第三章 函数 章末检测 -2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

**基本信息** 高中数学函数单元章末检测卷，通过基础题与综合应用题结合，考查函数定义域、奇偶性、单调性等核心知识，融入喷水池设计、利润计算等情境，培养数学建模与应用意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|定义域、零点、奇偶性|第7题喷水池水柱高度问题，体现数学建模| |多项选择|3/18|奇函数性质、二次函数最值|第11题抽象函数单调性判断，考查逻辑推理| |填空题|3/15|偶函数解析式、二次方程根分布|第14题分段函数最值，强化数学抽象| |解答题|5/77|函数解析式、单调性证明、利润应用|第19题生产利润优化，突出应用意识与运算能力|

章末检测（三）　函数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数f（x）＝的定义域为（　　） A.（－∞，0） B.（－∞，－1） C. （－1，0） D.（－∞，－1）∪（－1，0） 2.若函数f（x）＝mx2－x－2只有一个零点，则实数m的取值范围是（　　） A.－ B.0 C.－或0 D.∅ 3.定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上是增函数，若f（a）＜f（b），则一定可得（　　） A.a＜b B.a＞b C.｜a｜＜｜b｜ D.0≤a＜b或a＞b≥0 4.已知关于x的不等式kx2－3kx＋k＋2≥0对任意x∈R恒成立，则实数k的取值范围是（　　） A. B.{k｜0≤k≤1} C.{k｜k≤0或k≥1} D. 5.若函数f（x）＝－x2＋2x在定义域[0，m]上的值域为[0，1]，则（　　） A.1≤m≤2 B.m＞1 C.m＝2 D.1＜m≤2 6.函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象如图，则函数y＝f（x）·g（x）的图象可能是（　　） 7.某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m.另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度为（　　） A.5 m　 B.3.5 m C.5.5 m D.7.5 m 8.设函数f（x）＝若函数y＝f（x）在R上是减函数，则实数a的取值范围是（　　） A.（2，3） B.[2，3] C.（1，3） D.[1，3] 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是（　　） A.f（0）＝0 B.若f（x）在[0，＋∞）上有最小值－1，则f（x）在（－∞，0]上有最大值1 C.若f（x）在[1，＋∞）上为增函数，则f（x）在（－∞，－1]上为减函数 D.若x＞0时，f（x）＝x2－2x，则x＜0时，f（x）＝－x2－2x 10.设0＜a＜b，函数f（x）＝x2－4x＋6，x∈[a，b]的最小值是a，最大值是b，则（　　） A.b＝2 B.a＋b＝5 C.ab＝6 D.a＝2 11.定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数f（x），对于定义域内任意的x，y都有f＝f（x）－f（y）＋1，f（3）＝4，且当x＞1时，f（x）＞1，则下列结论正确的是（　　） A.f（1）＝1 B.f（x）是奇函数 C.f（3）＞f（9） D.f（x）在（0，＋∞）上单调递增 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.设f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝－，则当x＞0时，f（x）＝　　　　. 13.若关于x的一元二次方程x2－2ax＋4＝0有两个实根，且一个实根小于1，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是　　　　. 14.用min{a，b}表示a，b两个数中的较小值，设f（x）＝min{x＋2，10－x}（x≥0），则f（x）的最大值为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且x＜0时，f（x）＝. （1）求f（5）的值； （2）求函数f（x）的解析式. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝ （1）若f（m）＝4，求m的值； （2）若f（－a2－1）＞1，求a的取值集合. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝2x－，且f＝3. （1）求实数a的值； （2）判断函数f（x）在（1，＋∞）上的单调性，并证明. 18.（本小题满分17分）已知函数f（x）满足f（x＋2）＝x2＋4x＋6，且g（x）＝f（x）＋2ax. （1）求f（x）的解析式； （2）求a的值，使g（x）在区间[－5，5]上的最小值为－1. 19.（本小题满分17分）某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是万元. （1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30万元，求x的取值范围； （2）要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润. 章末检测（三）　函数 1.D　根据题意有⇒x＜0且x≠－1，即x∈（－∞，－1）∪（－1，0）. 2.C　当m＝0时，f（x）＝－x－2＝0⇒x＝－2，符合题意； 当m≠0时函数f（x）＝mx2－x－2只有一个零点，只需方程mx2－x－2＝0的判别式为零即可，所以有Δ＝（－1）2－4m·（－2）＝0⇒m＝－，综上所述：m＝－或m＝0. 3.C　∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数，∴由f（a）＜f（b）可得｜a｜＜｜b｜.故选C. 4.A　当k＝0时，不等式kx2－3kx＋k＋2≥0可化为2≥0，显然成立； 当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－3kx＋k＋2≥0对任意x∈R恒成立， 则需解得0＜k≤.综上，k的取值范围是.故选A. 5.A　因为f（x）＝－x2＋2x的对称轴为x＝1，且f（1）＝1，f（0）＝f（2）＝0，所以若函数f（x）＝－x2＋2x在定义域[0，m]上的值域为[0，1]，则1≤m≤2.故选A. 6.A　由图象知y＝f（x）为偶函数，y＝g（x）为奇函数，所以y＝f（x）·g（x）为奇函数且x≠0.由图象知x∈时，f（x）＞0，g（x）＜0，x∈时，f（x）＜0，g（x）＜0，所以x∈时，y＝f（x）·g（x）＜0，x∈时，y＝f（x）·g（x）＞0.故A正确. 7.D　根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：y＝a1（x＋2）2＋8（－10≤x≤0）或y＝a2（x－2）2＋8（0≤x≤10），由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是，所求函数解析式是y＝－（x＋2）2＋8（－10≤x＜0） 或y＝－（x－2）2＋8（0≤x≤10）.当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m.故选D. 8.B　由题意得：函数y＝f（x）在R上是减函数， ∵f（x）＝x2－2（a－1）x＋5在（－∞，a－1]上单调递减，∴a－1≥1， ∴当x∈（－∞，1]时，f（x）min＝f（1）＝1－2（a－1）＋5＝8－2a. 当x∈（1，＋∞）时，f（x）max＝f（1）＝a－1， 故解得2≤a≤3，∴a的取值范围为[2，3]，故选B. 9.ABD　由奇函数在x＝0处有定义知，f（0）＝0，故A正确； 由图象的对称性可知B正确； 由于奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，故C不正确； 对于D，当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x， 所以－f（x）＝f（－x）＝x2＋2x，所以f（x）＝－x2－2x，故D正确.综上可知，正确结论为A、B、D. 10.BCD　∵f（x）＝（x－2）2＋2≥2，∴a≥2， ∴f（x）在[a，b]上单调递增. ∵f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的最小值为a，最大值为b，∴f（a）＝a，f（b）＝b. ∴a，b为方程f（x）＝x的两根. 由x2－4x＋6＝x，得a＝2，b＝3. 故选B、C、D. 11.AD　因为f＝f（x）－f（y）＋1， 令x＝y＝1，则有f（1）＝f（1）－f（1）＋1＝1，所以选项A正确. 令x＝1，y＝－1，则有f（－1）＝f（1）－f（－1）＋1，则2f（－1）＝2，即f（－1）＝f（1）＝1， 令y＝－1，可得f（－x）＝f（x）－f（－1）＋1＝f（x），所以为f（x）偶函数，故选项B不正确. 由f（1）＝1，f（3）＝4，则f（3）＝f＝f（9）－f（3）＋1， 即f（9）＝2f（3）－1＝7＞4＝f（3），故选项C不正确. 任取x1，x2∈（0，＋∞）且x1＜x2，则＞1，所以f＞1， f（x2）－f（x1）＝f－1＞0，即f（x2）＞f（x1）， 故f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故选项D正确. 故选A、D. 12.＋　解析：∵f（x）是偶函数，∴当x＞0时，－x＜0，f（x）＝f（－x）＝＋. 13.　解析：设f（x）＝x2－2ax＋4，由题意得解得a＞. 14.6　解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象.解方程x＋2＝10－x得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为（4，6）. 根据min{x＋2，10－x}（x≥0）的含义可知，f（x）＝为图中的实线部分. 观察图象知，两图象的交点即为f（x）图象的最高点，故f（x）的最大值为6. 15.解：（1）因为函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）＝， 所以－f（5）＝f（－5）＝＝－， 所以f（5）＝. （2）设x＞0，则－x＜0，所以f（－x）＝＝－f（x）， 所以x＞0时，f（x）＝－＝. 所以f（x）＝ 16.解：（1）当m≥0时，f（m）＝m2－5＝4，解得m＝3或m＝－3（舍去）； 当m＜0时，f（m）＝m＋6＝4，解得m＝－2. ∴m的值为3或－2. （2）对任意实数a∈R，－a2－1＜0，∴f（－a2－1）＝－a2－1＋6，由f（－a2－1）＞1，得－a2－1＋6＞1，整理得a2＜4，解得－2＜a＜2. ∴a的取值集合是{x｜－2＜a＜2}. 17.解：（1）因为f（x）＝2x－，且f＝3， 所以f＝1－2a＝3，解得a＝－1. （2）由（1）得f（x）＝2x＋，f（x）在（1，＋∞）上单调递增. 证明如下： 设x1，x2∈（1，＋∞），且x1≠x2，则 ＝ ＝＝2－， 由x1，x2∈（1，＋∞）知x1x2＞1，＜1， 所以2－＞0，即＞0， 故f（x）在（1，＋∞）上单调递增. 18.解：（1）因为f（x＋2）＝x2＋4x＋6＝（x＋2）2＋2，所以f（x）＝x2＋2. （2）由（1）可得，g（x）＝x2＋2ax＋2，其对称轴为x＝－a， 当－a≤－5，即a≥5时，g（x）在区间[－5，5]上是增函数，所以g（x）min＝g（－5）＝－1. 即（－5）2－10a＋2＝－1，解得a＝，又因为a≥5，所以a＝不满足题意； 当－5＜－a＜5，即－5＜a＜5时，g（x）在区间[－5，5]上先减后增，所以g（x）min＝g（－a）＝－1， 即－a2＋2＝－1，解得a＝或a＝－； 当－a≥5，即a≤－5时，g（x）在区间[－5，5]上是减函数，所以g（x）min＝g（5）＝－1， 即（5）2＋10a＋2＝－1，解得a＝－，又因为a≤－5，所以a＝－不满足题意. 综合上述，a的值为或－. 19.解：（1）由题意可知，2≥30. 所以5x2－14x－3＝（5x＋1）（x－3）≥0， 所以x≤－或x≥3. 又1≤x≤10，所以3≤x≤10. 所以x的取值范围是[3，10]. （2）易知获得的利润y＝＝120，x∈[1，10]， 令t＝∈，则y＝120（－3t2＋t＋5）. 当t＝，即x＝6时，ymax＝610， 故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $