16.3 乘法公式 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“16.3 乘法公式”核心知识点，涵盖平方差公式、完全平方公式及添括号法则，构建“课前预习（具体算式）—课内探究（公式推导与几何验证）—分层训练（基础到挑战）—综合运用”的学习支架，形成从特殊到一般再到应用的知识脉络。 该资料以“特殊—一般—几何验证”探究过程培养抽象能力与几何直观，如平方差公式通过面积剪拼验证；分层训练（A组模仿、B组拓展、C组中考衔接）落实推理意识，满足差异需求。课中留白作答辅助教师引导推导，课后参考答案与分层训练助力学生查漏补缺，强化应用意识。

人教版数学八年级上册 · 第十六章 整式的乘法 · 16.3 乘法公式(学生用书) 16.3 乘法公式 学生用书 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) · 3课时 亲爱的同学,本节我们一起学习"16.3 乘法公式"。本节共 3 课时: 16.3.1 平方差公式、16.3.2 完全平方公式、添括号法则与公式综合运用。 每个课时的结构: 学习目标 → 预习导航(课前填空) → 课内探究(留白作答) → 分层训练(A 组基础 / B 组提高 / C 组挑战) → 课堂小结(填空) → 参考答案。 使用建议: 课前先读课本、完成"预习导航"; 课堂上跟随"课内探究"动笔推导; 课后独立完成"分层训练",最后对照"参考答案"订正。所有填空题的答案都收在每课时末尾的"参考答案"中。 课时 1 · 16.3.1 平方差公式 【一、学习目标】 1. 经历"特殊—一般—几何验证"的探究过程,理解并掌握平方差公式 (a+b)(a-b)=-。 2. 会识别公式"一项相同、另一项互为相反数"的结构,并正确确定公式中的 a、b。 3. 会用平方差公式进行简单计算、连续运算与简便运算(如 102×98)。 【二、预习导航(课前填空)】 1. 课本 P112 探究: 计算 (x+1)(x-1)=____; (m+2)(m-2)=____; (2x+1)(2x-1)=____。 2. 平方差公式(用字母表示): (a+b)(a-b)=____。 3. 文字表述: 两个数的____与这两个数的____的积,等于这两个数的____。 4. 用多项式乘法验证公式: (a+b)(a-b)=-ab+ab-=____(中间两项恰好抵消)。 5. 课本 P112 图16.3-1: 边长为 a 的正方形剪去边长为 b 的小正方形,剩余面积为 -; 把它剪拼成长 (a+b)、宽 (a-b) 的长方形后,面积为____,所以 -=(a+b)(a-b)。 【三、课内探究(课本 P112-P113 例题,留白作答)】 【探究一】 课本 P112 例1 第(1)题: 计算 (3x+2)(3x-2)。提示: 把"相同项"3x 看作 a、"相反项"2 看作 b。 解: 原式 = - = ____。 【探究二】 课本 P112 例1 第(2)题: 计算 (-x+2y)(-x-2y)。提示: 相同项是____,相反项是____。 解: 原式 = ____。 【探究三】 课本 P113 例2 第(1)题: 计算 (x-1)(x+1)(+1)。提示: 连续两次用平方差公式。 解: 原式 = (____)(+1) = ____。 【探究四】 课本 P113 例2 第(2)题: 计算 (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)。提示: 前一积用公式,后一积不符合公式条件,须按多项式乘法展开再合并。 解: 原式 = (____) - (____) = ____。 【探究五】 课本 P113 例2 第(3)题: 计算 102×98。提示: 把 102、98 分别写成 100+2 与 100-2。 解: 原式 = (____)(____) = ____。 图 16.3-1 课本 P112 探究: 三组算式的共同规律 图 16.3-2 课本 P112 图16.3-1 平方差公式的几何说明 图 16.3-3 平方差公式及其结构特征 图 16.3-4 课本 P112 例1 完整解答 图 16.3-5 课本 P113 例2 完整解答 【四、分层训练】 【A 组(基础过关,模仿例题)】 1. 课本 P114 练习第2题: 运用平方差公式计算: (1) (a+3b)(a-3b) = ____; (2) (3+2a)(-3+2a) = ____; (3) (xy+1)(+1)(xy-1) = ____; (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) = ____。 2. 课本 P113 练习第1题: 判断下列计算是否正确,不正确的请改正: (1) (x+2)(x-2)=-2; (2) (-a-2)(a-2)=-4; (3) (x+2y)(-x-2y)=-; (4) (3a+4b)(3a-4b)=-。 3. 课本 P114 练习第3题: 用简便方法计算: (1) 51×49 = ____; (2) 200 × 199 = ____。 【B 组(提高拓展,综合应用)】 1. 计算: (3x-5)(3x+5) = ____; (-2a-b)(b-2a) = ____。 2. 计算: 100.5×99.5 = ____。 3. 先化简,再求值: (2a+3b)(2a-3b),其中 a=1,b=2。 【C 组(挑战题,中考衔接)】 1. 计算: (x+2y)(x-2y)(+) = ____。 2. 已知 a+b=5,a-b=3,求 - 的值。 【五、课堂小结(填空)】 1. 平方差公式: ____。 2. 公式的结构特征: 两个因式中____项相同,____项互为相反数。 3. 计算: (2x-1)(2x+1) = ____。 【六、参考答案(课时 1)】 预习: 1. -1, -4, -1; 2. -; 3. 和、差、平方差; 4. -; 5. (a+b)(a-b)。 探究: 探究一 -4; 探究二 相同项 -x, 相反项 2y, 原式 = - = -; 探究三 -1; 探究四 (-4)-(+4y-5) = -4y+1; 探究五 - = 9996。 A 组: 1. (1) -; (2) -9; (3) -1; (4) -5x-10。 2. (1) 错,应为 -4; (2) 错,应为 4-; (3) 错,两因式的两项都互为相反数,原式 = - = --4xy-; (4) 错,末项漏平方,应为 -。 3. (1) (50+1)(50-1) = 2500-1 = 2499; (2) (200+)(200) = 40000 = 39999 。 B 组: 1. -25; -。 2. 100.5×99.5 = (100+0.5)(100-0.5) = 10000-0.25 = 9999.75。 3. 原式 = -,当 a=1,b=2 时 = 4-36 = -32。 C 组: 1. (x+2y)(x-2y)(+) = (-)(+) = -。 2. - = (a+b)(a-b) = 5×3 = 15。 小结: 1. (a+b)(a-b) = -; 2. 一、另一; 3. -1。 课时 2 · 16.3.2 完全平方公式 【一、学习目标】 1. 理解并掌握完全平方公式 = +2ab+ 与 = -2ab+,理解其几何背景。 2. 记住口诀"首平方,尾平方,积的 2 倍放中间",能正确展开两个数的和(或差)的平方。 3. 会用完全平方公式进行简便运算(如 、),并分辨它与平方差公式的区别。 【二、预习导航(课前填空)】 1. 课本 P114 探究: 计算 = ____; = ____; = ____; = ____。 2. 完全平方公式: = ____; = ____。 3. 口诀: ____、____、____。 4. 课本 P114 图16.3-2: 边长为 (a+b) 的正方形被分成四块,面积分别是 、ab、ab、,所以 = ____。 5. 用乘法法则推导: = (a-b)(a-b) = -ab-ab+ = ____。 【三、课内探究(课本 P115 例题,留白作答)】 【探究一】 课本 P115 例3 第(1)题: 计算 。提示: 把 4m 看作 a、n 看作 b。 解: 原式 = + 2×(____)×(____) + = ____。 【探究二】 课本 P115 例3 第(2)题: 计算 。提示: 把 y 看作 a、 看作 b,注意"积的 2 倍"不能丢。 解: 原式 = ____。 【探究三】 课本 P115 例4 第(1)题: 计算 。提示: 写成 。 解: 原式 = ____。 【探究四】 课本 P115 例4 第(2)题: 计算 。提示: 写成 。 解: 原式 = ____。 【探究五】 课本 P115 思考,先判断再说明理由: ① 与 相等吗? ____(填"相等"或"不相等") ② 与 相等吗? ____ ③ 与 - 相等吗? ____ 图 16.3-6 课本 P114 探究: 四组算式的共同规律 图 16.3-7 课本 P114 图16.3-2 与图16.3-3 完全平方公式的几何说明 图 16.3-8 完全平方公式及其结构特征 图 16.3-9 课本 P115 例3 完整解答 图 16.3-10 课本 P115 例4 简便计算 图 16.3-11 课本 P115 思考 三个问题的辨析 【四、分层训练】 【A 组(基础过关,模仿例题)】 1. 课本 P116 练习第2题: 运用完全平方公式计算: (1) = ____; (2) = ____; (3) = ____; (4) = ____。 2. 课本 P115 练习第1题: 判断下列计算是否正确,不正确的请改正: (1) =+; (2) =-ab+。 3. 课本 P116 练习第3题: 用简便方法计算: (1) = ____; (2) = ____。 【B 组(提高拓展,综合应用)】 1. 计算: = ____; = ____。 2. 用简便方法计算: = ____; = ____。 3. 先化简,再求值: -(x-1)(x+1),其中 x=。 【C 组(挑战题,中考衔接)】 1. 已知 =25,ab=6,求 + 的值。 2. 计算: -2×2024×2023+ = ____。 【拓展阅读·杨辉三角】 课本"阅读与思考"中的杨辉三角: 两腰都是 1,其余每个数都等于它"两肩"上两个数的和。从上往下,第 1 行 1、1 是 (a+b) 的系数;第 2 行 1、2、1 正是 =+2ab+ 的各项系数;第 3 行 1、3、3、1 是 的系数。它是我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载的,比欧洲同类数表早三百多年。 【五、课堂小结(填空)】 1. 完全平方公式: ____; ____。 2. 口诀: ____。 3. 计算: = ____。 【六、参考答案(课时 2)】 预习: 1. +2p+1, +4m+4, -2p+1, -4m+4; 2. +2ab+, -2ab+; 3. 首平方、尾平方、积的 2 倍放中间; 4. +2ab+; 5. -2ab+。 探究: 探究一 +2×(4m)×n+ = +8mn+; 探究二 -y+; 探究三 +2×100×2+ = 10404; 探究四 -2×100×1+ = 9801; 探究五 ① 相等(互为相反数的两个数的平方相等); ② 相等; ③ 不相等(如 a=3,b=1 时分别是 4 与 8)。 A 组: 1. (1) +12x+36; (2) -10y+25; (3) -20x+25; (4) - xy + 。 2. (1) 错,漏中间项,应为 +2ab+; (2) 错,应为 -2ab+。 3. (1) = 10000-400+4 = 9604; (2) = 4900+70+0.25 = 4970.25。 B 组: 1. -12ab+; +4m+1。 2. = = 3600+360+9 = 3969; = = 6400+800+25 = 7225。 3. 原式 = +6x+9-(-1) = 6x+10,当 x= 时 = 3+10 = 13。 C 组: 1. + = -2ab = 25-12 = 13。 2. 原式 = = = 1。 小结: 1. = +2ab+, = -2ab+; 2. 首平方、尾平方、积的 2 倍放中间; 3. +12x+9。 课时 3 · 添括号法则与公式综合运用 【一、学习目标】 1. 掌握添括号法则: 括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号; 括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号。 2. 能对多项式适当添括号,把"不标准"的式子化成乘法公式的标准形式。 3. 能综合运用两个乘法公式解决较复杂的计算与求值问题。 【二、预习导航(课前填空)】 1. 去括号法则: a+(b+c) = ____; a-(b+c) = ____。 2. 反过来(添括号): a+b+c = a+(____); a-b-c = a-(____)。 3. 添括号法则: 括号前面是正号,括到括号里的各项都____; 括号前面是负号,括到括号里的各项都____。 4. 填空: a-b+c = a-(____)。 5. 检验添括号是否正确的方法是____。 【三、课内探究(课本 P116 例题,留白作答)】 【探究一】 课本 P116 例5 第(1)题: 计算 (x+2y-3)(x-2y+3)。提示: 把 2y-3 看作一个整体,原式 = [x+(2y-3)][x-(2y-3)]。 解: 原式 = - = -(____) = ____。 (注意: 去括号时括号前是负号,括号内各项都要变号) 【探究二】 课本 P116 例5 第(2)题: 计算 。提示: 把 a+b 看作 a、c 看作 b。 解: 原式 = = +2(a+b)c+ = ____。 图 16.3-12 添括号法则(课本 P116) 图 16.3-13 课本 P116 例5 完整解答 【四、分层训练】 【A 组(基础过关,模仿例题)】 1. 课本 P117 练习第1题: 在等号右边的括号里填上适当的项: (1) a+b-c = a+(____); (2) a-b+c = a-(____); (3) a+b-c = a-(____); (4) a+b+c = a-(____)。 2. 课本 P117 练习第2题: 运用乘法公式计算: (1) (x+y-1)(x-y-1) = ____; (2) (2x+y+z)(2x-y-z) = ____。 3. 课本 P117 练习第3题: 运用乘法公式计算: (1) = ____; (2) = ____。 【B 组(提高拓展,综合应用)】 1. 计算: (3a-2b+c)(3a-2b-c) = ____。 2. 计算: = ____。 3. 已知 x+y=4,求 (x+y-3)(x+y+3) 的值。 【C 组(挑战题,中考衔接)】 1. 计算: (x+2y-1)(x-2y+1) = ____。 2. 已知 a-b=3,求 --6b 的值。 【五、课堂小结(填空)】 1. 添括号法则: 括号前面是正号,括到括号里的各项都____; 括号前面是负号,括到括号里的各项都____。 2. 检验添括号是否正确的方法是____。 3. 添括号的作用: 把"不标准"的式子化成乘法公式的____形式,再用公式计算。 【六、参考答案(课时 3)】 预习: 1. a+b+c; a-b-c; 2. b+c; b+c; 3. 不变号、都改变符号; 4. b-c; 5. 用去括号返回原式进行检验。 探究: 探究一 原式 = - = -(-12y+9) = -+12y-9; 探究二 +++2ab+2ac+2bc。 A 组: 1. (1) b-c; (2) b-c; (3) -b+c; (4) -b-c。 2. (1) (x+y-1)(x-y-1) = - = -2x+1-; (2) - = --2yz-。 3. (1) = +4ab+-2a-4b+1; (2) = -4xy++4x-2y+1。 B 组: 1. - = -12ab+-。 2. = +2a(b-c)+ = +++2ab-2ac-2bc。 3. (x+y-3)(x+y+3) = -9 = 16-9 = 7。 C 组: 1. [x+(2y-1)][x-(2y-1)] = - = -+4y-1。 2. --6b = (a+b)(a-b)-6b = 3(a+b)-6b = 3a-3b = 3(a-b) = 9。 小结: 1. 不变号、都改变符号; 2. 去括号返回检验; 3. 标准。 三个公式对比与辨析 本节三个公式极易混淆,请对照下表仔细辨析,并在课堂小结时口述三条适用条件。 图 16.3-14 三个乘法公式对比(易混辨析) 辨析要点: ① 看左边结构——"和差相乘"用平方差公式,"同一个二项式自乘"用完全平方公式; ② 平方差公式的结果是两项,完全平方公式的结果是三项; ③ 完全平方公式的中间项符号与左边括号内的符号一致; ④ 三个公式都可以逆用,第十七章《因式分解》会专门研究公式的逆用。 课后作业 · 课本 P117-P118 习题16.3 【一、复习巩固(第 1-3 题,必做)】 第 1 题(运用平方差公式计算): (1) ( x - y)( x + y); (2) (+1)(-1); (3) (2a-3b)(3b+2a); (4) (-2b-5)(2b-5); (5) 100.5×99.5; (6) 998×1002。 第 2 题(运用完全平方公式计算): (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) 。 第 3 题(运用乘法公式计算): (1) -; (2) (x+y+1)(x+y-1); (3) ; (4) 。 【二、综合运用(第 4-7 题,选做)】 第 4 题: 先化简,再求值: -(2x+y)(2x-y),其中 x=,y=。 图 16.3-15 习题16.3 第4题 化简求值 第 5 题: 一个正方形纸片的边长增加 3 cm,它的面积就增加 39 ,这个正方形纸片的边长是多少? 第 6 题: 如图,一块直径为 (a+b) cm 的圆形钢板,从中挖去直径分别为 a cm 与 b cm 的两个圆,求剩下的钢板的面积。 图 16.3-16 习题16.3 第6题 圆形钢板面积 第 7 题: 已知 a+b=5,ab=3,求 + 的值。 【三、拓广探索(第 8 题,挑战)】 第 8 题: 计算下列式子: (x-1)(x+1), (x-1)(+x+1), (x-1)(++x+1), …。你能发现什么规律? 验证你发现的规律,并利用你发现的规律计算 +++…+2+1。 图 16.3-17 习题16.3 第8题 规律探究 【四、课后作业参考答案】 第 1 题: (1) -; (2) -1; (3) -; (4) 25-; (5) (100+0.5)(100-0.5) = 10000-0.25 = 9999.75; (6) (1000-2)(1000+2) = 1000000-4 = 999996。 第 2 题: (1) +20ab+; (2) -24xy+; (3) +4m+1; (4) -2ab+ ; (5) 3969; (6) 7225。 第 3 题: (1) -58x-24; (2) +2xy+-1; (3) -4xy+-12x+6y+9; (4) -+16。 第 4 题: 原式 = 12xy+; 当 x=,y= 时,原式 = 12×()×()+10×() = -2+ = 。 第 5 题: 设边长为 x cm,由 = +39 解得 x = 5,所以这个正方形纸片的边长是 5 cm。 第 6 题: 剩下的钢板的面积是 πab/2 。 第 7 题: + = -2ab = 25-6 = 19。 第 8 题: 规律是 (x-1)(++…+x+1) = -1; 所以 +++…+2+1 = (2-1)(++…+2+1) = -1 = 1024-1 = 1023。 学科网（北京）股份有限公司 $人教版数学八年级上册 · 第十六章 整式的乘法 · 16.3 乘法公式(教师讲义) 16.3 乘法公式 教师讲义 · 2026—2027学年 人教版数学八年级上册(2024版) · 3课时 一、教学导航 【教材分析】 16.3 乘法公式是第十六章"整式的乘法"的第三个节点,承接 16.1 幂的运算与 16.2 整式的乘法。本节把多项式乘法中两类特殊情形单独提炼成公式: 16.3.1 平方差公式 (a+b)(a-b)=-; 16.3.2 完全平方公式 =+2ab+、=-2ab+; 并在 P116 引入添括号法则,作为公式变形与应用的工具。 教材采用"探究 — 归纳 — 几何说明 — 例题 — 练习"的展开顺序: 课本 P112、P114 先用具体算式探规律,再用面积分割图给出几何解释(P112 图16.3-1、P114 图16.3-2 与图16.3-3),最后用例题示范公式的正用、逆用与简便运算。本节是第十七章《因式分解》的直接基础,也是后续整式运算与方程学习的重要工具。 【学情分析】 学生已能熟练进行多项式乘法,也掌握了幂的运算,具备"从特殊到一般"归纳公式的能力。但易错点集中: ① 平方差公式误用于"两项都互为相反数"的式子(如 (x+2y)(-x-2y)); ② 完全平方公式漏掉中间项 2ab,或把末项 的符号写错; ③ 不会识别公式中的 a、b 究竟是单项式还是多项式; ④ 添括号时括号前为负号却漏变号。 【教学目标】 ① 理解并掌握平方差公式与完全平方公式,理解它们的几何背景; ② 会用公式进行简单计算、简便运算与化简求值; ③ 掌握添括号法则,能对多项式适当变形后再用公式; ④ 经历"特殊—一般—几何验证"的探究过程,体会数形结合与化归思想,发展数学抽象与运算能力。 【重难点】 教学重点: 两个乘法公式的正用、逆用与简便运算,添括号法则。教学难点: 在"不标准形式"中识别公式结构(如 (-x+2y)(-x-2y)、(x+y+1)(x+y-1)),以及公式的逆用与整体代换。 【教学策略】 采用"探究发现 — 几何验证 — 例题示范 — 变式训练 — 纠错反思"五环节教学法。用面积分割图把公式"看"出来; 用找错活动集中暴露漏中间项、错符号两类典型错误; 用对比表辨析三个公式的适用条件。 【课时建议】 本节建议安排 3 课时,具体安排见下表。每课时 40 分钟,新授约 25 分钟,巩固与作业约 15 分钟。 课时 内容 课本页码 核心要点 第 1 课时 16.3.1 平方差公式 P112-P114 探究 → 公式 → 几何图16.3-1 → 例1、例2 第 2 课时 16.3.2 完全平方公式 P114-P116 探究 → 公式 → 几何图16.3-2/-3 → 例3、例4 第 3 课时 添括号法则与公式综合 P116-P117 添括号法则 → 例5 → 公式综合应用 【教学准备】 多媒体、直尺与彩色粉笔; 每生准备一张边长为 a 的正方形纸片与一张边长为 b 的小正方形纸片(用于剪拼验证 -=(a+b)(a-b))。 二、教学过程 【第1课时 · 16.3.1 平方差公式】 一、情境引入(4分钟) 【情境】课本 P112 探究: 计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (x+1)(x-1)=? (m+2)(m-2)=? (2x+1)(2x-1)=? 【教师活动】 请三位学生分别上板板演,其余学生在练习本上完成。完成后提问: 三个等式的左边有什么共同特征? 右边的结果又有什么共同特征? 【学生活动】 独立计算,小组交流。发现: 左边都是"两个数的和"乘"这两个数的差"; 右边都是"这两个数的平方差"。 【预设与对策】 部分学生可能只答"都是多项式乘法",说明观察停留在表面。追问"每个因式有几项? 哪一项相同、哪一项不同?"引导到"一项相同、另一项互为相反数"这一结构特征。 图 16.3-1 课本 P112 探究: 三组算式的共同规律 二、探究新知(8分钟) 【教师活动】 把规律用字母表示: (a+b)(a-b)=-。追问: 这个等式一定成立吗? 请用多项式乘法法则验证。 【学生活动】 上板板演: (a+b)(a-b)=-ab+ab-=-,发现中间两项 -ab 与 +ab 恰好抵消。 【板演】 两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。这个公式叫做(乘法的)平方差公式。 【几何说明】 出示课本 P112 图16.3-1: 从边长为 a 的正方形纸片中剪去一个边长为 b 的小正方形 (a>b),剩余部分的面积可以表示为 -; 把剩余部分剪拼成长 (a+b)、宽 (a-b) 的长方形后,面积又可表示为 (a+b)(a-b)。两次表示的是同一块面积,所以 -=(a+b)(a-b)。 图 16.3-2 课本 P112 图16.3-1 平方差公式的几何说明 图 16.3-3 平方差公式及其结构特征 【追问】 公式中的 a、b 一定是具体的数吗? 答: 也可以是单项式或多项式,只要"两项之和 × 两项之差"的结构成立即可。 【公式变形】 (b+a)(a-b)、(a-b)(a+b)、(-a+b)(a+b) 等把因式适当交换或变形后仍可用公式,关键是先"找相同项,再找相反项"。 三、典型例题(15分钟) 【课本 P112 例1】 运用平方差公式计算: (1) (3x+2)(3x-2); (2) (-x+2y)(-x-2y)。 图 16.3-4 课本 P112 例1 完整解答 【板演示范】 第(1)题把 3x 看作 a、2 看作 b: -=-4。第(2)题把 -x 看作 a、2y 看作 b: -=-。强调: 当"相同项"带负号时,必须把整个 -x 用括号括起来再平方。 【学生活动】 独立完成下面两题: (3x-5)(3x+5)=-25; (-2a-b)(b-2a)=-。 【课本 P113 例2】 计算: (1) (x-1)(x+1)(+1); (2) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); (3) 102×98。 图 16.3-5 课本 P113 例2 完整解答 【教师讲解】 第(1)题连续两次用公式: 先 (x-1)(x+1)=-1,再 (-1)(+1)=-1。第(2)题前一积用平方差公式,后一积不符合公式条件,须按多项式乘法展开再合并: (-4)-(+4y-5)=-4y+1。第(3)题把 102、98 分别写成 100+2 与 100-2,得 -=9996。 【预设与对策】 第(2)题学生常把 (y-1)(y+5) 也套平方差公式,务必强调"只有符合公式条件的乘法才能用公式,其余的仍按乘法法则运算"。 四、巩固与找错(10分钟) 【课本 P113-P114 练习】 第1题判断改错、第2题运用平方差公式计算、第3题简便计算。 图 16.3-6 课本 P113-P114 练习解答 【找错活动】 教师在黑板上写出三个错例,让学生先独立判断,再请学生上板纠错: 错例 1: (-a-2)(a-2)=-4。(误把两项都当作"相同项"; 正解: 原式=-(a+2)(a-2)=-(-4)=4-) 错例 2: (x+2y)(-x-2y)=-。(两因式的两项都互为相反数,不符合平方差公式条件; 正解: 原式=-=--4xy-) 错例 3: (3a+4b)(3a-4b)=-。(末项漏平方 4b,正解: -) 【学生活动】 完成课本 P113-P114 练习,同桌互改。 【作业布置】 课本 P113-P114 练习第 1-3 题; 预习 P114-P115 完全平方公式,尝试把 (a+b)(a+b) 用乘法法则展开。 【第2课时 · 16.3.2 完全平方公式】 一、复习引入(3分钟) 【复习】平方差公式的字母表达式是什么? 它的结构特征是什么? 请两位学生回答并板演 (a+b)(a-b)=-。 【提问】 如果把 (a+b) 与它自身相乘,即 (a+b)(a+b)=,还能用平方差公式吗? 为什么? 由此引入新课。 二、探究新知(8分钟) 【情境】 课本 P114 探究: 计算下列多项式的积,你能发现什么规律? =? =? =? =? 【学生活动】 独立计算并小组交流。发现: 结果都是三项,其中两项是两个数的平方,另一项是这两个数积的 2 倍。 图 16.3-7 课本 P114 探究: 四组算式的共同规律 【板演】 用多项式乘法法则推导: =(a+b)(a+b)=+ab+ab+=+2ab+; =(a-b)(a-b)=-ab-ab+=-2ab+。 【公式】 两个数的和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的 2 倍。这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式。 【几何说明】 出示课本 P114 图16.3-2: 边长为 (a+b) 的正方形被分成四块,面积分别是 、ab、ab、,所以 =+2ab+。图16.3-3 则把边长为 a 的正方形分成四块: 边长为 (a-b) 的正方形一块、b×(a-b) 的长方形两块、边长为 b 的正方形一块,由 +b(a-b)+b(a-b)+= 整理得 =-2ab+。 图 16.3-8 课本 P114 图16.3-2 与图16.3-3 完全平方公式的几何说明 图 16.3-9 完全平方公式及其结构特征 【口诀】 首平方,尾平方,积的 2 倍放中间。提醒: 首末两项都是平方,因此都为正号; 中间项的符号与左边括号内的符号一致。 三、典型例题(15分钟) 【课本 P115 例3】 运用完全平方公式计算: (1) ; (2) 。 图 16.3-10 课本 P115 例3 完整解答 【板演】 第(1)题把 4m 看作 a、n 看作 b: +2×(4m)×n+=+8mn+。第(2)题把 y 看作 a、 看作 b: -2×y×()+=-y+。提醒: 系数与字母都要平方,"2 倍"不能丢。 【学生活动】 独立完成课本 P115 练习第 2 题的前两小题。 【课本 P115 例4】 运用完全平方公式计算: (1) ; (2) 。 图 16.3-11 课本 P115 例4 简便计算 【教师讲解】 第(1)题 ==+2×100×2+=10404。第(2)题 ==-2×100×1+=9801。 【方法总结】 把接近整十、整百的数拆成"整百数 ± 较小数",再用完全平方公式口算,比直接乘更简便。 四、思考与巩固(10分钟) 【课本 P115 思考】 ① 与 相等吗? ② 与 相等吗? ③ 与 - 相等吗? 图 16.3-12 课本 P115 思考 三个问题的辨析 【教师点拨】 前两问体现"互为相反数的两个数的平方相等"; 第三问说明完全平方与平方差是两个不同的公式,不能混淆。 【课本 P115-P116 练习】 第1题判断改错、第2题运用完全平方公式计算、第3题简便计算。 图 16.3-13 课本 P115-P116 练习解答 【找错活动】 给出三个典型错误,请学生指出错因并改正: 错例 1: =+。(漏掉中间项,正解: +2ab+) 错例 2: =-2ab-。(末项符号写错,两项的平方都应为正; 正解: -2ab+) 错例 3: =+2xy+。(中间项漏乘 2,应为 2×2x×y=4xy; 正解: +4xy+) 【阅读与思考·杨辉三角】 课本本节的"阅读与思考"介绍了一幅古老的数表——杨辉三角。它的两条腰上都是 1,其余每个数都等于它"两肩"上两个数的和;从上往下看: 第 1 行是 1、1,正是 (a+b) 展开式的系数;第 2 行是 1、2、1,正是 =+2ab+ 各项的系数;第 3 行是 1、3、3、1,是 展开式各项的系数……我国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中记载了这幅数表,比欧洲同类数表早三百多年。借它可以直接写出 展开式的系数,体会"从特殊到一般"的规律之美。 【作业布置】 课本 P115-P116 练习第 1-3 题; 预习 P116 添括号法则,思考 a+b-c 怎样添括号。 【第3课时 · 添括号法则与公式综合运用】 一、复习引入(3分钟) 【复习】去括号法则: a+(b+c)=a+b+c; a-(b+c)=a-b-c。请学生口答并说明符号的变化规律。 【反问】 把上面两个等式的左右两边交换位置,能得到什么? a+b+c=a+(b+c); a-b-c=a-(b+c)。这就是今天要学的"添括号"。 二、探究新知(7分钟) 【教师活动】 引导学生对比添括号前后括号内各项符号的变化。 【学生活动】 观察发现: 括号前面是"+"号时,括到括号里的各项都不变号; 括号前面是"-"号时,括到括号里的各项都改变符号。 【板演】 添括号法则: 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不改变符号; 如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号。 【口诀与检验】 正号不变,负号全变; 添括号后可用"去括号返回"来检验是否变形正确。 图 16.3-14 添括号法则(课本 P116) 三、典型例题(15分钟) 【课本 P116 例5】 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3); (2) 。 图 16.3-15 课本 P116 例5 完整解答 【板演】 第(1)题把 2y-3 看作一个整体: 原式=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]=-=-(-12y+9)=-+12y-9。注意去括号时括号前是负号,各项都要变号。 【板演】 第(2)题把 a+b 看作 a、c 看作 b: 原式==+2(a+b)c+,展开合并得 +++2ab+2ac+2bc。 【追问】 例5 的关键是什么? 答: 先添括号,把"不标准"的式子化成公式的标准形式,再用乘法公式。 四、巩固与反思(10分钟) 【课本 P117 练习】 第1题(在等号右边的括号里填上适当的项): (1) a+b-c=a+( ); (2) a-b+c=a-( ); (3) a+b-c=a-( ); (4) a+b+c=a-( )。第2题、第3题运用乘法公式计算。 图 16.3-16 课本 P117 练习解答 【找错活动】 给出两个错例,请学生指出错因并改正: 错例 1: a-b+c=a-(b+c)。(括号前是负号,括号内各项都要变号; 正解: a-b+c=a-(b-c)) 错例 2: =++。(漏掉三个 2 倍项; 正解: 还应加上 2ab+2ac+2bc) 【学生活动】 完成课本 P117 练习,组长收齐批改。 【作业布置】 课本 P117-P118 习题16.3 第 1-8 题(详见第六部分作业布置)。 三、三个公式对比与辨析 本节三个公式极易混淆,特设下表作总结,供课堂小结与学生复习使用。 图 16.3-17 三个乘法公式对比(易混辨析) 辨析要点: ① 看左边结构——"和差相乘"用平方差公式,"同一个二项式自乘"用完全平方公式; ② 平方差公式的结果是两项,完全平方公式的结果是三项; ③ 完全平方公式的中间项符号与左边括号内的符号一致; ④ 三个公式都可以逆用,第十七章《因式分解》会专门研究公式的逆用。 四、课堂小结 【学生说】(小组代表发言,教师适当补充) ① 平方差公式: (a+b)(a-b)=-,条件是"一项相同、另一项互为相反数"。 ② 完全平方公式: =+2ab+、=-2ab+,口诀"首平方、尾平方、积的 2 倍放中间"。 ③ 添括号法则: 括号前是正号,各项都不变号; 括号前是负号,各项都改变符号。 ④ 公式中的 a、b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项式。 【教师补】 本节的核心思想是"从特殊到一般"的归纳与"化归"——把不标准的式子用添括号变形为标准形式,再用公式计算。面积分割图告诉我们: 公式不是"规定",而是可以被"看"出来的。 五、板书设计 【主板书(随课时推进书写顺序)】 课时 1: 16.3.1 平方差公式 (1) 探究: (x+1)(x-1)=-1, (m+2)(m-2)=-4, (2x+1)(2x-1)=-1 (2) 公式: (a+b)(a-b)=- (3) 几何: 图16.3-1 正方形剪拼 → -=(a+b)(a-b) (4) 例1: (3x+2)(3x-2)=-4; (-x+2y)(-x-2y)=- 课时 2: 16.3.2 完全平方公式 (1) 探究: , , , (2) 公式: =+2ab+; =-2ab+ (3) 几何: 图16.3-2 与 图16.3-3 (4) 例3、例4(简便计算 、) 课时 3: 添括号法则与公式综合 (1) a+b+c=a+(b+c); a-b-c=a-(b+c) (2) 正号不变, 负号全变 (3) 例5: (x+2y-3)(x-2y+3)=-+12y-9 【副板书(学生板演 / 错例纠正 / 公式对照)】 错例栏: 错例 1: (x+2y)(-x-2y)=- → 应为 -=--4xy- 错例 2: =+ → 应为 +2ab+(漏中间项) 错例 3: a-b+c=a-(b+c) → 应为 a-(b-c)(负号全变) 读法与对照栏: (a+b)(a-b) 读作"a 与 b 的和乘 a 与 b 的差"; 读作"a 与 b 的和的平方" 平方差公式结果 2 项(中间项抵消); 完全平方公式结果 3 项(中间项保留为 2ab) 六、作业布置(真实还原《习题16.3》P117-P118, 2024版) 【基础层(必做,所有学生)】 1. 课本 P113-P114 练习第 1-3 题(对应 16.3.1 平方差公式); 2. 课本 P115-P116 练习第 1-3 题(对应 16.3.2 完全平方公式); 3. 课本 P117 练习第 1-3 题(对应添括号法则)。 【巩固层(必做,中等及以上学生) — 课本 P117 习题16.3 复习巩固 第 1-3 题】 第 1 题(运用平方差公式计算): (1) ( x - y)( x + y); (2) (+1)(-1); (3) (2a-3b)(3b+2a); (4) (-2b-5)(2b-5); (5) 100.5×99.5; (6) 998×1002。 第 2 题(运用完全平方公式计算): (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) 。 第 3 题(运用乘法公式计算): (1) -; (2) (x+y+1)(x+y-1); (3) ; (4) 。 【综合层(选做,学有余力学生) — 课本 P117 习题16.3 综合运用 第 4-7 题】 第 4 题: 先化简,再求值: -(2x+y)(2x-y),其中 x=,y=。 图 16.3-18 习题16.3 第4题 化简求值 第 5 题: 一个正方形纸片的边长增加 3 cm,它的面积就增加 39 ,这个正方形纸片的边长是多少? 第 6 题: 如图,一块直径为 (a+b) cm 的圆形钢板,从中挖去直径分别为 a cm 与 b cm 的两个圆,求剩下的钢板的面积。 图 16.3-19 习题16.3 第6题 圆形钢板面积 第 7 题: 已知 a+b=5,ab=3,求 + 的值。 【拓广层(挑战,尖子生) — 课本 P118 习题16.3 拓广探索 第 8 题】 第 8 题: 计算下列式子: (x-1)(x+1), (x-1)(+x+1), (x-1)(++x+1), ...。你能发现什么规律? 验证你发现的规律,并利用你发现的规律,计算 +++...+2+1。 图 16.3-20 习题16.3 第8题 规律探究 七、教学反思 本节教学的亮点是用面积分割图把两个公式"看"出来——课本 P112 图16.3-1 与 P114 图16.3-2/-3 把抽象的代数恒等式变成可数的面积,学生对"为什么是 2ab"的印象比单纯记忆口诀深刻得多。 预设改进点: ① 课时1 的找错活动中,"两项都互为相反数"的错例最易被忽略,可单独用一题强化,让学生对比 (a-b)(a+b) 与 (a+b)(-a-b) 的区别; ② 课时2 学生最易漏中间项,建议要求学生在展开后自查"项数是否为 3""首末两项是否都为正""中间项是否恰为 2 倍"; ③ 课时3 的添括号,建议让学生养成"添后去括号返回"的检验习惯; 若学生基础薄弱,可先用 a-b+c=a-( ) 这类填括号小题热身,再做例5; ④ 三个公式的辨析宜放在三课时结束后的复习课,用对比表集中梳理,避免初学阶段信息过载。 第十七章《因式分解》会把本节公式反过来用: 17.1 用提公因式法分解因式,17.2 用公式法分解因式。本节务必把公式的结构与符号规则打牢,为后续分解因式做好准备。 八、参考答案(巩固训练) 【课时 1(16.3.1) 课本 P112-P114 例题与练习】 例 1: (1) -4; (2) -。 例 2: (1) -1; (2) -4y+1; (3) 9996。 练习第 1 题: (1) 错,应为 -4; (2) 错,应为 4-; (3) 错,两因式的两项都互为相反数,原式=-=--4xy-; (4) 错,应为 -。 练习第 2 题: (1) -; (2) -9; (3) -1; (4) -5x-10。 练习第 3 题: (1) 2499; (2) (200+)(200)=40000=39999 。 【课时 2(16.3.2) 课本 P115-P116 例题与练习】 例 3: (1) +8mn+; (2) -y+。 例 4: (1) 10404; (2) 9801。 思考: ① 相等,因为 ==; ② 相等,因为 ==; ③ 一般不相等(如 a=3,b=1 时分别是 4 与 8)。 练习第 1 题: (1) 错,应为 +2ab+; (2) 错,应为 -2ab+。 练习第 2 题: (1) +12x+36; (2) -10y+25; (3) -20x+25; (4) - xy + 。 练习第 3 题: (1) 9604; (2) 4970.25。 【课时 3(添括号) 课本 P116-P117 例题与练习】 例 5: (1) -+12y-9; (2) +++2ab+2ac+2bc。 练习第 1 题: (1) b-c; (2) b-c; (3) -b+c; (4) -b-c。 练习第 2 题: (1) (x+y-1)(x-y-1)=-2x+1-; (2) (2x+y+z)(2x-y-z)=--2yz-。 练习第 3 题: (1) +4ab+-2a-4b+1; (2) -4xy++4x-2y+1。 【《习题16.3》(课本 P117-P118) 参考答案】 第 1 题: (1) -; (2) -1; (3) -; (4) 25-; (5) 9999.75; (6) 999996。 第 2 题: (1) +20ab+; (2) -24xy+; (3) +4m+1; (4) -2ab+ ; (5) 3969; (6) 7225。 第 3 题: (1) -58x-24; (2) +2xy+-1; (3) -4xy+-12x+6y+9; (4) -+16。 第 4 题: 原式=12xy+; 当 x=,y= 时,原式=12×()×()+10×()=-2+=。 第 5 题: 设边长为 x cm,由 =+39 解得 x=5,所以这个正方形纸片的边长是 5 cm。 第 6 题: 剩下的钢板的面积是 πab/2 。 第 7 题: +=-2ab=25-6=19。 第 8 题: 规律是 (x-1)(++...+x+1)=-1; 所以 +++...+2+1=(2-1)(++...+2+1)=-1=1024-1=1023。 【A 组基础(原创, 与讲义同步)】 1. 计算: (1) (2x+3)(2x-3)=-9; (2) (5a-b)(5a+b)=-; (3) =+12mn+; (4) =-20ab+。 2. 简便计算: (1) 21×19=(20+1)(20-1)=400-1=399; (2) ==2500-100+1=2401。 【B 组提高】 1. 计算: (x+2y-1)(x-2y+1)。原式=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]=-=-+4y-1。 2. 先化简,再求值: -,其中 a=3,b=-1。原式=[(a+b)+(a-b)][(a+b)-(a-b)]=(2a)(2b)=4ab; 当 a=3,b=-1 时,原式=4×3×(-1)=-12。 3. 已知 a+b=7,ab=10,求 + 与 的值。+=-2ab=49-20=29; =+-2ab=29-20=9。 【C 组拓展】 1. 计算: (3a-2b+c)(3a-2b-c)。原式=-=-12ab+-。 2. 已知 =25,=9,求 + 与 xy 的值。+=[+]/2=(25+9)/2=17; xy=[-]/4=(25-9)/4=4。 3. 计算: (2+1)(+1)(+1)(+1)。在原式前乘 (2-1) 再除,即原式=(2-1)(2+1)(+1)(+1)(+1)=-1=65535。 学科网（北京）股份有限公司 $