2026年新课标二卷18题的启示：点的轨迹的求法总结专项训练-2027届高三数学一轮复习

2026年新课标二卷18题的启示: 点的轨迹的求法总结 原题分享： 题目．已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 【解】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ， 那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得 ，即 ， 所以 ，由于截线段长为 ，解得 ， 故 ，离心率 . （2）(i)  方法一： 由（1）知椭圆方程为 ，由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ，那么当时，点，点与点重合； 当时，直线 方程为：，直线方程为： ， 即 ，联立，解得，即点， 设，则由， 代入椭圆方程得，即， 两边乘以得，整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二：由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点，由于轴，则， 由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以，， 把代入椭圆方程： ，得，即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为； (ii)由（i）得轨迹的方程为， 当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无对称中心；当 即 且0时， 化简轨迹的方程为， 将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为，即， 所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 综上，当时，轨迹无对称中心； 当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 试题感悟： 这道题核心特点：不再是传统联立韦达、定点定值套路，回归解析几何本源——求动点轨迹（相关点法），并且含参数分类讨论，同一个方程随参数不同，分别是椭圆、抛物线、双曲线，属于典型反套路考题。 1. 解析几何教学：回归学科本源，不能只刷“高频题型” 过去一轮复习很多老师把重心放在：定点、定值、面积、弦长、离心率，弱化轨迹方程，甚至认为轨迹是旧考法、不再考查。 这道题提醒：解析几何的根本就是“用坐标研究动点的轨迹”，相关点法（代入法）、参数法、直译法这些求轨迹的基础方法，是解析几何的底层工具，不能删减、压缩。 教学要讲清楚：解析几何的逻辑——动点满足几何条件→翻译成坐标等式→化简得到曲线方程，这个思维链条必须完整。 2. 破除题型套路化教学，重视一般二次曲线的理解 以往教学局限于：椭圆、双曲线、抛物线单独分开，学生习惯“看到方程直接认出是哪一类”。 本题：化简得到含参二元二次方程，根据参数分类，曲线类型发生切换，考查二次项系数对曲线类型的影响，还要配方平移，识别对称中心。 启示：复习不能只局限标准方程，要让学生理解一般二次方程的几何含义，会配方、平移化简，理解二次曲线的统一性，不是孤立记忆三种曲线。 3. 强化“相关点法（代入法）”这个核心轨迹方法 本题的核心方法就是相关点法：主动点A在已知椭圆上，从动点P是两条直线交点，建立P与A坐标关系，把A坐标用P表示，代入已知曲线，消参得到P的轨迹。 很多学生只会直译法，相关点法训练不足。 教学要系统梳理轨迹三方法：直译法、相关点法、参数法，设置专题训练，区分什么时候用哪一种。 4. 重视分类讨论、开放探究思维，不止是算 第二问不是求固定曲线，而是参数变化，曲线类型改变，属于探索性问题，需要学生自主分类、论证，不是固定答案。 启示：圆锥曲线教学，增加含参二次曲线分类探究，培养学生“先定性、再定量”，先判断曲线类型，再做代数运算，避免只会硬算。 5. 运算能力：重视代数化简、配方、消参，不能依赖二级结论 本题难点不在于复杂韦达，而在于消参、整理二次方程、配方平移。很多学生能写出坐标关系，但化简、配方出错。 教学：强化消参、配方、整式整理的基础代数训练，纠正“只背二级结论，不愿老老实实化简”的习惯。高考命题导向：少套路、重基础原理，只背结论行不通。 6. 一轮复习的内容取舍：不能凭往年真题主观删减考点 很多老师凭近几年考题，主观判断“轨迹不考”，直接略过轨迹专题。 启示：备考不能靠“押题型”，新课标高考是知识全覆盖，轮换考查。不能主观删减主干方法，所有教材核心方法都要系统复习，不能只盯着最近几年考过的题型。 点的轨迹求法总结： 一、直接法求动点的轨迹方程 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法． 直接法求动点轨迹方程的一般步骤为： 第一步，根据已知条件及一些基本公式（两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等．） 第二步，根据公式直接列出动点满足的等量关系式，从而得到轨迹方程． 1．在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于，求动点P的轨迹方程. 【分析】求得点坐标，设出点坐标，根据直线与的斜率之积等于列方程，化简后求得动点P的轨迹方程. 【详解】点B与点关于原点O对称，所以.设点P的坐标为. 由题意得，化简得， 故动点P的轨迹方程为. 【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查点关于原点对称点的求法，属于基础题. 2．在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，求点的轨迹方程. 【分析】设，由，得，再由，得到，即可求解点的轨迹方程. 【详解】设， 则，……① ，…② 由①②可知，点的轨迹方程为. 3．已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍． 求动点M的轨迹C的方程； 【详解】（Ⅰ）直接由题目给出的条件列式化简即可得到动点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）经分析当直线m的斜率不存在时，不满足A是PB的中点，然后设出直线m的斜截式方程，和椭圆方程联立后整理，利用根与系数关系写出，，结合得到关于k的方程，则直线m的斜率可求 试题解析：如图，设点到直线的距离为， 根据题意，，由此化简得： 所以动点的轨迹的方程为 二 定义法求动点的轨迹方程 在解析几何教学中，求动点的轨迹方程历来是教学重要专题之一，而曲线的定义反映了曲线的本质属性，它是相应标准方程和几何性质的“源”，也是解题的重要工具，如果能在求动点的轨迹方程中充分利用曲线的定义，常常会达到言简意明、异曲同工的效果．下面就其应用作一些举例介绍． 1、求轨迹方程——定义法 若某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆、圆锥曲线的定义，则可以利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义等直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件． 2、常见情形： 到线段两端点相等的点的轨迹是该线段的垂直平分线． 到角的两边相等的点的轨迹是该角的平分线及外角平分线． 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，定点为圆心，定长为圆的半径． 平面内一个动点到两个定点的距离之和等于常数（为常数）的动点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆． 平面内一个动点到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（为常数）的动点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线． 平面内与一定点和一条定直线（不经过点）距离之比对于常数的动点的轨迹是圆锥曲线．当时为椭圆；当时为双曲线；当时为抛物线．其中，定点叫做圆锥曲线的焦点，定直线叫做圆锥曲线的准线． 4．一条定长为的线段，点在轴上，点在轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程． 【分析】设的中点坐标为，当、均不与原点重合时，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得中点轨迹，验证、有一点与原点重合时成立得答案． 【解】当时，，即的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，方程是（且）． 当点为原点时，或，当点在原点时，或， 点的轨迹方程是． 5．已知圆：，：，动圆C与圆，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为________________； 【分析】根据动圆与圆，的位置关系，分情况讨论可知动圆C的圆心轨迹为椭圆，然后计算即可，然后假设直线方程，根据直线于曲线E的位置关系以及弦长公式，可得结果. 【详解】设动圆的半径为由题可知：当动圆C与圆外切，与圆内切时 则，所以可知动圆圆心轨迹为椭圆 所以，故 所以动圆C的圆心轨迹E的方程为，当动圆C与圆内切，与圆内切时 则，所以可知动圆圆心轨迹为椭圆 所以，故 所以动圆C的圆心轨迹E的方程为 所以动圆C的圆心轨迹E的方程为， 6．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明为定值，并写出点E的轨迹方程； 解析：（Ⅰ）因为，，故， 所以，故. 又圆的标准方程为，从而，所以. 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为： （）. 三 待定系数法求动点的轨迹方程 1、待定系数法 圆、椭圆、双曲线、抛物线等是同学们必须要掌握的知识内容，因此，合理地运用待定系数法，有助于我们解答曲线方程问题．比如，在椭圆标准方程中应用待定系数法求解时，我们要充分研究定位、定量问题，明确坐标系中椭圆的位置，并以中心为原点确定焦点所在处，从而确定方程形式；定量含义为明确焦点准确位置． 2、待定系数法解题步骤 用待定系数法解题的基本步骤： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决． 3、待定系数法解题应用举例 求圆锥曲线的方程分为两类：一类是与曲线的标准方程相关的问题，另一类是求点的轨迹方程．当给出了曲线的形状（或借助条件判断出曲线的形状）时，一般采取“定位、定量”的待定系数法求解．另外，可以巧用一些结论，如：已知双曲线的渐进线方程为，则可设双曲线的方程为． 下面给出解析几何中常用的设法： （1）直线：． （2）圆：，． （3）椭圆：标准方程：（或，视焦点所在轴来决定）； 椭圆方程通式：． ①方程与有相同的离心率． ②与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． （4）双曲线： ①标准方程：（或，视焦点所在轴决定） 双曲线方程通式：． ②相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线渐近线相同的双曲线系方程为：． ⑤ 抛物线： 标准方程：； 抛物线方程通式：． 7．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程. 【解析】设所求双曲线方程为，根据题中条件，求出，，求解即可得出结果. 【详解】设双曲线方程为， 由题意易求得，又双曲线过点， 所以；因为，所以，. 故所求双曲线的方程为. 8．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，，是C的两条切线，A，B是切点．当轴时，．求抛物线C的方程； 【分析】（1）当轴时可求得坐标，进而根据求解即可； （1）由题意，，当轴时，将代入有，解得，又故，解得.故抛物线C的方程为. 9．求与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程. 【分析】设出所求双曲线的方程，待定系数即可求得结果. 【解】设所求双曲线方程为：， 因为其过点，故可得：， 整理得，即， 解得（舍）或，故所求双曲线方程为：. 四 相关点法求动点的轨迹方程 1.若动点的变动依赖于另一动点，而在某已知曲线（或具有某种规律的图形）上（这时把从动点叫做轨迹动点，主动点叫做点的相关点），求出关系式（*），并代入方程，得所求轨迹（或轨迹所在曲线）方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法，又叫代入法、代换法或转移法．这是求轨迹方程的一种常用的重要方法．此法的关键是，构建用轨迹动点的坐标表示其相关点的坐标（即向的转移）的关系式（*）． 2、相关点法解题步骤 第一步，设所求轨迹的点，曲线上的动点； 第二步，找出与的关系，由表示，即； 第三步，满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍．而从动点的坐标来表达主动点的坐标的方法较多，一般采用以下几种方法进行转移： ①利用定义；②利用参数；③利用向量；④利用相关公式；⑤利用对称知识等． 10．过原点的双曲线，以为一个焦点，且实轴长为，求此双曲线的中心轨迹方程． 【分析】相关点法求解轨迹方程，注意去掉不合要求的点. 【详解】设双曲线的中心为，双曲线的另一焦点， 则由中点坐标公式，所以， 曲线过原点，由双曲线的定义，可得， 即，即， 因此，化简得或． ，化简得所， 所以点不取． 因此，双曲线中心的轨迹方程（除去点）， 或（除去点）． 11．一系列椭圆，经过轴为公共准线，求椭圆右焦点的轨迹方程． 【分析】设椭圆的右焦点为，左焦点为，左右两顶点分别为到轴的距离为，两准线间的距离为，先利用转移代入法求坐标，用坐标表示，由椭圆第二定义，得，化简可得结果. 【解】设椭圆的右焦点为，左焦点为，左右两顶点分别为到轴的距离为，两准线间的距离为．，又， ，∴， ，利用椭圆的几何特征，得， ∵，，． 由椭圆第二定义，得， ∴，， 化简得，所求轨迹为以为中心，长半轴为，短半轴为的椭圆．即轨迹方程为. 12．曲线关于点对称的曲线方程为______． 【分析】设为曲线上的点，其关于点对称的点为，进而得，再代入即可得答案. 解：设为曲线上的点，其关于点对称的点为， 所以，，即，由于， 所以，，即.故答案为： 五 参数法求动点的轨迹方程 有时不容易得出动点应满足的几何条件，也无明显的相关点，但却较容易发现（或经分析可发现）该动点常常受到另一个变量（角度，斜率，比值，解距或时间等）的制约，即动点坐标中的分别随另一变量的变化而变化，我们称这个变量为参数，由此建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法（或设参消参法），如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可，在选择参数时，选用的参变量可以具有某种物理或几何性质，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率及点的横纵坐标等，也可以没有具体的意义，还要特别注意选定的参变量的取值范围对动点坐标取值范围的影响． 1.参数法求动点的轨迹方程一般步骤 第一步，选择坐标系，设动点坐标； 第二步，分析轨迹的已知条件，选定参数（选择参数时要考虑，既要有利于建立方程又要便于消去参数）； 第三步，建立参数方程； 第四步，消去参数得到普通方程； 第五步，讨论并判断轨迹． 2．常用的消参方法有：代人消参，加减消参，整体代换法，三角消参法（）等．要特别注意：消参前后变量的取值范围不能改变． 3.选择参数的几点注意事项： （1）点的坐标、角、直线斜率等均可选作参数，且选择的参数越少越好； （2）所选参数最好能表示所有与动点有关的点的坐标或直线方程； （3）若选择了一个参数，则必须且只需列两个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；若选择了两个参数，则必须且只需列三个方程，然后消去参数，即可得到动点轨迹方程；也就是说，若选择了个参数，则必须且只需列个方程，然后消去这个参数，即可得到动点轨迹方程． 13．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是 A． B． C． D． 【详解】设，，过点的直线为， 由得，直线代入得 则， 即，，所以，故选B 14．过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程． 【分析】根据题意求的坐标，再利用消参法求点的轨迹方程. 【详解】设直线的斜率为，则直线的斜率为． ∵直线OA的方程为，联立方程，解得，即， 同理可得．由中点坐标公式得，即，消去得∴点的轨迹方程为 15.（多选）．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线的交点在定圆上 C．线段长的最大值为 D．的最小值 【分析】设，，由已知结合垂径定理求得的轨迹判断；联立两直线方程消去判断；由选项、及两圆的位置关系判断；由数量积运算结合选项求得数量积的最小值判断． 【详解】对于选项A：设，因为，为弦的中点， 所以.而，半径为， 则圆心到弦的距离为. 又圆心，所以， 即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确； 对于选项B：由，消去可得， 得，选项B不正确； 对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：， 又由选项B知，点的轨迹方程为：， 所以， 线段，故选项C正确； 对于选项D： ，故， 由选项C知，， 所以，故选项D正确.故选：． 六 交轨法求动点轨迹方程 交轨法一般用于求两动曲线交点的轨迹方程．若动点是由两动曲线相交所得，其过程是选出一个适当的参数，求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程． 1.如果一个动点是两条动曲线的交点，那么选取参数并把参数看成已知数，写出这两条动曲线的方程，再联立两动曲线的方程，消去参数，或者动曲线的方程与定曲线的方程联立，消去或，转化为一元二次方程，再消去参数，便得到动点的轨迹方程．这种求动点的轨迹方程的方法，我们称之为交轨法． 2.运用交轨法探求轨迹方程问题，主要是把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程，关键是参数的选取，困难是参数的消去．怎么把选取的参数看成已知数，写出两条动曲线方程？如何选取参数？怎样消去参数？ 16．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程． 【分析】由题设，，再根据和三点共线、三点共线得，再根据化简即可得答案； 【详解】解：方法一：（利用点的坐标作参数）由题设， 因为椭圆的长轴端点为， 设直线和的交点为， 因为三点共线，所以，， 因为三点共线，所以，， 所以，两式相乘得，（） 因为，所以，即， 所以，，整理得（）， 所以，直线和的交点的轨迹方程（） 方法二： （利用角作参数） 因为椭圆的参数方程为（为参数） 所以，设，则， 因为椭圆的长轴端点为， 设直线和的交点为， 因为三点共线，所以， ， 因为三点共线，所以，， 所以，两式相乘得 所以，整理得（），即点的轨迹方程为，（）. 17.已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.求动点的轨迹方程； 【分析】（1）设，，分别求出以为切点的切线方程，联立两切线方程表示出点的坐标，再设直线的方程为：，与抛物线的方程联立，代入可得点的轨迹方程；                                              （1）设，，， 则以A为切点的切线为，整理得：， 同理：以为切点的切线为：，联立方程组：，解得， 设直线的方程为：， 联立方程组，整理得：， 恒成立，       由韦达定理得：，，故， 所以点的轨迹方程为； 18．两条直线和的交点的轨迹方程是___________ 【分析】由题意，消去即可得方程. 【详解】直线方程变形为，即，故，．故答案为： 巩固提升： 一、单选题 1．已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量条件可知点可由椭圆上点叠加模长为的向量得到，区域为椭圆与单位圆盘的闵可夫斯基和，先利用椭圆参数方程结合辅助角公式求出椭圆上动点到已知直线的最大距离，再增加单位长度，即可得到边界上点到直线距离的最大值． 【详解】 设，，， 所以， 由，且在椭圆上， 而在以为圆心，半径为1的圆上， 对于椭圆，，， 设， 则椭圆上点到直线：的距离， 的振幅为，， ， 当时，取最大值， 所以边界上的点到直线：的距离的最大值． 2．已知点满足方程，，设点的轨迹为曲线，过原点的直线与曲线交于，两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，即到两定点距离之和为8， 是椭圆，其中，，， 椭圆方程为， 已知过原点的直线与曲线交于，两点，则，关于原点对称， ， 已知，则，， 因为，则， 位于椭圆上，则，解得， 故． 3．已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【分析】以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，利用三角形面积公式得，设，根据条件，用表示出的坐标，进而可得与间的关系，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，角的平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 记，由题知，得到， 不妨设在第一象限，因为，则， 设，则，得到，， 所以，整理得到， 所以点的轨迹为双曲线的一部分    4．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 5．已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用相关点法，通过向量坐标关系建立动点与圆上点的坐标联系，代入圆的方程化简得轨迹方程. 【详解】设动点，圆上点， 因为是在轴上的投影，则易得， ，， 因为 ，所以，解得， （*）， 因为是圆上，所以， 将（*）代入得，即， 则点的轨迹方程为. 6．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 【答案】D 【分析】对于A，根据两点间距离公式代入整理化简即可；对于B，求出点到圆上点距离的范围，判断即可；对于C，设，利用两点间距离公式得到方程和联立，求得，，无实数解，判断即可；对于D，求出的圆心到直线的距离，即可求出上的点到直线的最小距离. 【详解】对于A，由题意可设点， 由，，，得， 整理得，即，故A正确； 对于B，点到圆心的距离为， 所以圆上的点到点的距离范围为，因为，故B正确； 对于C，设，由，得，即. 又，联立整理得，此时，无实数解， 故不存在点，使得，C正确； 对于D，的圆心到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故D错误. 二、多选题 7．已知且、两点的坐标分别为，，曲线上的点满足，则（     ） A．曲线的图象既有对称轴也有对称中心 B．若，曲线的方程为 C．曲线上点的纵坐标的最大值为 D．若点在上，则 【答案】AC 【分析】首先根据已知等量关系得，再由任意曲线上的点，都有、满足方程判断A，将参数值代入方程整理化简判断B，令，并代入曲线化简得，结合二次函数的性质判断C，将取最大值的情况作分析判断D. 【详解】设点，根据题意有， 所以，整理得， 由，则曲线的方程为， A：对于任意曲线上的点，都有， 则，即也在曲线上， 且，则，即也在曲线上， 因此曲线关于轴对称，同时关于原点对称，正确 B：当时有，则， 所以，化简得，B错误， C：由曲线方程得，令，则， 所以，关于的开口向下的二次函数，对称轴为， 因为，故时，， 所以，即纵坐标的最大值为，C正确， D：由C知，当取最大值时，即，此时，D错误. 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，为坐标原点，则（     ） A．若，则 B．与圆有四个交点 C．的重心的轨迹方程为（） D．的内心的轨迹方程为（） 【答案】ABD 【分析】对于A，根据椭圆的定义及三角形面积公式求解即可；对于B，根据圆与椭圆的位置关系判断即可；对于C，根据重心坐标公式代入求解即可；对于D，根据内心坐标公式及焦半径公式求解即可. 【详解】由，知，，，，，. 对于A，已知，为中点，，则为直角三角形，且. 由椭圆的定义得，，则， 又，所以. 所以，A正确. 对于B，圆的圆心为，半径为. 圆心在原点附近，圆的右边界，左边界； 上边界，下边界， 所以圆会与椭圆的上下左右均相交，共有四个交点，B正确. 对于C，设，， 则，，所以，， 代入椭圆方程，即，C错误. 对于D，任意中，对边分别为，设，，，内心为， 因为平分，则，所以分的分比. 所以，. 在中，平分，则，由，，解得， 所以，即分的分比， 所以， 同理，即. 所以的内心坐标为， 三角形周长， 即，也即. 由焦半径公式得，， 则， 所以，即. 设的内心为，则，，即，， 代入椭圆方程得，整理得（），D正确. 9．已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B． C．的面积为 D．上的点到的距离的最大值为 【答案】ACD 【分析】先用相关点法设中点坐标反推圆上动点坐标，代入圆方程求得椭圆曲线；联立直线与椭圆方程，借助韦达定理和弦长公式判断弦长，再用点到直线距离结合弦长求三角形面积；利用椭圆参数方程结合辅助角公式求出曲线上点到直线距离最大值，逐一判定选项． 【详解】对于A，设，由题意，是中点，故， 因为在圆上，所以，化简得，A正确； 对于B，联立，整理得， ， 设，由韦达定理得，， 所以 ，B错误； 对于C，原点到直线：的距离， ，C正确； 对于D，椭圆的参数方程为，， 点到直线距离公式， ，其中， 最大值出现在时， ，D正确． 三、填空题 10．已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 11．设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】设，，，其中； 由题意得，，所以，， 因为是上线段外的一点，即在椭圆外，所以与同号， 所以． 因为，所以， 即点的轨迹方程为． 12．已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】方法一：设，，利用中点坐标公式结合点差法运算求解即可；方法二：设直线的方程为，，，利用韦达定理可得，消参即可. 【详解】方法一：设，，弦的中点为，则， 因为，两式相减可得， 即，可得， 显然，则有： 若，则，且， 即，整理可得； 若，检验可知符合； 故所求轨迹方程为． 方法二：由题意可知：直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立方程，消去x可得， 则，则，， 可得， 设的中点为，则， 消去m可得，整理可得， 所以所求轨迹方程为． 四、解答题 13．(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，根据给定条件，结合三角形重心定理即可求解； （2）设点，根据题意列出方程即可求解. 【详解】（1）以线段的中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，，如图所示， 设的重心，依题意，， 因此点的轨迹是以点为左右焦点，长轴长为的椭圆（除点外）， 该椭圆长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以的重心的轨迹方程为. （2）设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即， 所以点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆，其方程为. 14．（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 【答案】（1）（2） 【详解】（1）连接，由垂直平分线得，所以， 且大于，即点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 轨迹方程为. （2）设d是点M到直线的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是集合，则， 将上式两边平方，并化简，得，即． 所以点M的轨迹方程为：． 15．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹方程； 【详解】由题意知，（，否则斜率不存在）， 则，即，整理得. 故动点的轨迹方程为. 16．已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【详解】（1）由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. （2）（ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 17．已知椭圆：（），过的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为.当在上运动时，点的轨迹为.求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的标准方程及截得线段长列方程求解即可. （2）方法一：设点，联立直线与直线方程求出交点坐标，表示出点，代入椭圆方程求解即可；方法二：由于点三点共线，结合向量共线表示出点，代入椭圆方程求解即可. 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，其中， 那么过右焦点且垂直于轴的直线为，代入椭圆得， 即，所以， 由于截线段长为，解得， 故，离心率. （2）方法一： 由（1）知椭圆方程为， 由于点满足，且，过作轴的垂线，交轴于点， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线方程为：，直线方程为：，即， 联立，解得， 即点. 设，则由，得， 代入椭圆方程得， 即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二：由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则，所以， 因为点在直线上，所以， 则 把代入椭圆方程：，得， 即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为. 18．已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 19．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程. 【答案】 【详解】由题意得，即，化简得. 20．已知椭圆，点，都在上且关于原点对称，的右顶点为，下顶点为，记直线与的交点为.求点的轨迹方程. 【答案】，除去点与点. 【分析】设点坐标，联立直线与的方程得出点的坐标，利用消参法可得. 【详解】设，则，， 由题意可得，，即，， 由椭圆，则、， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即， 由，则点不经过，由，则点不经过， 由，则点坐标满足， 即点的轨迹方程为，除去点与点. 21．已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点．求点的轨迹方程； 【答案】（）； 【分析】把椭圆上两个交点代入方程作差，借助中点坐标推出直线斜率；再利用直线过定点写出另一组斜率，斜率相等消去参数得到轨迹，最后根据中点在椭圆内限定x范围. 【详解】设． 因为弦的中点为，所以， 又因为两点在椭圆上，所以， 两式相减得， 当时，，，即， 由于弦过点，，所以， 因此，整理得①， 又因为是弦的中点，所以必在椭圆内， 所以，再与①联立消去得：，即. 再由①得，解得，因此. 因此点M的轨迹方程为（）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年新课标二卷18题的启示: 点的轨迹的求法总结 原题分享： 题目．已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为.直线与直线的交点为，当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 点的轨迹求法总结： 一、直接法求动点的轨迹方程 1．在平面直角坐标系中，点B与点关于原点O对称，P是动点，且直线与的斜率之积等于，求动点P的轨迹方程. 2．在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足，，求点的轨迹方程. 3．已知动点M(x，y)到直线l：x＝4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍． 求动点M的轨迹C的方程； 二 定义法求动点的轨迹方程 4．一条定长为的线段，点在轴上，点在轴上滑动．求线段的中点的轨迹方程． 5．已知圆：，：，动圆C与圆，都相切，则动圆C的圆心轨迹E的方程为________________； 6．设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明为定值，并写出点E的轨迹方程； 三 待定系数法求动点的轨迹方程 7．求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程. 8．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，，是C的两条切线，A，B是切点．当轴时，．求抛物线C的方程； 9．求与椭圆有相同焦点，且经过点的双曲线的标准方程. 四 相关点法求动点的轨迹方程 10．过原点的双曲线，以为一个焦点，且实轴长为，求此双曲线的中心轨迹方程． 11．一系列椭圆，经过轴为公共准线，求椭圆右焦点的轨迹方程． 12．曲线关于点对称的曲线方程为______． 五 参数法求动点的轨迹方程 13．已知过点的直线与圆相交于、两点，若，则点的轨迹方程是 A． B． C． D． 14．过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程． 15.（多选）．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是（    ） A．弦的中点轨迹是圆 B．直线的交点在定圆上 C．线段长的最大值为 D．的最小值 六 交轨法求动点轨迹方程 16．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，求直线和的交点的轨迹方程． 17.已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点.求动点的轨迹方程； 18．两条直线和的交点的轨迹方程是___________ 巩固提升： 一、单选题 1．已知点是椭圆：上的动点，点满足，其中．记点的轨迹形成的区域为，则边界上的点到直线：的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知点满足方程，，设点的轨迹为曲线，过原点的直线与曲线交于，两点，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知中，，的面积为，为中点，则点的轨迹为（    ）的一部分. A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 4．已知，若，则点C的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知是圆上的一动点，点在轴上的投影为点 ，若，则点的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 6．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（    ） A．的方程为 B．在上存在点，使得到点的距离为3 C．在上不存在点，使得 D．上的点到直线的最小距离为1 二、多选题 7．已知且、两点的坐标分别为，，曲线上的点满足，则（     ） A．曲线的图象既有对称轴也有对称中心 B．若，曲线的方程为 C．曲线上点的纵坐标的最大值为 D．若点在上，则 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的点，为坐标原点，则（     ） A．若，则 B．与圆有四个交点 C．的重心的轨迹方程为（） D．的内心的轨迹方程为（） 9．已知为圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点的轨迹为曲线，直线：与曲线相交于两点．下列结论正确的是（    ） A．的方程为 B． C．的面积为 D．上的点到的距离的最大值为 三、填空题 10．已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 11．设动直线垂直于轴，且交椭圆于，两点，是上线段外的一点，且满足，则点的轨迹方程为________． 12．已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于，两点，则弦的中点的轨迹方程为________． 四、解答题 13．(1)在中，，边上的两条中线之和为，求的重心的轨迹方程. (2)点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求点的轨迹. 14．（1）如图，为圆：上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点，求点的轨迹方程； （2）动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 15．已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． 求动点的轨迹方程； 16．已知抛物线的焦点为． (1)求抛物线的方程； (2)设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 17．已知椭圆：（），过的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. (1)求的离心率； (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为.当在上运动时，点的轨迹为.求的方程. 18．已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 19．动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求的方程. 20．已知椭圆，点，都在上且关于原点对称，的右顶点为，下顶点为，记直线与的交点为.求点的轨迹方程. 21．已知椭圆．过点的直线与椭圆交于两点，设为线段的中点．求点的轨迹方程； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $