2026-2027学年冀教版八年级数学上学期第一次学情检测卷

2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材冀教版八年级上册第12-13章。 评卷人 得分 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列图形中，具有稳定性的是（     ） A． B． C． D． 2．若把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大9倍 3．下列式子是分式的是（     ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．根据分式的基本性质，分式可变形为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在和中，，，则判定这两个三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 7．传统文化在中国古代建筑中，常利用榫卯结构使得建筑物牢固且难以松动．如图，工人师傅设计了一种特定的榫卯结构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，设制作1个榫构件需圆木，下列说法正确的是（    ） A．制作1个卯构件需圆木 B．依题意 C．依题意 D．的值为20 8．若，则的值是（     ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 9．如图，已知，若添加下列条件，则，以下判断中错误的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，的面积为，平分，于点P，连接，则的面积为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，在中，，，，一条线段，P、Q两点分别在直线和的垂线上移动，点P从A点开始向左移动且移动的速度为，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则时间t的值为（     ） A．3 B．4 C．2或3 D．2或4 12．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 评卷人 得分 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13．若分式的值为零，则的值为_______． 14．如图，在中，，，平分交于点，若的面积等于6，则________． 15．若关于x的分式方程无解，则m的值为________． 16．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点于点，设运动时间为秒，则当为___________秒时，与全等 评卷人 得分 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17．有一道分式化简的题目是，其中整式A看不清楚了，老师告诉同学们题目化简后的结果是，求整式A． 18．解分式方程． 19．先化简，再求值：从0，1，2，3中选一个适当的数x，代入求值． 20．如图，已知点是的中点，，且．若，，求的度数． 21．某航模小组对A、B两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①A型无人机模型的单价比B型贵800元； ②用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买B型的数量不超过A型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 22．问题情境：如图1，在四边形中．，，是上一点，连接，，，． 问题探究： (1)判断的形状并证明： (2)“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点，，在直线上，，．若，，求的长． 23．小乐与朋友们周末去游乐园乘坐海盗船游玩，想了解海盗船摆动到最高点位置时的高度．如图，当静止时海盗船位于铅垂线上，转轴到地面的距离，在游人乘坐的过程中，当海盗船静止在点处时，，此时测得点到铅垂线的距离，当船头从处摆动到处时发现船头处在最高位置处，此时，．求点到地面的距离． 24．如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程：_________； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D A C D A B D 题号 11 12 答案 D C 1．C 【详解】解：选项A、B、D都是四边形，不具有稳定性，不符合题意； 选项C由两个三角形组成具有稳定性，符合题意． 2．C 【分析】设，根据分式的性质，得，解答即可． 【详解】解：设， 根据分式的性质，得， 故分式的值不变． 3．C 【详解】解：A、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意； B、是单项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意； C、是分式，故该选项正确，符合题意； D、是多项式，是整式，不是分式，故该选项不正确，不符合题意． 4．D 【详解】解：选项A，与不一定相等，运算错误． 选项B，与不一定相等，运算错误． 选项C，，运算错误． 选项D，，运算正确． 5．A 【详解】解：， ， 故选：A． 6．C 【分析】两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． 【详解】解：在和中， ． 7．D 【详解】解：制作1个卯构件需圆木，故选项A错误； ，， 根据题意列方程得， 故选项B、C错误； 解方程得， 故选项D正确． 8．A 【分析】利用已知等式将三次项降次，代入分式化简求值． 【详解】∵， ∴， 则． 9．B 【详解】解：A、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； B、，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项符合题意； C、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意； D、，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项不符合题意． 10．D 【分析】延长交于点，先证明,得到，再根据与等底同高，与等底同高，得到, ,结合，即可算出△ABC的面积． 【详解】解：如图所示，延长交于点． ∵平分， ∴, ∵于点P， ∴, ∵, ∴, ∴， ∵与等底同高， ∴, ∵与等底同高， ∴, ∵， ∴． 11．D 【分析】根据题意可知只存在和这两种情况，根据全等三角形的性质分类讨论即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∴当以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等时，只存在和这两种情况， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，t的值为2或4． 12．C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 13． 【分析】根据分式值为零的条件，列出方程和不等式，求解即可． 【详解】解：分式的值为零， 且， 解得． 14．2 【分析】过点作交于点，证明得到，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作交于点， 平分交于D， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ， ， ∴． 15．或 【分析】分式方程无解包含两种情况，一是去分母后得到的整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况计算即可得到的值． 【详解】解：原方程为， 方程两边同乘最简公分母，得， 展开整理得， 分两种情况讨论： ∵当整式方程无解时，一次项系数为，常数项不为，方程不成立， ∴， 解得，此时原方程无解，符合要求； ∵当整式方程有解，解为原方程的增根时，原方程无解，原分式方程的增根是使分母为的值，即， 把代入，得， 解得，此时是增根，原方程无解，符合要求． 综上所述，的值为或． 16． 或或 【分析】根据题意，与均为直角三角形，若要全等，斜边必须相等，即．根据点、的运动路径和速度，分三种情况讨论：点在上且点在上；点、都在上；点在上且点在上或到达终点．分别列出关于的方程求解即可． 【详解】由题意可知，点的速度为，点的速度为． ，． 点到达点需，到达点需． 点到达点需，到达点需． ，， ． 要使， 需满足． 分三种情况讨论： ①当时，点在上，点在上． ，． 令， 解得． ②当时，点在上，点在上． ，． 令， 解得． ③当时，点在上． 若，点在上， ，． 令， 解得，不合题意，舍去． 若，点到达点并停止， ． ． 令， 解得． 综上所述，当或或时，与全等． 故答案为：或或． 17． 【详解】解：由题意得： ， 整式． 18． 【分析】先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后检验结果写出答案即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 化系数为1，得； 检验：将代入中，得； ∴原分式方程的解为． 19．，选择代入，值为 【分析】先根据分式运算法则、完全平方公式和平方差公式化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的的值，代入计算得到结果． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件，得，，， ∴只能选取， 将代入得，原式． 20． 【分析】证明，可得，即可求解． 【详解】解：是的中点， ． ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 21．(1)A型无人机模型单价为2400元，B型无人机模型单价为1600元． (2)共有2种购买方案： 方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台； 方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台． 【分析】（1）设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意列分式方程即可解答； （2）设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台，根据题意列不等式组确定a的取值范围，再由a是正整数，确定a的取值即可求解． 【详解】（1）解：设A型无人机模型的单价为x元，则B型无人机模型的单价为元，根据题意可得 解得 经检验，是所列方程的根． （元） 答：A型无人机模型的单价为2400元，则B型无人机模型的单价为1600元． （2）解：设购买A型无人机模型a台，则购买B型无人机模型台， 根据题意得 解得， 是正整数， 或． 当时，； 当时，； 故共有2种购买方案： 方案1：购买A型无人机模型4台，B型无人机模型6台； 方案2：购买A型无人机模型5台，B型无人机模型5台． 22．(1)为等腰直角三角形； 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； (2) 【分析】（1）先证明，得出，，再得出，即可得出结论； （2）证明，得出，，再根据线段间数量关系，求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 23． 【分析】过点作，证明可得，再由求出即可． 【详解】解：如图，过点作， 根据题意可知，， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点到地面的距离是． 24．(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)①；②1或 (3)或 【分析】（1）只需要证明，即可证明； （2）①根据路程等于速度乘以时间可得答案；②求出的长，则可得到的长，再求出的长，最后根据三角形的面积公式建立方程求解即可； （3）分两种情况：当点P在线段上时，点F在的延长线上时，当点P在的延长线上时，点F在线段上时，根据全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意得，点的运动路程为； ②∵，， ∴， 由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴或； （3）解：由（2）得， ∴； 如图所示，当点P在线段上时，点F在的延长线上时， ∵， ∴ 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点P在的延长线上时，点F在线段上时， 同理可得此时只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 综上所述，符合题意的t的值为或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $