2.2.1 有理数的乘法 知识清单 2026-2027 学年人教版七年级数学上册

2.2.1 有理数的乘法　知识清单2026-2027 学年七年级数学上册人教版 （复习提纲 · 中考基础考法覆盖版） 一、复习目标与重难点 维度 内容 知识目标 1. 理解并掌握有理数乘法法则，会进行有理数的乘法运算；2. 掌握乘法的交换律、结合律、分配律，会进行多个有理数相乘并确定积的符号；3. 理解倒数的概念。 能力目标 能按"先定符号、再算绝对值"的步骤准确计算；能灵活运用运算律简化计算。 重点 有理数乘法法则及其运算步骤；乘法运算律的运用。 难点 "负负得正"的理解；多个有理数相乘时积的符号判定（奇负偶正）；分配律的灵活运用与逆用。 考查形式 选择题、填空题、计算题为主（约 4~8 分），常与乘方、四则混合运算综合命题。 二、法则的形成：从正数乘法到"负负得正" 小学里学过的乘法，因数都是正数或 0，如 3 × 2 = 6。现在因数可以是负数，乘积的正负就要重新研究。 先观察一组算式，看积的变化规律： 从上往下看：第一个因数始终是 −3，第二个因数依次减少 1（3→2→1→0），积依次增加 3（−9→−6→−3→0）。 按这个规律往下推，(−3) × (−1) 应该等于 3，(−3) × (−2) 等于 6……于是发现： 负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于两个因数绝对值的积。这就是"负负得正"的由来。 还可以用数轴来体会： 三、有理数的乘法法则（核心） 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数与 0 相乘，都得 0。 用字母表示（设 a、b 都是正数，c 是任意有理数）： 把法则再概括成一句话：两个有理数相乘，积的符号由两个因数的符号决定，积的绝对值由两个因数的绝对值决定。 1. 与 0 相乘 算式 结果 说明 5 × 0 0 任何数与 0 相乘都得 0 (−7) × 0 0 负数与 0 相乘也得 0 0 × 0 0 0 与 0 相乘仍是 0 0 × (−3.6) × 12 0 只要有一个因数是 0，积就是 0 2. 互为倒数 由乘法可以认识一个新概念： 倒数：乘积是 1 的两个有理数，叫做互为倒数。 例如 2 与 互为倒数， −3 与 − 互为倒数。 要点 说明 定义 若 a·b = 1，则 a 与 b 互为倒数 求法 一个非零数 a 的倒数就是 1 ÷ a；求分数（带分数先化成假分数）的倒数，只要把分子分母交换位置 等于本身的数 倒数是它本身的数只有 1 和 −1（因为 1×1 = 1，(−1)×(−1) = 1） 特别注意 0 没有倒数（找不到一个数与 0 相乘得 1）；负数也有倒数，如 −2 的倒数是 − 与相反数的区别 互为相反数：和为 0（如 2 与 −2）；互为倒数：积为 1（如 2 与 ） 四、有理数乘法的运算步骤 有理数相乘，和加法一样，也遵循"先定符号，再算绝对值"的原则： 步骤 做法 示例：(−4) × (+6) 第一步：定符号 看两个因数是同号还是异号：同号得正，异号得负 异号 → 积为负 第二步：算绝对值 把两个因数的绝对值相乘 |−4| × |+6| = 4 × 6 = 24 第三步：写出结果 符号 + 绝对值 (−4) × (+6) = −24 记忆口诀："同号得正，异号得负，绝对值相乘不放过； 只要一个因数是 0，结果马上就为零。" 不带分数提示：遇到带分数相乘，先把带分数化成假分数再相乘，便于约分。例如 2 × 4 = × 4 = 10。 五、有理数的乘法运算律 小学学过的三条乘法运算律，对于有理数仍然成立： 运算律 字母表示 文字表述 用法 乘法交换律 a b = b a 交换因数的位置，积不变 把能约分、能凑整的因数换到一起 乘法结合律 (a b) c = a (b c) 改变相乘的顺序，积不变 把相乘得整数的因数先结合 乘法分配律 a (b + c) = a b + a c 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 形如 a×(b+c) 时拆开算，或把相同因数提出来 用具体数验证一下这几条运算律： 运算律 左边算式 右边算式 结果是否相同 交换律 5 × (−6) = −30 (−6) × 5 = −30 相同 结合律 [3 × (−4)] × (−5) = 60 3 × [(−4) × (−5)] = 60 相同 分配律 5 × [3 + (−7)] = −20 5 × 3 + 5 × (−7) = −20 相同 运用运算律的核心："凑整"和"约分"——把相乘能得到整数、能约分、能凑成整十整百的数先结合起来，计算就快又准。 分配律还有一个常用方向——逆用：当几个积里含有一个相同的因数时，可以把这个因数提出来，即 a b + a c = a (b + c)。 逆用示例：(−) × (−) + (−) × (+) = (−) × [(−) + (+)]　（提出公因数 −） = (−) × 5 = −6。 六、多个有理数相乘 三个及三个以上的有理数相乘，关键在先定符号： 积的符号法则：几个不等于 0 的有理数相乘， 负因数的个数是奇数时，积为负；负因数的个数是偶数时，积为正。 （简记为"奇负偶正"；只要有一个因数是 0，积就是 0。） 做多个有理数相乘的题目，按下面的顺序处理： 步骤 具体做法 ① 数负因数 先数清楚式子里一共有几个负因数（每个因数只数一次它的符号） ② 定积的符号 负因数个数为奇数 → 负；为偶数 → 正 ③ 算绝对值 把各因数的绝对值相乘，得到积的绝对值 ④ 拼出结果 符号与绝对值相拼，写出最终答案 ⑤ 能简算就简算 结合律把乘得整数的因数先结合，分配律把相同因数提出 常见结论：几个有理数相乘，如果其中有一个因数是 0，那么积就是 0，不必再数符号。 七、分层例题精讲 【第一层：直接用法则计算】 例 1　计算： （1）(−3) × 9；　（2）(−5) × 0；　（3）(−4) × (−6)；　（4）(−1.2) × 5。 解：（1）(−3) × 9 = −(3 × 9) = −27；（异号得负） 　　（2）(−5) × 0 = 0；（与 0 相乘得 0） 　　（3）(−4) × (−6) = +(4 × 6) = 24；（同号得正） 　　（4）(−1.2) × 5 = −(1.2 × 5) = −6。（异号得负） 点评：两数相乘先看符号，再算绝对值；见到 0 直接写 0。 例 2　计算：(−) × 。 解：原式 = −( × )（异号得负） 　　　 = −。（先约分再相乘：4 与 8 约得 2，3 与 9 约得 3） 点评：分数相乘要先约分，能约分的先约，结果更简洁，也不易出错。 【第二层：多个有理数相乘】 例 3　计算：(−85) × (−25) × (−4)。 解：原式 = −(85 × 25 × 4)（三个负因数，奇数个，积为负） 　　　 = −85 × (25 × 4) = −85 × 100 = −8500。（结合律：25 × 4 凑整） 点评：先数负因数定符号，再用结合律把"凑整"的因数结合起来。 例 4　计算：(−2) × (−3) × (−4) × (−5)。 解：原式 = +(2 × 3 × 4 × 5)（四个负因数，偶数个，积为正） 　　　 = (2 × 5) × (3 × 4) = 10 × 12 = 120。 点评：负因数个数决定符号，凑整决定计算速度，两者缺一不可。 例 5　计算：3 × (−5) × 0 × (−7) × 2。 解：原式 = 0。（有一个因数是 0，积必为 0，不必算） 点评：看到 0 就要立刻停下——不要再数负因数、不要再乘绝对值。 【第三层：运用运算律简算】 例 6　用简便方法计算：(− + ) × (−24)。 解：原式 = (−) × (−24) + × (−24)（分配律） 　　　 = 4 + (−18) = −14。 点评：括号里是两个分数相加、括号外是 −24，拆开相乘正好能约分，这就是分配律的价值。 例 7　用简便方法计算：(−) × (−) + (−) × (+)。 解：原式 = (−) × [(−) + (+)]（逆用分配律，提出 −） 　　　 = (−) × 5 = −。 点评：式子里每项都含相同的因数 −，把它提出来后括号内正好凑成 5，比直接算快得多。 例 8　计算：(−) × (−24) + (−) × (−24) + × (−24)。 解：原式 = [(−) + (−) + )] × (−24)（逆用分配律） 　　　 = (− − + ) × (−24) = (−) × (−24) = 27。 点评：三项都含因数 −24，提出后括号内通分相加，一次约分即得结果。 【第四层：判断与说理】 例 9　下列说法正确的是（　　） A. 两个负数相乘，积为负数 B. 几个有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定 C. 若 a b > 0，则 a、b 都是正数 D. 若 a b = 0，则 a、b 中至少有一个为 0 思路：A 错，两个负数相乘（同号）积为正；B 错，只有"几个不等于 0 的有理数相乘"才由负因数个数定符号，含 0 时积为 0；C 错，a b > 0 说明 a、b 同号，可能都是负数；D 对，乘积为 0 必有因数 0。 答案：D。 例 10　已知 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，求 a b + c + d 的值。 解：因为 a、b 互为倒数，所以 a b = 1； 　　因为 c、d 互为相反数，所以 c + d = 0； 　　所以 a b + c + d = 1 + 0 = 1。 点评："倒数之积为 1、相反数之和为 0"是本课时最常考的两条结论，见到就要条件反射地替换。 八、方法总结与知识结构 内容 要点 乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘都得 0 运算步骤 先定符号（同号正、异号负）→ 再算绝对值（两数绝对值相乘） 倒数 乘积为 1 的两个数互为倒数；0 没有倒数；倒数等于本身的数只有 1 和 −1 交换律 a b = b a（交换因数位置，积不变） 结合律 (a b) c = a (b c)（改变相乘顺序，积不变） 分配律 a (b + c) = a b + a c，也可逆用为 a b + a c = a (b + c) 多个数相乘 负因数奇数个 → 积为负；偶数个 → 积为正；有 0 则积为 0 简算技巧 凑整、约分、互为倒数的因数先结合；相同因数提出（逆用分配律） 三句口诀：① 同号得正异号负，绝对值相乘记牢固；　② 多个相乘先数负，奇负偶正定号数； ③ 运算律里找凑整，相同因数提出来。 易错清单（考前必看）： ① 符号判断错——把 (−4) × (−6) 算成 −24，两个负数相乘应为 24（同号得正）； ② 漏看 0 因数——式子 3 × (−5) × 0 还要去数负因数、乘绝对值，其实积直接为 0； ③ 带分数不化假分数——2 × 4 直接算成 8，应先化成 再乘得 10； ④ 多个数相乘只算一半负号——(−2)×(−3)×(−4) 有三个负因数，积应为负 24，不要算成 24； ⑤ 分配律用错方向——a (b + c) 拆成 a b + c，漏乘第二项；或逆用时丢掉负因数前面的符号； ⑥ 混淆倒数与相反数——2 的倒数是 （积为 1），相反数是 −2（和为 0），两者不要混。 学科网（北京）股份有限公司 $