第三章函数章末检测基础卷-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期高一数学 《函数》章末检测基础卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 2．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．4 7．对于实数，用表示不大于的最大整数，用表示不小于的最小整数，例如，，，则等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 8．已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．为的一个周期 C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列选项的两个函数为同一函数的有（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．设狄利克雷函数，符号函数，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域，的图像在定义域内连续且均落在图中阴影区域内（包括边界，上下左右无限延伸），则（    ） A．不可能为奇函数 B．可能为奇函数 C．当，记m为的最大值，则m无最大值 D．若为偶函数，则集合中所有元素之和为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若函数在上的值域是，则实数的值为_________． 13．已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____． 14．已知函数的定义域为，为偶函数，是奇函数，且，则_________. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 16．（15分） 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)设，若在上有最小值，求实数的取值范围. 17．（15分） 已知函数. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； (3)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)令， （i）证明：函数的图象是中心对称图形； （ii）设函数有三个零点，，，证明：． 19．（17分） 设二次函数，且的两个实根满足. (1)若函数的图象关于对称，求的解集； (2)若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 高一数学 第1页，共4页 高一数学 第2页，共4页 高一数学 第1页，共4页 高一数学 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省普通高中2026-2027学年度上学期高一数学 《函数》章末检测基础卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．下列四个函数是奇函数且在定义域内单调递减的函数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、函数奇偶性的定义与判断 【详解】A.是奇函数，但该函数在定义域上不单调，排除. B.，定义域， ，是奇函数； 在上递增，故在上单调递减，符合题意； C.的定义域为，，即函数为奇函数， 又因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，排除. D.的定义域为，，故不是奇函数，排除. 2．已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义列式即可求解. 【详解】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】抽象函数的定义域 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，有或，解得或. 故函数的定义域为． 4．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【分析】通过换元法替换已知式中的，反解代入表达式化简并确定定义域，即可得到的解析式. 【详解】令，由已知，可得，即，可得， 已知，将代入， 得 ，其中， 所以. 5．已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、求函数值、抽象函数的定义域 【分析】根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解. 【详解】根据可得，可转化为， 又， 所以，即， 因为是定义在上的增函数，所以只需满足 ，解得：， 所以不等式的解集为. 6．已知定义在上的函数满足，，当时，，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【知识点】由函数的周期性求函数值、求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】先由函数的奇偶性和对称性推导周期，再利用周期性将转化为已知区间内的函数值计算． 【详解】由，得是定义域为的奇函数， 由，得的图像关于直线对称， 将替换为，可得， 结合奇函数性质，得， 再将替换为，得， 因此是周期为4的周期函数， 又，故， 由奇函数性质得， 因为时，，则， 所以，即． 7．对于实数，用表示不大于的最大整数，用表示不小于的最小整数，例如，，，则等式成立的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数新定义、判断命题的必要不充分条件 【分析】解等式求得，结合已知新定义有，最后由必要不充分条件的定义，即可得答案. 【详解】由，得，又因为表示不大于的最大整数，表示不小于的最小整数，所以， 要找其成立的一个必要不充分条件，只有B选项的包含，只有选项B满足要求. 8．已知定义域均为的函数，满足，，，若，则下列说法错误的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．为的一个周期 C． D． 【答案】C 【知识点】判断或证明函数的对称性、由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断、函数周期性的应用 【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项． 【详解】因为 因为 即， 所以的图象关于y轴对称，故A正确； 又因为，把换成得：， 又因为 所以，即， 所以， 所以4为函数的一个周期，，故B正确； 在中，令，得， 所以，故C错误； 因为，所以，所以， ， ， ，故D正确． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列选项的两个函数为同一函数的有（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】BCD 【知识点】判断两个函数是否相等 【分析】根据同一函数定义可知：表达式一样，且定义域一样即为同一函数. 【详解】A选项，，，表达式不一样，不是同一函数，错误； B选项，，其中，，其中， 表达式一样，是同一函数，所以B选项正确； C选项，，，表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； D选项，和表达式一样，且定义域均为，是同一函数，正确； 10．设狄利克雷函数，符号函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】函数新定义、函数奇偶性的定义与判断 【分析】利用狄利克雷函数、符号函数的定义逐项判断即可. 【详解】对于A：若，，因此； 若，则，； ，故对任意的，，故A正确； 对于B：若为无理数，则，，此时，故B错误； 对于C：易知必为有理数，因此恒成立， 而当为无理数时，，此时，故C错误； 对于D，当为无理数时，也为无理数，此时， 当为有理数时，也为有理数，此时， 故对任意的，， 当时，，则，，此时； 当时，，则，，此时； 当时，. 故对任意的，， 综上所述，对任意的，，故D正确. 11．已知函数的定义域，的图像在定义域内连续且均落在图中阴影区域内（包括边界，上下左右无限延伸），则（    ） A．不可能为奇函数 B．可能为奇函数 C．当，记m为的最大值，则m无最大值 D．若为偶函数，则集合中所有元素之和为 【答案】ACD 【知识点】函数图象的应用、利用函数单调性求最值或值域、交集的概念及运算、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】分析不同阴影部分的含义，通过反证，特殊值代入法以及函数平移的性质即可得出答案. 【详解】由题可得，黑色部分为具有边界的阴影部分，画斜线部分仅有部分边界. 因为的图像在定义域内连续且均落在图中阴影区域内， 所以由图像得，. 对于A，由图可得当时，， 假设为奇函数，则当时，，由的连续性可得，， 与矛盾，故不可能为奇函数； 对于B，设，因为在处没意义， 所以在处没意义，若为奇函数，则为奇函数，则在处没意义， 因为在定义域内连续，所以在定义域内也连续，则在处有意义，矛盾， 故不可能为奇函数； 对于C，当时，，当时，， 若取,与在定义域内连续矛盾，故，所以取不到3， 对于，，即，故取不到最大值； 对于D，因为为偶函数，所以，，， 对于的区域有，对于的区域有， 则当时，有，且，则， 所以集合所有元素之和为. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若函数在上的值域是，则实数的值为_________． 【答案】/ 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据值域求参数的值或者范围 【详解】因为函数在区间上是增函数，值域为， 则，即，解得． 13．已知，函数，若的定义域和值域的交集为空集，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】根据交集结果求集合或参数、分段函数的值域或最值、分段函数的性质及应用、根据分段函数的值域（最值）求参数、根据值域求参数的值或者范围 【分析】先求出时，的值域，缩小的取值范围；结合的对称轴及的定义域和值域的交集为空集对的取值分类讨论，再确定的取值范围即可． 【详解】， 因为，则，，所以， 要使的定义域和值域的交集为空集，则， 当时，，此时的定义域与值域的交集不是空集， 所以， 当时，在上单调递减，， 由的定义域和值域的交集为空集，可得，解得或， 所以， 综上，实数的取值范围是． 14．已知函数的定义域为，为偶函数，是奇函数，且，则_________. 【答案】 【知识点】由函数的周期性求函数值、求函数值、函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】由为偶函数推出函数关于对称，由为奇函数推出函数关于对称，且，再结合两种对称性推出函数是以4为最小正周期的周期函数.最后算出答案即可. 【详解】为偶函数，函数关于对称， 为奇函数函数关于对称，且. 由. 函数是以4为最小正周期的周期函数. 、、、. 所以，. . . 【点睛】方法总结：本题主要是利用对称性的性质去推周期性，再结合周期性的性质来求值. 易错归纳：一是复合函数的对称性学生容易出错，二是容易漏掉导致结果出错. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分） 已知函数． (1)证明：在上单调递增； (2)若，试判断，的大小. 【答案】(1)不妨设， 则 ． 因为，则，， 可得，即， 所以在上单调递增. (2) 【知识点】比较函数值的大小关系、定义法判断或证明函数的单调性、奇偶函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）利用定义法判断并证明函数单调性； （2）结合函数的奇偶性可知在上单调递增，即可比较函数值大小. 【详解】（1）略 （2）因为的定义域为， 因为，所以是奇函数． 且在上单调递增，可知在上单调递增， 因为，所以． 16．（15分） 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为. (1)求的解析式； (2)设，若在上有最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、利用函数单调性求最值或值域、判断二次函数的单调性和求解单调区间、由一元二次不等式的解确定参数、求二次函数的解析式 【分析】（1）观察题意，知二次方程 的两根为和1，因此可设 ，再把点代入可求得； （2）函数是二次函数，需根据对称轴与区间的位置关系判断是否存在最小值，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】（1）由题意可设，即 ， 由的图象过点，知 ，从而 ， 即 ； （2） ，开口向上，其对称轴为， 若，即时， 在上单调递增，取不到，所以不存在最小值； 若，即时，对称轴落在内，存在最小值； 若，即时， 在上单调递减，所以在处取得最小值； 综上所述，的取值范围为. 17．（15分） 已知函数. (1)求函数的解析式； (2)对任意的实数x，都有恒成立，求实数m的取值范围； (3)对任意的实数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】函数不等式恒成立问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、已知f（g（x））求解析式 【分析】（1）令，求出，代入，即可求出函数的解析式； （2）由题意可得恒成立，分和两种情况讨论，求得答案. （3）先化简不等式，再参变分离，根据双勾函数的单调性求出最值，可得实数的取值范围． 【详解】（1）令，则， ∴ ， 即. （2）由题意可得：恒成立， 当 时， ，满足题意.   当 时，若 恒成立，则 解得. 所以实数 的取值范围为. （3）由题意得恒成立， 即恒成立， 又因为，∴恒成立， 令，， 又在为减函数，在为增函数. ∴，∴， 即实数的取值范围为. 18．（17分） 已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)令， （i）证明：函数的图象是中心对称图形； （ii）设函数有三个零点，，，证明：． 【答案】(1)在区间上单调递减. 证明：设，则 ， 因为所以，，， 所以，即， 故在区间上单调递减. (2)（i）， 又定义域为，关于对称， 故曲线关于点对称；   （ii）由结合（1）易知在，，上单调递减， 函数有三个零点，则，，， 由，可得， 而，， 所以， 由，则， 则， 又，在上单调递减， 故． 【知识点】比较函数值的大小关系、定义法判断或证明函数的单调性、判断或证明函数的对称性 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明即可. （2）（i）结合函数的对称性证明即可. （ii）根据零点存在定理判断，，范围，结合函数的单调性证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 19．（17分） 设二次函数，且的两个实根满足. (1)若函数的图象关于对称，求的解集； (2)若. （i）求证：； （ii）设函数在区间上的最大值为，求的表达式. 【答案】(1)当时，的解集为； 当时，的解集为； (2)（i）由得，则， 得，则； （ii）. 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、一元二次方程的解集及其根与系数的关系、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）求出两根，再分类讨论解不等式； （2）（i）根据韦达定理化简； （ii）化简，求出对称轴，分、、三种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意得，则，则， 当时，的解集为； 当时，的解集为； （2）（i）略 （ii）由，得或. 设， 则 的零点分别为和，对称轴为 ①当时，， 则在上递增，在上递减， 所以； ②当时，， 则在上递减， 则； ③当时，， 则在上递减，在上递增， 则； 综上. 高一数学 第1页，共4页 高一数学 第2页，共4页 高一数学 第1页，共4页 高一数学 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $