专题6 基本初等函数与指对幂专项训练-2027届高考数学一轮复习

专题06　基本初等函数与指对幂 群哥高中数学辅导资料 专题06　基本初等函数与指对幂 一、核心知识 1．根式与分数指数幂： 表示 开 次方（），；运算性质 ，，。 2．指数函数 ：定义域 ，值域 ，图象恒过 ，以 轴为渐近线； 时在 上递增， 时递减。 3．对数：若 ，则 ；恒有 ，，。 4．对数运算性质：，，（）。 5．换底公式：；推论 ，。 6．对数函数 ：定义域 ，值域 ，图象恒过 ，以 轴为渐近线； 时递增， 时递减。 7．幂函数 ：图象恒过 ； 时还过 且在 上递增， 时在 上递减并以两坐标轴为渐近线。 8．增长差异：当 充分大时，恒有 ，即指数爆炸、幂函数居中、对数最慢。 9．比较大小的通法：① 中间量法（取 0、1 或某个已知的中间数）；② 单调性法（化同底或同指数）；③ 取对数法（ 与 比 与 ）；④ 构造函数法。 二、题型精练 题型一　指数与指数函数 【方法与技巧】 指数运算先化同底：，负指数先翻底，分数指数幂先写成根式再算，别跳步。 指数函数 的图象恒过 ，以 轴为渐近线； 时递增， 时递减——先定 的范围再看图。 复合型 的单调性用“同增异减”：外层由 定，内层 单独判，值域先求 的范围再套 。 【例题精讲】 1．计算 的值为（　　） A．2 B．8 C．1 D．4 【答案】D 【详解】，，故乘积为 4。故选：D。 2．函数 的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令指数 得 ，此时 与 无关，故恒过 。故选：A。 3．函数 的值域为　　　　 【答案】 【详解】由 且可取到任意接近 0 的正值，得 ，故值域为 。故答案为：。 【变式训练】 1．计算 的值为　　　　 【答案】 【详解】，，，故 。故答案为：。 2．设 ，，则（　　） A． B． C．不能确定 D． 【答案】D 【详解】取中间量 1： 故 ； 故 ，于是 ，即 。故选：D。 3．函数 的值域为　　　　 【答案】 【详解】配方得 ，又外层 递增，故 ，值域为 。故答案为：。 4．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】外层底数 递减，由“同增异减”，复合递增要求内层递减；内层 在 上递减，故所求为 。故选：C。 5．若 且 ，则 的取值范围是　　　　 【答案】 【详解】 时 递增，由 直接得 。故答案为：。 6．方程 的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令 ，则 、，方程化为 ，即 ；由 得 ，故 。故选：A。 【巩固练习】 1． 的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 2．函数 的图象恒过定点　　　　 【答案】 【详解】令 得 ，此时 ，故恒过 。故答案为：。 3．函数 与 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线 对称 D．关于 轴对称 【答案】D 【详解】把 换成 即得另一个函数，故两图象关于 轴对称。故选：D。 4．函数 的单调递增区间为　　　　 【答案】 【详解】外层底数 递减，故复合递增要求内层 递减，即 ，所求为 。故答案为：。 5．若 ，则 、、 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 时 递减，且 ，故 。故选：B。 6．方程 的解为　　　　 【答案】 或 【详解】令 ，得 ，即 ，故 或 ，对应 或 。故答案为： 或 。 7．已知指数函数 满足 ，则 （　　） A． B． C．9 D． 【答案】A 【详解】由 且 得 ，故 。故选：A。 8．已知 ，，则 　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 题型二　对数与对数函数 【方法与技巧】 对数运算三件套：，，；不同底先换底统一。 换底公式 ，常用结论 、。 对数函数 恒过 ，以 轴为渐近线； 时递增，先求真数范围再谈单调。 反解思路：遇到 直接写成 ，遇到 直接取对数 ，新课标不单考反函数，只把它当解方程的工具。 【例题精讲】 1．计算 的值为（　　） A．0 B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】，，故和为 0。故选：A。 2． 的值为　　　　 【答案】2 【详解】由换底公式 。故答案为：2。 3．函数 的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令真数 得 ，此时 与 无关，故恒过 。故选：D。 【变式训练】 1．计算 的值为　　　　 【答案】4 【详解】，，故 。故答案为：4。 2．若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【详解】分两类： 时函数递增， 得 ，即 ； 时 恒成立。综上 或 。故选：C。 3．已知 ，则 　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 4．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】需真数 ，即 ，解得 或 。故选：A。 5．方程 的解为　　　　 【答案】 【详解】由 得 ，即 ，解得 （此时真数 ，均成立）。故答案为：。 6． 的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．2 【答案】C 【详解】换底后为 。故选：C。 【巩固练习】 1．下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对数运算性质只有乘除与乘方三条：真数相乘变相加、真数相除变相减、真数的幂提到前面；真数相加不能拆，故只有 A 正确。故选：A。 2．若 ，则 　　　　 【答案】 【详解】由对数定义得 。故答案为：。 3．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】底数 2>1，对数函数递增，由 得 ，即 。故选：C。 4．函数 的单调递增区间为　　　　 【答案】 【详解】定义域 得 或 ；外层 递增，内层在 上递增，故递增区间为 。故答案为：。 5．若 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】真数 而函数值反而更大，说明对数函数递减，故底数 。故选：B。 6． 的值为　　　　 【答案】5 【详解】由对数恒等式 得 ，又 ，故结果为 5。故答案为：5。 7．函数 与 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 对称 【答案】A 【详解】，两函数值互为相反数，故图象关于 轴对称。故选：A。 8．已知 ，，则 　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 题型三　幂函数与函数模型 【方法与技巧】 幂函数 只看第一象限： 过 、 且递增； 不过原点，以两轴为渐近线且递减。 比较 的大小：在 处，图象越靠上 越大，这是识图题最快的一招。 函数模型的选择看增长差异： 时 ，应用题先判断是爆发式还是缓慢式增长。 【例题精讲】 1．若幂函数 的图象过点 ，则 （　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，即 ，故 。故选：A。 2．幂函数 的定义域为　　　　 【答案】 【详解】，需 （根号在分母，严格大于），故定义域为 。故答案为：。 3．下列函数中是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】幂函数的标准形式是 ，系数为 1、只有一项； 系数为 2， 有两项， 是指数函数。故选：C。 【变式训练】 1．若幂函数 的图象过点 ，则 　　　　 【答案】 【详解】，故 。故答案为：。 2．在 、、 中，定义域为 的是（　　） A． B． C．都不是 D． 【答案】D 【详解】 要求 ； 要求 ； 对一切实数有意义，定义域为 。故选：D。 3．比较 与 的大小：　　　　 【答案】 【详解】底数 ，指数函数 递减，由 得 。故答案为：。 4．当 充分大时，下列各函数中增长最快的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】三类函数的增长差异是：指数爆炸、幂函数居中、对数最慢，故 增长最快。故选：B。 5．写出一个在 上单调递减且为偶函数的幂函数 ，则 可以是　　　　 【答案】 【详解】取 ， 满足 是偶函数，且在 上递减。故答案为：。 6．已知幂函数 、、 在 时的函数值分别为 4、2、，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ； 得 ； 得 ，故 。故选：A。 【巩固练习】 1．下列函数中，既是幂函数又是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 是幂函数且 为奇函数；、 是偶函数， 定义域为 不关于原点对称。故选：C。 2．幂函数 的值域为　　　　 【答案】 【详解】，且 时 、 时 （取不到 0），故值域为 。故答案为：。 3．某种产品的产量随时间呈“爆发式增长”，下列模型中最合适的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】爆发式增长对应指数模型 ；一次函数匀速增长，对数模型增长越来越慢，二次函数增长快于线性但慢于指数。故选：D。 4．比较 与 的大小：　　　　 【答案】 【详解】指数相同且 ，幂函数 在 上递增，由 得 。故答案为：。 5．若幂函数 的图象不经过原点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时 ，图象过原点； 时 处无意义，图象不过原点而以两坐标轴为渐近线。故选：A。 6．已知 ，则 　　　　 【答案】5 【详解】，，故和为 5。故答案为：5。 7．关于幂函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象都经过原点 B．在 上都单调递增 C．图象都经过点 D．都是奇函数 【答案】C 【详解】由 知图象恒过 ； 时不过原点， 时在 上递减， 时是偶函数，故 A、B、D 均错误，只有 C 正确。故选：C。 8．用中间量 比较可得 与 的大小关系为　　　　 【答案】 【详解】比较 与 ：即比较 与 ，因 ，故 ；比较 与 ：即比较 与 ，因 ，故 。所以 。故答案为：。 题型四　指、对、幂的大小比较 【方法与技巧】 比较大小首选中间量：拿 0 和 1 当标尺，先把每个数归到“小于 0、介于 0 与 1、大于 1”的档位，多数题到此就出答案了。 同底不同指数用单调性，同指数不同底用幂函数单调性，底数指数都不同就取对数或构造函数。 取对数法：比较 与 时取自然对数化为比较 与 ，把指数问题降维成乘法问题。 【例题精讲】 1．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取中间量 0 与 1：底数 ，真数 ，故 ；；。于是 ，即 。故选：D。 2．比较 与 的大小：　　　　 【答案】 【详解】化同底：；底数 ， 递增，由 得 。故答案为：。 3．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】化同底：；，而 ，故 ，又 ，于是 。故选：C。 【变式训练】 1．比较 与 的大小：　　　　 【答案】 【详解】底数 ，指数函数递增，由 得 。故答案为：。 2．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中间量：；；底数 、真数 ，故 。于是 。故选：B。 3．用中间量 比较 与 的大小：　　　　 【答案】 【详解】 与 比即 与 比，因 ，故 ，得 ； 与 比即 与 比，因 ，故 ，得 。所以 。故答案为：。 4．下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 时递增，B 成立； 时递减，故 ，A 错；底数 2>1 时递增且 ，故 ，C 错；，D 错。故选：B。 5．用取对数法比较 与 的大小：　　　　 【答案】 【详解】取自然对数：比较 与 。，，前者大，故 。故答案为：。 6．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先比 与 ：以 为中间量，（因 ），（因 ），故 ；再比 与 ：以 为中间量，（因 ），（因 ），故 。综上 。故选：D。 【巩固练习】 1．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】底数 递减，由 得 ，且二者均小于 1；底数 ，故 。于是 。故选：A。 2．用中间量 比较 与 的大小：　　　　 【答案】 【详解】 与 比即 与 比，因 ，故 ； 与 比即 与 比，因 ，故 。所以 。故答案为：。 3．三个数 、、 的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以 0 和 1 为中间量：；；。故 。故选：D。 4．已知 ，，比较 与 的大小：　　　　 【答案】 【详解】化同底：；由 且底数 2>1 递增，得 ，即 。故答案为：。 5．若 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 时 递减，由 得 ，D 成立、A 错； 递减，故 ，B 错； 时 递增，故 ，C 错。故选：D。 6．比较 与 的大小：　　　　 【答案】 【详解】取中间量 1：，，故 。故答案为：。 7．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】；（真数小于 1）；。故 。故选：B。 8．比较 与 的大小：　　　　 【答案】 【详解】取对数化为 ，，故 。也可由 随 增大而减小直接判断。故答案为：。 题型五　基本初等函数的综合 【方法与技巧】 复合函数 先求内层值域再套外层，定义域、值域、单调性三步都按这个顺序走。 指对方程优先“换元”：令 化成代数方程，解完必须检验 并回代求 。 含参恒成立问题用分离参数或最值：先判单调性找到最值点，再让参数与最值比较，端点单独检验。 指对混合不等式先统一底数或统一成同一函数值，再用单调性“脱去”函数符号，注意真数大于 0 的前提。 【例题精讲】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先求定义域： 得 或 ；外层递增，故递增区间即内层 在定义域内的递增部分，为 。故选：C。 2．方程 的解为　　　　 【答案】 【详解】真数需 。合并得 ，即 ，得 ；由 舍去 ，故 。故答案为：。 3．已知函数 在 上的最大值比最小值大 2，则 （　　） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】 时递增，最大值为 、最小值为 ，故 ，即 ，由 得 。故选：B。 【变式训练】 1．函数 与 的图象的交点个数为　　　　 【答案】0 【详解】两函数互为反函数，图象关于直线 对称，且同为增函数，若有交点必在 上；而 恒成立（ 恒在 上方），故无交点。故答案为：0。 2．函数 的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 在 上连续递增，且 ，，故零点在 内。故选：A。 3．不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】化为 ，底数 2>1 递增，故 ，即 ，解得 。故答案为：。 4．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】需真数 ，且 ，由底数 2>1 递增得 ，故 。故选：B。 5．已知函数 的零点在区间 内，则整数 　　　　 【答案】1 【详解】 连续递增，，，故零点在 内，。故答案为：1。 6．函数 与 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于直线 对称 D．关于原点对称 【答案】C 【详解】同底数的指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线 对称。故选：C。 【巩固练习】 1．函数 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【详解】 在 上连续且严格递增，且 ，，故有且仅有 1 个零点。故选：A。 2．不等式 的解集为　　　　 【答案】 【详解】需真数 ，且底数 递减，由 得 ，故 。故答案为：。 3．若函数 在 上的最大值与最小值之差为 1，则 （　　） A．2 B． 或 C． D．4 【答案】B 【详解】函数在 上单调，最值在两端点，差为 ，故 或 ，得 或 。故选：B。 4．方程 的解为　　　　 【答案】 【详解】令 ，得 ，即 ，解得 （均大于 0），故 。故答案为：。 5．已知函数 的图象经过点 与 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 得 ；由 得 。故选：D。 6．函数 的最小值为　　　　 【答案】2 【详解】令 ，则 ，当 即 时取最小值 2。故答案为：2。 7．不等式 在下列哪个区间内一定成立（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 与 时 取等号；当 时恒有 ；在 内（如 时 ）不成立； 时 ，也不成立。故选：C。 8．若 ，则 、、 的大小关系为　　　　 【答案】 【详解】取对数得 、、；由 且底数越大对数值越小，得 。故答案为：。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 2． 的值为（　　） A．2 B． C．5 D．1 【答案】D 【详解】，，故和为 1。故选：D。 3．函数 的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令指数 得 ，此时 与 无关，故恒过 。故选：B。 4．已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，故 。故选：D。 5．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】需真数 ，即 或 。故选：C。 6．若幂函数 的图象过点 ，则 （　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】，故 。故选：C。 7．函数 的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，且 连续递增，故零点在 内。故选：A。 8．已知 ，，则 （　　） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【详解】取对数得 ，，故 。故选：B。 【多项选择题】 9．关于指数函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象恒过点 B．值域为 C．当 时在 上单调递增 D．当 时图象与 轴交于 且递增 【答案】ABC 【详解】由 知图象恒过 ，A 正确；指数函数值恒正且可任意接近 0，值域为 ，B 正确； 时递增，C 正确； 时单调递减，D 错。故选：ABC。 10．已知 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】，A 正确； 故 ，B 正确； 故 ，C 正确；，D 错。故选：ABC。 11．下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】 在 上递增，A 正确；底数 2>1 的对数函数递增，B 正确；底数 2>1 的指数函数递增，C 正确； 在 上递减，D 错。故选：ABC。 【填空题】 12．计算 的值为　　　　 【答案】 【详解】换底后相乘：。故答案为：。 13．已知函数 ，，若 且 ，则 　　　　 【答案】8 【详解】，故 ，得 。故答案为：8。 14．若函数 在 上的最大值与最小值之差为 1，则 　　　　 【答案】 或 【详解】函数在 上单调，最值在两端点：，，故 ，即 或 ，得 或 。故答案为： 或 。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题06　基本初等函数与指对幂 群哥高中数学辅导资料 专题06　基本初等函数与指对幂 一、核心知识 1．根式与分数指数幂： 表示 开 次方（），；运算性质，，。 2．指数函数 ：定义域 ，值域 ，图象恒过 ，以 轴为渐近线； 时在 上递增， 时递减。 3．对数：若 ，则 ；恒有 ，，。 4．对数运算性质：，，（）。 5．换底公式：；推论 ，。 6．对数函数 ：定义域 ，值域 ，图象恒过 ，以 轴为渐近线； 时递增， 时递减。 7．幂函数 ：图象恒过 ； 时还过 且在 上递增， 时在 上递减并以两坐标轴为渐近线。 8．增长差异：当 充分大时，恒有 ，即指数爆炸、幂函数居中、对数最慢。 9．比较大小的通法：① 中间量法（取 0、1 或某个已知的中间数）；② 单调性法（化同底或同指数）；③ 取对数法（ 与 比 与 ）；④ 构造函数法。 二、题型精练 题型一　指数与指数函数 【方法与技巧】 指数运算先化同底：，负指数先翻底，分数指数幂先写成根式再算，别跳步。 指数函数 的图象恒过 ，以 轴为渐近线； 时递增， 时递减——先定 的范围再看图。 复合型 的单调性用“同增异减”：外层由 定，内层 单独判，值域先求 的范围再套 。 【例题精讲】 1．计算 的值为（　　） A．2 B．8 C．1 D．4 　 　 　 2．函数 的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 　 　 　 3．函数 的值域为　　　　 　 　 　 【变式训练】 1．计算 的值为　　　　 2．设 ，，则（　　） A． B． C．不能确定 D． 3．函数 的值域为　　　　 4．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 5．若 且 ，则 的取值范围是　　　　 6．方程 的解为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1． 的值为（　　） A．4 B．2 C． D． 2．函数 的图象恒过定点　　　　 3．函数 与 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线 对称 D．关于 轴对称 4．函数 的单调递增区间为　　　　 5．若 ，则 、、 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 6．方程 的解为　　　　 7．已知指数函数 满足 ，则 （　　） A． B． C．9 D． 8．已知 ，，则 　　　　 题型二　对数与对数函数 【方法与技巧】 对数运算三件套：，，；不同底先换底统一。 换底公式 ，常用结论 、。 对数函数 恒过 ，以 轴为渐近线； 时递增，先求真数范围再谈单调。 反解思路：遇到 直接写成 ，遇到 直接取对数 ，新课标不单考反函数，只把它当解方程的工具。 【例题精讲】 1．计算 的值为（　　） A．0 B．4 C． D．2 　 　 2． 的值为　　　　 3．函数 的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．计算 的值为　　　　 2．若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 3．已知 ，则 　　　　 4．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 5．方程 的解为　　　　 6． 的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D．2 【巩固练习】 1．下列等式中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若 ，则 　　　　 3．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 4．函数 的单调递增区间为　　　　 5．若 ，则（　　） A． B． C． D． 6． 的值为　　　　 7．函数 与 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线 对称 8．已知 ，，则 　　　　 题型三　幂函数与函数模型 【方法与技巧】 幂函数 只看第一象限： 过 、 且递增； 不过原点，以两轴为渐近线且递减。 比较 的大小：在 处，图象越靠上 越大，这是识图题最快的一招。 函数模型的选择看增长差异： 时 ，应用题先判断是爆发式还是缓慢式增长。 【例题精讲】 1．若幂函数 的图象过点 ，则 （　　） A． B．2 C． D． 　 　 　 2．幂函数 的定义域为　　　　 　 　 　 3．下列函数中是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．若幂函数 的图象过点 ，则 　　　　 2．在 、、 中，定义域为 的是（　　） A． B． C．都不是 D． 3．比较 与 的大小：　　　　 4．当 充分大时，下列各函数中增长最快的是（　　） A． B． C． D． 5．写出一个在 上单调递减且为偶函数的幂函数 ，则 可以是　　　　 6．已知幂函数 、、 在 时的函数值分别为 4、2、，则（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．下列函数中，既是幂函数又是奇函数的是（　　） A． B． C． D． 2．幂函数 的值域为　　　　 3．某种产品的产量随时间呈“爆发式增长”，下列模型中最合适的是（　　） A． B． C． D． 4．比较 与 的大小：　　　　 5．若幂函数 的图象不经过原点，则（　　） A． B． C． D． 6．已知 ，则 　　　　 7．关于幂函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象都经过原点 B．在 上都单调递增 C．图象都经过点 D．都是奇函数 8．用中间量 比较可得 与 的大小关系为　　　　 题型四　指、对、幂的大小比较 【方法与技巧】 比较大小首选中间量：拿 0 和 1 当标尺，先把每个数归到“小于 0、介于 0 与 1、大于 1”的档位，多数题到此就出答案了。 同底不同指数用单调性，同指数不同底用幂函数单调性，底数指数都不同就取对数或构造函数。 取对数法：比较 与 时取自然对数化为比较 与 ，把指数问题降维成乘法问题。 【例题精讲】 1．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．比较 与 的大小：　　　　 　 　 　 3．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 　 　 　 【变式训练】 1．比较 与 的大小：　　　　 2．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 3．用中间量 比较 与 的大小：　　　　 4．下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5．用取对数法比较 与 的大小：　　　　 6．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 2．用中间量 比较 与 的大小：　　　　 3．三个数 、、 的大小顺序为（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，比较 与 的大小：　　　　 5．若 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 6．比较 与 的大小：　　　　 7．设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 8．比较 与 的大小：　　　　 题型五　基本初等函数的综合 【方法与技巧】 复合函数 先求内层值域再套外层，定义域、值域、单调性三步都按这个顺序走。 指对方程优先“换元”：令 化成代数方程，解完必须检验 并回代求 。 含参恒成立问题用分离参数或最值：先判单调性找到最值点，再让参数与最值比较，端点单独检验。 指对混合不等式先统一底数或统一成同一函数值，再用单调性“脱去”函数符号，注意真数大于 0 的前提。 【例题精讲】 1．函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 　 　 　 2．方程 的解为　　　　 　 　 　 3．已知函数 在 上的最大值比最小值大 2，则 （　　） A．3 B．2 C．4 D． 【变式训练】 1．函数 与 的图象的交点个数为　　　　 2．函数 的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 3．不等式 的解集为　　　　 4．不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数 的零点在区间 内，则整数 　　　　 6．函数 与 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于 轴对称 C．关于直线 对称 D．关于原点对称 【巩固练习】 1．函数 的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．3 2．不等式 的解集为　　　　 3．若函数 在 上的最大值与最小值之差为 1，则 （　　） A．2 B． 或 C． D．4 4．方程 的解为　　　　 5．已知函数 的图象经过点 与 ，则（　　） A． B． C． D． 6．函数 的最小值为　　　　 7．不等式 在下列哪个区间内一定成立（　　） A． B． C． D． 8．若 ，则 、、 的大小关系为　　　　 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．化简 的结果是（　　） A． B． C． D． 2． 的值为（　　） A．2 B． C．5 D．1 3．函数 的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 4．已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 5．函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 6．若幂函数 的图象过点 ，则 （　　） A．2 B． C． D． 7．函数 的零点所在区间为（　　） A． B． C． D． 8．已知 ，，则 （　　） A．0 B．1 C． D． 【多项选择题】 9．关于指数函数 ，下列说法正确的是（　　） A．图象恒过点 B．值域为 C．当 时在 上单调递增 D．当 时图象与 轴交于 且递增 10．已知 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【填空题】 12．计算 的值为　　　　 13．已知函数 ，，若 且 ，则 　　　　 14．若函数 在 上的最大值与最小值之差为 1，则 　　　　 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $