实数的取值范围为____. 12. 已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则____. 【B级 能力提升】 13. (多选)已知函数，，则（ ） A.曲线是中心对称图形 B.曲线是轴对称图形 C.函数既有最大值又有最小值 D.函数只有最大值没有最小值 14. 定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A.是周期函数 B.在上单调递减 C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称 15. 已知函数对满足，且.若的图象关于对称，，则____. 16. 若函数是定义在上的偶函数，且对于任意的，恒有，当时，，且，，，试比较，，的大小关系. 参考答案 1. [，由与在上单调递减，得在上单调递减，所以偶函数在上单调递增.故选.] 2. [，其图象的对称中心为点，将的图象沿轴向右平移个单位，再沿轴向上平移个单位可得函数的图象，关于点对称，所以函数是奇函数，故选.] 3. [因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，又，所以是奇函数，所以的图象关于点对称，又为偶函数，所以的周期，所以，所以.] 4. [由题意得，设，，因为，所以为奇函数，则.又，在上均为减函数，所以在上为减函数，由得，即，所以，解得或.] 5. [函数的图象关于点对称，，又为定义在上的奇函数，所以，所以，即函数的周期是，则，，，为奇函数，且在上单调递增，则在上单调递增，，即.] 6. [因为函数为定义在上的奇函数，则.又在单调递减，且，画出函数的大致图象如图所示，则函数的大致图象如图所示. 当时，要满足，则，得. 当时，要满足，则，得. 故满足的的取值范围是.] 7. [对于，的定义域为，，则为偶函数.故正确；对于，，当时，，恒成立，则在上单调递增，故错误，错误；对于，因为是偶函数，所以在上单调递减，又，所以的最小值为，故正确.] 8. [由函数的图象关于直线对称，得，即，将换为可得，即有，①故错误；又由函数的图象关于点对称，得函数的图象关于点对称，所以且，则，②联立①②得，即，所以，所以函数的周期是，故，错误；又因为函数的图象关于直线对称，所以，因此正确.] 9.(答案不唯一) [由于是周期函数，所以首先考虑为正弦型函数或余弦型函数，由，可知，的图象关于直线对称，又的最大值为，所以或等.] 10. [因为，所以，所以的周期为，所以，又，所以.] 11. [因为，所以为偶函数，所以，易知当时，为增函数，所以，所以，所以，得.] 12. [当时，，即，.当时，，.当时，，，，.] 13. [因为，，所以曲线不是中心对称图形，故错误；函数的图象是轴对称图形，令，，解得，，令，可得函数图象的一条对称轴为直线.函数的图象为轴对称图形，且其对称轴为直线，所以曲线是轴对称图形，对称轴为直线，故正确；因为，，所以，.又在处取得最小值，而在处取得最大值，在处取得最小值，所以函数在处取得最大值为，在处取得最小值为，所以函数既有最大值又有最小值，故正确，错误.选.] 14. [对于，因为满足，所以，所以是周期为的周期函数，故正确；对于，当时，，则，又为奇函数，则，故当时，函数单调递减，且当时，，当时，函数单调递减，且当时，，所以在上不是单调递减的，故错误；对于，因为是周期为的周期函数，所以，用替换，得，所以的图象关于直线对称，故正确；对于，因为，所以，所以，所以，所以的图象关于点对称，故正确.] 15. [因为的图象关于对称，所以的图象关于对称，即是偶函数.对于，令，可得，又，所以，则，所以函数对满足于，所以，所以，即是周期为的周期函数，所以.] 16.解： [是定义在上的偶函数，且恒有，，，的最小正周期为.又，，，则，在上单调递增，.] 学科网（北京）股份有限公司 $