章末检测（三）函数-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

**基本信息** 本单元卷聚焦函数核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，全面考查定义域、奇偶性、单调性等概念及实际应用，适配高中数学函数单元复习，融合数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域、零点存在性定理、奇偶性|第8题“隐对称点”新定义，考查创新意识| |多选|3/18|奇函数性质、抽象函数|结合推理能力，如判断函数单调性| |填空|3/15|分段函数求值、二次方程根分布|新定义min函数，体现抽象能力| |解答|5/77|奇函数解析式、实际应用|第19题洗衣机水量模型，强化应用意识与数据观念|

章末检测（三）　函数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数f（x）＝的定义域为（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，－1） C. （－1，0） D.（－∞，－1）∪（－1，0） 2.若函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则“f（a）f（b）＜0”是“∃x0∈（a，b），f（x0）＝0”的（　　） A.充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 3.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（a）＜f（b），则一定可得（　　） A.a＜b B.a＞b C.｜a｜＜｜b｜ D.0≤a＜b或a＞b≥0 4.已知一次函数y＝f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）－x，则f（1）＝（　　） A.4 B.2 C.1 D.0 5.函数f（x）＝的图象为（　　） 6.已知定义在[a－1，2a]上的偶函数f（x），且当x∈[0，2a]时，f（x）单调递减，则关于x的不等式f（x－1）＞f（2x－3a）的解集是（　　） A.（ 0，） B.［，］ C.（ ，） D.（ ，］ 7.某公司生产某种产品的年固定成本为2 000万元，每生产一台需增加投入20万元，若年销售收入R（单位：万元）关于年产量x（单位：台）满足函数：R＝则当该公司所获年利润最大时，年产量x为（　　） A.50 B.80 C.100 D.120 8.对于函数y＝f（x），若存在x0，使f（x0）＝－f（－x0），则称点（x0，f（x0））与点（－x0，f（－x0））是函数f（x）的一对“隐对称点”.若函数f（x）＝存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（　　） A.（0，4－2] B.[4－2，＋∞） C.[4＋2，＋∞） D.（0，4＋2] 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是（　　） A.f（0）＝0 B.若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，则f（x）在（－∞，0]上有最大值1 C.若f（x）在[1，＋∞）上为增函数，则f（x）在（－∞，－1]上为减函数 D.若x＞0时，f（x）＝x2－2x，则x＜0时，f（x）＝－x2－2x 10.已知函数f（x）的定义域为R，且f（ab）＝a2f（b）＋b2f（a），则（　　） A.f（0）＝0 B.f（1）＝1 C.f（x）－f（－x）＝0 D.f（x）的所有零点之和为0 11.定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数f（x），对于定义域内任意的x，y都有f＝f（x）－f（y）＋1，f（3）＝4，且当x＞1时，f（x）＞1，则下列结论正确的是（　　） A.f（1）＝1 B.f（x）是奇函数 C.f（3）＞f（9） D.f（x）在（0，＋∞）上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知函数f（x）＝则f（f（2））＝　　　. 13.若关于x的一元二次方程x2－2ax＋4＝0有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是　　　　. 14.用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值，设f（x）＝min{x＋2，10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f（x）＝. （1）求f（5）的值； （2）求函数f（x）的解析式. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ （1）若f（m）＝4，求m的值； （2）若f（－a2－1）＞1，求a的取值集合. 17.（本小题满分15分）函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，且f（1）＝1. （1）求a，b的值； （2）判断并证明f（x）在（1，＋∞）上的单调性. 18.（本小题满分17分）已知函数f（x）满足f（x＋2）＝x2＋4x＋6，且g（x）＝f（x）＋2ax. （1）求f（x）的解析式； （2）求a的值，使g（x）在区间[－5，5]上的最小值为－1. 19.（本小题满分17分）某型号洗衣机在洗涤衣服时，需经过进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，假设进水时水量匀速增加，清洗时水量保持不变，已知进水时间为4分钟，清洗时间为12分钟，排水时间为2分钟，脱水时间为2分钟，洗衣机中的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的关系如表所示： x 0 2 4 16 16.5 17 18 … y 0 20 40 40 29.5 20 2 … 请根据表中提供的信息解答下列问题： （1）试写出当x∈[0，16]时，y关于x的函数解析式，并画出该函数的图象； （2）根据排水阶段的2分钟点（x，y）的分布情况，可选用y＝＋b或y＝c（x－20）2＋d（其中a，b，c，d为常数），作为在排水阶段的2分钟内水量y与时间x之间关系的模拟函数，试分别求出这两个函数的解析式； （3）请问（2）中求出的两个函数哪一个更接近实际情况？（写出必要的步骤）. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 章末检测（三）　函数 1.D　根据题意有⇒x＜0且x≠－1，即x∈（－∞，－1）∪（－1，0）. 2.C　因为f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不间断的曲线，由f（a）f（b）＜0，利用函数零点存在定理可知∃x0∈（a，b），f（x0）＝0；而由∃x0∈（a，b），f（x0）＝0不能得出f（a）f（b）＜0，如f（x）＝x2，x∈[－2，2]，显然f（0）＝0，但f（－2）f（2）＝16＞0.故“f（a）f（b）＜0”是“∃x0∈（a，b），f（x0）＝0”的充分不必要条件.故选C. 3.C　∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，∴由f（a）＜f（b）可得｜a｜＜｜b｜.故选C. 4.B　设f（x）＝kx＋b，则由f（x＋1）＝2f（x）－x，得k（x＋1）＋b＝2（kx＋b）－x，即kx＋k＋b＝（2k－1）x＋2b，则得则f（x）＝x＋1，所以f（1）＝2.故选B. 5.D　函数f（x）＝的定义域为{x｜x≠0}，又f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）＝为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A；当x＞0时｜x2－1｜≥0，则f（x）＝＞0，故排除C；当x＞1时f（x）＝＝x－，函数在（1，＋∞）上单调递增，且当x→＋∞时f（x）→＋∞，故排除B.故选D. 6.D　由题意a－1＋2a＝0，a＝，f（x）是偶函数，则不等式f（x－1）＞f（2x－3a）化为f（｜x－1｜）＞f（｜2x－1｜），又f（x）在［0，］上单调递减，所以解得＜x≤.故选D. 7.B　由题意，设该公司所获年利润为f（x）（单位：万元），当0≤x≤100时，f（x）＝100x－x2－2 000－20x＝－x2＋80x－2 000＝－（x－80）2＋1 200，所以当x＝80时，f（x）取到最大值1 200；当x＞100时，f（x）＝5 000－2 000－20x＝3 000－20x，f（x）单调递减，所以f（x）＜3 000－20×100＝1 000.综上所述，当x＝80时，该公司所获年利润最大.故选B. 8.C　由“隐对称点”的定义可知函数f（x）的图象上存在关于原点对称的点，设g（x）的图象与函数f（x）＝x2＋4x（x＞0）的图象关于原点对称，令x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝x2－4x，所以g（x）＝－f（－x）＝－x2＋4x（x＜0）.因为f（x）＝又f（0）＝2≠－f（0），所以函数f（x）＝的图象存在“隐对称点”等价于g（x）与f（x）在（－∞，0）上有交点，即方程mx＋2＝－x2＋4x（x＜0）有零点，则m＝－x－＋4，又－x－＋4≥2＋4＝2＋4，当且仅当－x＝－，即x＝－时等号成立，所以m≥2＋4.故选C. 9.ABD　由奇函数在x＝0处有定义知，f（0）＝0，故A正确；由图象的对称性可知B正确；由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故C不正确；对于D，当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，所以－f（x）＝f（－x）＝x2＋2x，所以f（x）＝－x2－2x，故D正确.综上可知，正确结论为A、B、D. 10.ACD　对于A，取a＝b＝0，得f（0）＝0，故A正确；对于B，取a＝b＝1，则得f（1）＝2f（1），即f（1）＝0，故B错误；对于C，取a＝b＝－1，则得f（1）＝f（－1）＋f（－1），解得f（－1）＝0；取a＝x，b＝－1，则得f（－x）＝x2f（－1）＋f（x）＝f（x），即有f（x）－f（－x）＝0，故C正确；对于D，由C可知，f（－x）＝f（x），即函数f（x）为R上的偶函数，函数图象关于y轴对称，且f（0）＝0，故f（x）的所有零点对应的点都关于y轴对称，则f（x）的所有零点之和为0，故D正确.故选A、C、D. 11.AD　因为f＝f（x）－f（y）＋1， 令x＝y＝1，则有f（1）＝f（1）－f（1）＋1＝1，所以选项A正确. 令x＝1，y＝－1，则有f（－1）＝f（1）－f（－1）＋1，则2f（－1）＝2，即f（－1）＝f（1）＝1， 令y＝－1，可得f（－x）＝f（x）－f（－1）＋1＝f（x），所以为f（x）偶函数，故选项B不正确. 由f（1）＝1，f（3）＝4，则f（3）＝f＝f（9）－f（3）＋1， 即f（9）＝2f（3）－1＝7＞4＝f（3），故选项C不正确. 任取x1，x2∈（0，＋∞）且x1＜x2，则＞1，所以f＞1， f（x2）－f（x1）＝f－1＞0，即f（x2）＞f（x1）， 故f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故选项D正确. 故选A、D. 12.－5　解析：由已知f（2）＝－＝－2，则f（f（2））＝f（－2）＝－2×2－1＝－5. 13.　解析：设f（x）＝x2－2ax＋4，由题意得解得a＞. 14.6　解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象.解方程x＋2＝10－x得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为（4，6）. 根据min{x＋2，10－x}（x≥0）的含义可知，f（x）＝为图中的实线部分. 观察图象知，两图象的交点即为f（x）图象的最高点，故f（x）的最大值为6. 15.解：（1）因为函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）＝， 所以－f（5）＝f（－5）＝＝－， 所以f（5）＝. （2）设x＞0，则－x＜0，所以f（－x）＝＝－f（x）， 所以x＞0时，f（x）＝－＝. 所以f（x）＝ 16.解：（1）当m≥0时，f（m）＝m2－5＝4，解得m＝3或m＝－3（舍去）； 当m＜0时，f（m）＝m＋6＝4，解得m＝－2. ∴m的值为3或－2. （2）对任意实数a∈R，－a2－1＜0，∴f（－a2－1）＝－a2－1＋6，由f（－a2－1）＞1，得－a2－1＋6＞1，整理得a2＜4，解得－2＜a＜2. ∴a的取值集合是{x｜－2＜a＜2}. 17.解：（1）由已知f（x）＝是定义在R上的奇函数，且f（1）＝1， 则f（－1）＝－f（1）＝－1， 即解得 则f（x）＝，即f（－x）＝＝－f（x），满足奇函数， 所以a＝2，b＝0. （2）函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，证明如下： 由（1）得f（x）＝ ， 任取1＜x1＜x2， f（x2）－f（x1）＝－＝＝ 又1＜x1＜x2，则x1－x2＜0，x1x2－1＞0， 所以f（x2）－f（x1）＜0， 即函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减. 18.解：（1）因为f（x＋2）＝x2＋4x＋6＝（x＋2）2＋2，所以f（x）＝x2＋2. （2）由（1）可得，g（x）＝x2＋2ax＋2，其对称轴为x＝－a， 当－a≤－5，即a≥5时，g（x）在区间[－5，5]上是增函数，所以g（x）min＝g（－5）＝－1. 即（－5）2－10a＋2＝－1，解得a＝，又因为a≥5，所以a＝不满足题意； 当－5＜－a＜5，即－5＜a＜5时，g（x）在区间[－5，5]上先减后增，所以g（x）min＝g（－a）＝－1， 即－a2＋2＝－1，解得a＝或a＝－； 当－a≥5，即a≤－5时，g（x）在区间[－5，5]上是减函数，所以g（x）min＝g（5）＝－1， 即（5）2＋10a＋2＝－1，解得a＝－，又因为a≤－5，所以a＝－不满足题意. 综合上述，a的值为或－. 19.解：（1）由题意，进水时水量匀速增加，设此时函数满足y＝kx， 由表可知当x＝2时，y＝20，所以y＝10x. 因为清洗时水量保持不变，所以清洗的12分钟y＝40， 故y＝ 函数图象如图所示. （2）①设y＝＋b，由表中数据可得， ⇒ 所以函数解析式为y＝－293.5. ②设y＝c（x－20）2＋d，由表中数据可得. ⇒ 所以函数解析式为 y＝2.923（x－20）2－6.307. （3）将x＝18分别代入y1＝－293.5， y2＝2.923（x－20）2－6.307，得y1≈2.6，y2＝5.385. 原表实际情况为x＝18时，y＝2，｜2－2.6｜＝0.6＜｜2－5.385｜＝3.385， 显然函数y＝－293.5更接近实际情况. （或将x＝16分别代入y1＝－293.5， y2＝2.923（x－20）2－6.307. 得y1≈39.6，y2＝40.461. 原表实际情况为x＝16时，y＝40. ｜40－39.6｜＝0.4＜｜40－40.461｜＝0.461. y＝－293.5更接近实际情况.） 学科网（北京）股份有限公司 $