第 3 章 代数式【素养培优卷】 2026～2027 学年人教版七年级上册数学

第 3 章 代数式【素养培优卷】 2026~2027 学年人教版七年级上册数学 考试时间：90 分钟 满分：100 分 命题范围：第 3 章 代数式（3.1—3.2） 班级 ＿＿＿＿＿＿　姓名 ＿＿＿＿＿＿　学号 ＿＿＿＿＿＿　得分 ＿＿＿＿＿＿ 【本章考情简要分析】 本章是初中「由数到式」的起点：3.1 侧重用代数式表示数量关系（书写规范、文字语言与符号语言互化、实际情境与图形列式），3.2 侧重求代数式的值（直接代入、整体代入）与规律探究。 从近三年各地期中、期末卷看，本章的高区分度集中在这几个方向：① 代数式的书写规范与意义辨析，常以「下列说法（叙述）正确的是」形式出现，需逐项甄别；② 整体代入求值，关键是观察结构、把一个代数式整体看作一个量；③ 规律探究——数字规律看「符号、分子、分母」三条线或看相邻两项的差，图形规律看「每增加一个图形增加几个」；④ 分段计费、分段优惠与方案比较，考查分类讨论的严密性。 本卷按素养立意命制：中等偏上题 9 道、压轴难题 15 道，难度自第 1 题起逐级抬升，最后一题与压轴段集中考查整体代入、绝对值几何意义求最值、程序框图、图形与数字规律的综合分析能力。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个选项是正确的） 1．嘉嘉在期中考试中，语文、数学和英语三科的平均分是 分，语文和数学共得 分，则嘉嘉英语得（　　） A． 分 B． 分 C． 分 D． 分 2．某电子产品原价为 元， 月迎来开学季，商家开展“教育优惠”活动，现售价为 元，则下列说法中，符合题意的是（　　） A．原价减 元后再打 折 B．原价打 折后再减 元 C．原价打 折后再减 元 D．原价减 元后再打 折 3．某两位数，十位数字为 ，个位数字为 ，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，则这个新两位数用代数式表示为（　　） A． B． C． D． 4．当 时，多项式 的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图是由连续的奇数 ，，，，… 排成的数阵，用如图所示的“T 字框”框住其中的四个数，设竖列中间的数为 ，则这四个数的和为（　　） A． B． C． D． 6．实数 ， 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 的是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．《庄子·天下》云：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．若设棰长为 ，天数为 ，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，是用两种类型的黑色箭头摆成的有规律图形，则第 个图形中，黑色箭头 ▲ 的个数为（　　） A． B． C． D． 10．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，按此规律排列下去，则第 个图形中的小圆圈的个数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．数学上把关于 的代数式用记号 来表示，当 时，代数式的值用 表示．例如 ，当 时，．已知代数式 ，若 ，则 的值为　　　． 12．学习委员小明带了 元钱去文具店购买学习用品，已知一支笔 元，一个笔记本 元，则代数式 表示的实际意义是　　　． 13．睡眠是打开创造力大门的一把神奇钥匙．科学研究表明， 至 岁的人每天所需睡眠时间 （小时）可用公式 （ 是人的年龄）计算．请你用这个公式，计算 岁的小泽每天需要的睡眠时间是　　　小时． 14．某种杯子的高度是 15 cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图所示，则 个这样的杯子叠放在一起高度是　　　cm（用含 的式子表示）． 15．若 ，则 的最小值是　　　． 16．三阶幻方的历史可以追溯到大禹治水时期，洛书上的神秘图案就是其早期形式．它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”：每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．下左图就是“和幻方”，右图为“积幻方”，则 　　　． 三、解答题（本题有 8 小题，共 52 分．解答应写出必要的文字说明、计算过程或推理步骤） 17．（6 分）书籍是人类进步的阶梯！为爱护书，一般都将书本用封皮包好．现有一本数学课本，其长为 26 cm、宽为 18.5 cm、厚为 1 cm．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去 cm，封皮展开后如图所示，求： （1）小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含 的代数式表示） （2）当封面和封底各折进去 2 cm 时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少 cm2？ 18．（6 分）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 （1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果要 6 天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 19．（6 分）某居民社区为了改善业主的居住环境，计划在社区空地上修建一个广场（图中阴影部分，单位：米）． （1）用含 ， 的代数式表示该广场的周长 、面积 ； （2）若 ， 满足 ，请求出该广场的面积 ；若每平方米的修建费用为 200 元，求修建广场所需的总费用． 20．（8 分）某校的“图书码”共有 7 位数字，它是由 6 位数字代码和 1 位校验码构成的，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前 6 位数字代码的正确性的，它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤 1：计算前 6 位数字中偶数位数字的和 ，即 ； 步骤 2：计算前 6 位数字中奇数位数字的和 ，即 ； 步骤 3：计算 与 的和 ，即 ； 步骤 4：取大于或等于 且为 10 的整数倍的最小数 ，即 ； 步骤 5：计算 与 的差就是校验码 ，即 ． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为 745672Y，则“步骤 3”中的 的值为　　　，校验码 的值为　　　． （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为 ，用含有 的代数式表示上述步骤中的 ，并求出 的值． （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是 10，这两个数字从左到右分别是　　　（请直接写出结果）． 21．（8 分）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图 1 为有 1 块六边形地砖时，正方形地砖有 6 块，三角形地砖有 6 块；图 2 为有 2 块六边形地砖时，正方形地砖有 11 块，三角形地砖有 10 块；… （1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加　　　块，三角形地砖会增加　　　块； （2）若铺设这条小路共用去 块六边形地砖，分别用含 的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； （3）当 时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 22．（6 分）滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一．为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则： ① 起步价：滴滴打车的起步价为 10 元； ② 里程费：起步里程 3 公里，超过 3 公里的部分按 1.5 元/公里的标准收取里程费用； ③ 时长费：起步时间 8 分钟，超过 8 分钟的部分按 0.25 元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由起步价、里程费、时长费构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算． （1）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为 2.8 公里，行车时间为 5 分钟，需付车费　　　元； （2）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为 （）公里，行车时间为 （）分钟，则应付车费多少元？（列代数式并化简） （3）若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到体育馆观看比赛，行车里程为 18 公里，行车时间为 20 分钟，则需付车费多少元？ 23．（6 分）历史上的数学巨人欧拉最先把关于 的多项式用记号 的形式来表示（ 可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如 ，把 为某数时的多项式的值用 来表示． 例如 时多项式 的值记为 ． 已知 ，． （1）求 的值； （2）若 ，求 的值． 24．（6 分）某商场销售西装每套定价 1000 元，领带每条定价 200 元．国庆节期间，该商场向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的 90% 付款． （1）若小王购买西装 20 套、领带 30 条，按方案一购买需付款　　　元，按方案二购买需付款　　　元； （2）若小王购买西装 20 套、领带 条（），按方案一购买需付款　　　元，按方案二购买需付款　　　元（用含 的代数式表示）； （3）小王要购买西装 20 套、领带 30 条，请你帮他设计最省钱的购买方案，并求出该方案的付款金额． 【参考答案与详细解析】 第 3 章 代数式【素养培优卷】　2026~2027 学年人教版七年级上册数学 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．【答案】B 【解析】三科总分是 分，英语成绩＝三科总分－语文和数学的总分，所以英语得 分．故选 B． 2．【答案】B 【解析】 表示在原价 元的基础上打 折，再减 表示打折后再降价 元，即促销方式是“先打 折，再减 元”．故选 B． 3．【答案】D 【解析】原两位数＝；交换位置后，十位数字是 ，个位数字是 ，所以新两位数＝．故选 D． 4．【答案】D 【解析】原式＝，当 时，原式＝．故选 D． 5．【答案】D 【解析】数阵中相邻两行同列的两个数相差 ，同一行相邻两数相差 ．设竖列中间的数为 ，则它上面的数为 ，下面的数为 ，它右侧的数为 ，所以这四个数的和为 ．故选 D． 6．【答案】B 【解析】由绝对值的几何意义： 表示数轴上点 到 、 的距离之和，当 时取最小值 ；同理 当 时取最小值 ．因为它们的和为 ，所以只能是各自都取最小值，即 ，．在 取最小值、 取最大值时 最小：当 ， 时，；在 取最小值、 取最小值时 最大：当 ， 时，．所以 ．故选 B． 7．【答案】B 【解析】程序分两种情况：当 时输出 ；当 时输出 ．A：，；B：，，符合；C：，；D：，．故选 B． 8．【答案】A 【解析】每天取走的部分依次为 ，，，…，，由“万世不竭”可知：取走的长度和永远小于棰的总长 ，事实上 ．故选 A． 9．【答案】D 【解析】观察图形可得黑色箭头 ▲ 的个数依次为：第 个图形 个，第 个图形 （个），第 个图形 个，第 个图形 （个），第 个图形 个，第 个图形 （个），…，所以第 （ 为偶数）个图形中黑色箭头 ▲ 的个数为 ；当 时，（个）．故选 D． 10．【答案】C 【解析】第 个图形有 （个）小圆圈，第 个图形有 （个），第 个图形有 （个），所以第 个图形中小圆圈的个数为 个；当 时，（个）．故选 C． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．【答案】 【解析】由 ，得 ．． 12．【答案】买 支笔和 个笔记本后剩下的钱数（元） 【解析】 表示买 支笔的金额， 表示买 个笔记本的金额，所以 表示“买 支笔和 个笔记本后剩下的钱数”（单位：元）．（表述不唯一，意思正确即可） 13．【答案】 【解析】把 代入 ，得 （小时）． 14．【答案】 【解析】由题图可知： 个杯子高 15 cm， 个叠放高 18 cm， 个叠放高 21 cm，即每增加一个杯子，高度增加 （cm），所以 个杯子叠放的高度为 （cm）． 15．【答案】 【解析】 表示数轴上点 到 与到 的距离之和， 表示点 到 与到 的距离之和．由数轴可知 ，当 时取等号；，当 时取等号．因为它们的和为 ，所以只能同时取等号，即 ，．要使 最小，需 最小取 ，且 最小，此时 ，所以最小值为 ． 16．【答案】 【解析】左图“和幻方”每一行（列、对角线）的三数之和都是 ．右图“积幻方”的第一行 ，所以每一行（列、对角线）的三数之积都是 ．沿主对角线：，得 ，所以 ；沿中间一行：，得中间一行第一个数为 ；沿第一列：，得 ．所以 ． 三、解答题（共 8 小题，共 52 分） 17．（6 分）书籍是人类进步的阶梯！为爱护书，一般都将书本用封皮包好．现有一本数学课本，其长为 26 cm、宽为 18.5 cm、厚为 1 cm．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去 cm，封皮展开后如图所示，求： （1）小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含 的代数式表示） 【答案】长是 cm，宽是 cm 【解析】包书纸的长＝封面宽＋封底宽＋书厚＋两端的折边，即 （cm）；包书纸的宽＝书长＋两端的折边，即 （cm）． （2）当封面和封底各折进去 2 cm 时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少 cm2？ 【答案】 cm2 【解析】当 时，长＝（cm），宽＝（cm），面积＝（cm2）． 【评分标准】按步给分：列式（或判断）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 18．（6 分）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 （1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ 【答案】成反比例关系 【解析】因为 ，每天看的页数与需要的天数的乘积是一个定值（总页数 300 页），所以每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系． （2）如果要 6 天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 【答案】 页 【解析】由（1）知这本书共 页，（页），即平均每天要看 页． 【评分标准】按步给分：列式（或判断）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 19．（6 分）某居民社区为了改善业主的居住环境，计划在社区空地上修建一个广场（图中阴影部分，单位：米）． （1）用含 ， 的代数式表示该广场的周长 、面积 ； 【答案】 米， 平方米 【解析】把广场看作长 米、宽 米的长方形，左下角与右上角各补出一段，周长为（米）；面积＝大长方形面积－缺口面积（平方米）． （2）若 ， 满足 ，请求出该广场的面积 ；若每平方米的修建费用为 200 元，求修建广场所需的总费用． 【答案】面积 平方米，总费用 元 【解析】由非负性得 ，，所以 ，．所以 （平方米）；总费用＝（元）． 【评分标准】按步给分：列式（或判断）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 20．（8 分）某校的“图书码”共有 7 位数字，它是由 6 位数字代码和 1 位校验码构成的，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前 6 位数字代码的正确性的，它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤 1：计算前 6 位数字中偶数位数字的和 ，即 ； 步骤 2：计算前 6 位数字中奇数位数字的和 ，即 ； 步骤 3：计算 与 的和 ，即 ； 步骤 4：取大于或等于 且为 10 的整数倍的最小数 ，即 ； 步骤 5：计算 与 的差就是校验码 ，即 ． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为 745672Y，则“步骤 3”中的 的值为　　　，校验码 的值为　　　． 【答案】， 【解析】前 6 位数字为 7，4，5，6，7，2．偶数位数字的和 ，奇数位数字的和 ，所以 ；大于或等于 且为 10 的整数倍的最小数 ，所以校验码 ． （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为 ，用含有 的代数式表示上述步骤中的 ，并求出 的值． 【答案】， 【解析】由图①可知图书码为 6m01026，校验码为 6，前 6 位为 6，，0，1，0，2．偶数位数字的和 ，奇数位数字的和 ，所以 ；又 ，所以 ；因为 是 10 的整数倍，所以 的个位数字是 0，即 的个位数字是 9，故 ． （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是 10，这两个数字从左到右分别是　　　（请直接写出结果）． 【答案】1，9 或 6，4 【解析】由图②可知图书码为 6p19q28，校验码为 8，前 6 位为 6，，1，9，，2．偶数位数字的和 ，奇数位数字的和 ，所以 ；因为 ，所以 是 10 的整数倍，即 的个位数字是 0，也就是 的个位数字是 2．又 ，即 ，代入得 ，其个位数字是 2，所以 的个位数字是 2，得 或 ；当 时 ，当 时 ．所以这两个数字从左到右分别是 1，9 或 6，4． 【评分标准】按步给分：列式（或判断）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 21．（8 分）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图 1 为有 1 块六边形地砖时，正方形地砖有 6 块，三角形地砖有 6 块；图 2 为有 2 块六边形地砖时，正方形地砖有 11 块，三角形地砖有 10 块；… （1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加　　　块，三角形地砖会增加　　　块； 【答案】， 【解析】图 1 中：三角形地砖 ，正方形地砖 ；图 2 中：三角形地砖 ，正方形地砖 ；图 3 中：三角形地砖 ，正方形地砖 ；所以每增加一块六边形地砖，正方形地砖增加 5 块，三角形地砖增加 4 块． （2）若铺设这条小路共用去 块六边形地砖，分别用含 的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； 【答案】正方形地砖 块，三角形地砖 块 【解析】由（1）得：当六边形地砖为 块时，正方形地砖为 块，三角形地砖为 块． （3）当 时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 【答案】 块 【解析】当 时，（块），（块），所以总数量为 （块）． 【评分标准】按步给分：列式（或判断）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 22．（6 分）滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一．为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则： ① 起步价：滴滴打车的起步价为 10 元； ② 里程费：起步里程 3 公里，超过 3 公里的部分按 1.5 元/公里的标准收取里程费用； ③ 时长费：起步时间 8 分钟，超过 8 分钟的部分按 0.25 元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由起步价、里程费、时长费构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算． （1）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为 2.8 公里，行车时间为 5 分钟，需付车费　　　元； 【答案】 元 【解析】行车里程 ，行车时间 ，均未超过起步里程与起步时间，所以只需付起步价 10 元． （2）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为 （）公里，行车时间为 （）分钟，则应付车费多少元？（列代数式并化简） 【答案】 元 【解析】里程费为 元，时长费为 元，所以应付车费为 （元）． （3）若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到体育馆观看比赛，行车里程为 18 公里，行车时间为 20 分钟，则需付车费多少元？ 【答案】 元 【解析】把 ， 代入（2）的结论：（元），即需付车费 35.5 元． 【评分标准】按步给分：列式（或判断）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 23．（6 分）历史上的数学巨人欧拉最先把关于 的多项式用记号 的形式来表示（ 可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如 ，把 为某数时的多项式的值用 来表示． 例如 时多项式 的值记为 ． 已知 ，． （1）求 的值； 【答案】 【解析】． （2）若 ，求 的值． 【答案】 【解析】因为 ，即 ，所以 ，解得 ．所以 ． 【评分标准】按步给分：列式（或判断）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 24．（6 分）某商场销售西装每套定价 1000 元，领带每条定价 200 元．国庆节期间，该商场向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的 90% 付款． （1）若小王购买西装 20 套、领带 30 条，按方案一购买需付款　　　元，按方案二购买需付款　　　元； 【答案】方案一 元，方案二 元 【解析】方案一：买 20 套西装付 （元）并获赠 20 条领带，还需再买 条领带，付 （元），共 （元）；方案二：（元）． （2）若小王购买西装 20 套、领带 条（），按方案一购买需付款　　　元，按方案二购买需付款　　　元（用含 的代数式表示）； 【答案】方案一 元，方案二 元 【解析】方案一：（元）；方案二：（元）． （3）小王要购买西装 20 套、领带 30 条，请你帮他设计最省钱的购买方案，并求出该方案的付款金额． 【答案】先按方案一买 20 套西装，再按方案二买余下 10 条领带；共付 元 【解析】比较可知：全部按方案一付 22000 元，全部按方案二付 23400 元，都方案一更省；更省的混合方案：先按方案一买 20 套西装，付 （元）并获赠 20 条领带；余下 条领带按方案二打九折购买，付 （元）；共付 （元），比 22000 元少 200 元．所以最省钱的方案是“先按方案一买 20 套西装、再按方案二买余下的 10 条领带”，付款 21800 元． 【评分标准】按步给分：列式（或判断）正确得主要分值，过程完整、结果准确得满分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 3 章 代数式【素养培优卷】 2026~2027 学年人教版七年级上册数学 考试时间：90 分钟 满分：100 分 命题范围：第 3 章 代数式（3.1—3.2） 班级 ＿＿＿＿＿＿　姓名 ＿＿＿＿＿＿　学号 ＿＿＿＿＿＿　得分 ＿＿＿＿＿＿ 【本章考情简要分析】 本章是初中「由数到式」的起点：3.1 侧重用代数式表示数量关系（书写规范、文字语言与符号语言互化、实际情境与图形列式），3.2 侧重求代数式的值（直接代入、整体代入）与规律探究。 从近三年各地期中、期末卷看，本章的高区分度集中在这几个方向：① 代数式的书写规范与意义辨析，常以「下列说法（叙述）正确的是」形式出现，需逐项甄别；② 整体代入求值，关键是观察结构、把一个代数式整体看作一个量；③ 规律探究——数字规律看「符号、分子、分母」三条线或看相邻两项的差，图形规律看「每增加一个图形增加几个」；④ 分段计费、分段优惠与方案比较，考查分类讨论的严密性。 本卷按素养立意命制：中等偏上题 9 道、压轴难题 15 道，难度自第 1 题起逐级抬升，最后一题与压轴段集中考查整体代入、绝对值几何意义求最值、程序框图、图形与数字规律的综合分析能力。 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个选项是正确的） 1．嘉嘉在期中考试中，语文、数学和英语三科的平均分是 分，语文和数学共得 分，则嘉嘉英语得（　　） A． 分 B． 分 C． 分 D． 分 2．某电子产品原价为 元， 月迎来开学季，商家开展“教育优惠”活动，现售价为 元，则下列说法中，符合题意的是（　　） A．原价减 元后再打 折 B．原价打 折后再减 元 C．原价打 折后再减 元 D．原价减 元后再打 折 3．某两位数，十位数字为 ，个位数字为 ，将其十位上的数与个位上的数交换位置，得到一个新的两位数，则这个新两位数用代数式表示为（　　） A． B． C． D． 4．当 时，多项式 的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图是由连续的奇数 ，，，，… 排成的数阵，用如图所示的“T 字框”框住其中的四个数，设竖列中间的数为 ，则这四个数的和为（　　） A． B． C． D． 6．实数 ， 满足 ，记代数式 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为 的是（　　） A．， B．， C．， D．， 8．《庄子·天下》云：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．若设棰长为 ，天数为 ，则（　　） A． B． C． D． 9．如图，是用两种类型的黑色箭头摆成的有规律图形，则第 个图形中，黑色箭头 ▲ 的个数为（　　） A． B． C． D． 10．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，按此规律排列下去，则第 个图形中的小圆圈的个数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．数学上把关于 的代数式用记号 来表示，当 时，代数式的值用 表示．例如 ，当 时，．已知代数式 ，若 ，则 的值为　　　． 12．学习委员小明带了 元钱去文具店购买学习用品，已知一支笔 元，一个笔记本 元，则代数式 表示的实际意义是　　　． 13．睡眠是打开创造力大门的一把神奇钥匙．科学研究表明， 至 岁的人每天所需睡眠时间 （小时）可用公式 （ 是人的年龄）计算．请你用这个公式，计算 岁的小泽每天需要的睡眠时间是　　　小时． 14．某种杯子的高度是 15 cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图所示，则 个这样的杯子叠放在一起高度是　　　cm（用含 的式子表示）． 15．若 ，则 的最小值是　　　． 16．三阶幻方的历史可以追溯到大禹治水时期，洛书上的神秘图案就是其早期形式．它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵．三阶幻方有“和幻方”和“积幻方”：每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之和均相等的，我们称为“和幻方”；每一横行、每一竖列、每条斜对角线上的三个数字之积均相等的，我们称为“积幻方”．下左图就是“和幻方”，右图为“积幻方”，则 　　　． 三、解答题（本题有 8 小题，共 52 分．解答应写出必要的文字说明、计算过程或推理步骤） 17．（6 分）书籍是人类进步的阶梯！为爱护书，一般都将书本用封皮包好．现有一本数学课本，其长为 26 cm、宽为 18.5 cm、厚为 1 cm．小军用一张长方形纸包好了这本数学书，他将封面和封底各折进去 cm，封皮展开后如图所示，求： （1）小军所用的这张包书纸的长和宽各是多少？（用含 的代数式表示） （2）当封面和封底各折进去 2 cm 时，请帮小军计算一下他所用的包书纸的面积是多少 cm2？ 18．（6 分）诗词是指以古体诗、近体诗和格律词为代表的中国汉族传统诗歌，亦是汉字文化圈的特色之一．一本《中华诗词集锦》，每天看的页数和需要的天数如下表． 每天看的页数/页 12 15 20 30 需要的天数/天 25 20 15 10 （1）每天看的页数与需要的天数之间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果要 6 天看完这本《中华诗词集锦》，平均每天要看多少页？ 19．（6 分）某居民社区为了改善业主的居住环境，计划在社区空地上修建一个广场（图中阴影部分，单位：米）． （1）用含 ， 的代数式表示该广场的周长 、面积 ； （2）若 ， 满足 ，请求出该广场的面积 ；若每平方米的修建费用为 200 元，求修建广场所需的总费用． 20．（8 分）某校的“图书码”共有 7 位数字，它是由 6 位数字代码和 1 位校验码构成的，其结构分别代表“种类代码、出版社代码、书序代码和校验码”．其中校验码是用来校验图书码中前 6 位数字代码的正确性的，它的编制是按照特定的算法得来的．以图为例，其算法为： 步骤 1：计算前 6 位数字中偶数位数字的和 ，即 ； 步骤 2：计算前 6 位数字中奇数位数字的和 ，即 ； 步骤 3：计算 与 的和 ，即 ； 步骤 4：取大于或等于 且为 10 的整数倍的最小数 ，即 ； 步骤 5：计算 与 的差就是校验码 ，即 ． 请解答下列问题： （1）《数学故事》的图书码为 745672Y，则“步骤 3”中的 的值为　　　，校验码 的值为　　　． （2）如图①，某图书码中的一位数字被墨水污染了，设这位数字为 ，用含有 的代数式表示上述步骤中的 ，并求出 的值． （3）如图②，某图书码中被墨水污染的两个数字的和是 10，这两个数字从左到右分别是　　　（请直接写出结果）． 21．（8 分）某公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．图 1 为有 1 块六边形地砖时，正方形地砖有 6 块，三角形地砖有 6 块；图 2 为有 2 块六边形地砖时，正方形地砖有 11 块，三角形地砖有 10 块；… （1）按照规律，每增加一块六边形地砖，正方形地砖会增加　　　块，三角形地砖会增加　　　块； （2）若铺设这条小路共用去 块六边形地砖，分别用含 的代数式表示正方形地砖、三角形地砖的数量； （3）当 时，求此时正方形地砖和三角形地砖的总数量． 22．（6 分）滴滴打车是目前国内最受欢迎的网约车平台之一．为了给用户提供便捷、安全的出行服务，滴滴打车制定了一套收费规则： ① 起步价：滴滴打车的起步价为 10 元； ② 里程费：起步里程 3 公里，超过 3 公里的部分按 1.5 元/公里的标准收取里程费用； ③ 时长费：起步时间 8 分钟，超过 8 分钟的部分按 0.25 元/分钟的标准收取时长费用． 注：车费由起步价、里程费、时长费构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算． （1）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为 2.8 公里，行车时间为 5 分钟，需付车费　　　元； （2）若小爱同学乘坐滴滴打车，行车里程为 （）公里，行车时间为 （）分钟，则应付车费多少元？（列代数式并化简） （3）若小爱同学从家出发，乘坐滴滴打车到体育馆观看比赛，行车里程为 18 公里，行车时间为 20 分钟，则需付车费多少元？ 23．（6 分）历史上的数学巨人欧拉最先把关于 的多项式用记号 的形式来表示（ 可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如 ，把 为某数时的多项式的值用 来表示． 例如 时多项式 的值记为 ． 已知 ，． （1）求 的值； （2）若 ，求 的值． 24．（6 分）某商场销售西装每套定价 1000 元，领带每条定价 200 元．国庆节期间，该商场向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一套西装送一条领带； 方案二：西装和领带都按定价的 90% 付款． （1）若小王购买西装 20 套、领带 30 条，按方案一购买需付款　　　元，按方案二购买需付款　　　元； （2）若小王购买西装 20 套、领带 条（），按方案一购买需付款　　　元，按方案二购买需付款　　　元（用含 的代数式表示）； （3）小王要购买西装 20 套、领带 30 条，请你帮他设计最省钱的购买方案，并求出该方案的付款金额． 学科网（北京）股份有限公司 $