1.2.5 空间中的距离同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级上学期数学课堂限时训练 考试范围：人教B版选择性必修一 1.2.5空间中的距离 建议用时：40分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题8分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为(     ) A. B. C. D. 2.在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为(     ) A. B. C. D. 3.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则直线到平面的距离是(     ) A. B. C. D. 4.如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且两两夹角为，则的模长为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的有(    ) A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 平面的一个法向量是 D. 点到直线的距离为 6.如图，正方体的棱长为，下列说法正确的是(    ) A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 二面角的大小为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 7.如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为          ． 8.如图，已知棱长为的正方体，，，，分别为，，，的中点，则平面与平面的距离为          ． 四、解答题：本题共2小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，已知长方体中，，，直线与平面所成的角为，于点，为的中点． 求异面直线与所成的角的余弦值； 求点到平面的距离． 10.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，为的中点． 求证：； 求的长； 求． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级上学期数学课堂限时训练 考试范围：人教B版选择性必修一 1.2.5空间中的距离 建议用时：40分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题8分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 本题考查点到直线的距离，属于中档题． 建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可． 【解答】 解： 如图，以为原点，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 易知，， 取，，则， 所以点到直线的距离为． 故选：． 2.在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解． 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线的方向向量，， 点到直线的距离． 3.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，则直线到平面的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】  如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，所以又直线与不重合，所以又平面，平面，所以平面因为，设平面的法向量为，则所以令，则，，所以又因为，所以点到平面的距离故直线到平面的距离为． 4.如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且两两夹角为，则的模长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 本题考查的知识点是向量在几何中的应用，熟练掌握平行六面体法则及模的计算公式是解题的关键，属于基础题． 设向量，，，根据向量的运算法则，求得． 【解答】解： 设向量，，，且，，，， 可得， ， 所以， 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在棱长为的正方体中，为的中点，为的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的有(    ) A. B. 向量与夹角的余弦值为 C. 平面的一个法向量是 D. 点到直线的距离为 【答案】BCD  【解析】由题图知，，，，，，所以，所以，故A，A错误 ，，B正确 设，则，，而，所以平面的一个法向量是，C正确 ，，则，，所以，，故点到直线的距离为，，D正确故选BCD． 6.如图，正方体的棱长为，下列说法正确的是(    ) A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 点到平面的距离为 D. 二面角的大小为 【答案】ABC  【解析】以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，． 对于，， ，， 直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确 对于，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为， 所以，， 直线与平面所成角的范围为，则，B正确 对于，设平面的法向量为， 则，即 令，则，，， 故点到平面的距离，C正确 对于显然是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 则，即 令，则，，，设二面角的大小为， ，，因此二面角的大小为，D错误． 第II卷（非选择题） 3、 填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 7.如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为          ． 【答案】  【分析】 本题考查空间距离的坐标表示，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解． 【解答】 解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接， 由题意得，，，， ，，． 设平面的法向量为，则，即 令，得，  点至平面的距离为． 8.如图，已知棱长为的正方体，，，，分别为，，，的中点，则平面与平面的距离为          ． 【答案】  【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，，所以，，显然，又，，所以平面平面设是平面的法向量，则得取，则，，得平面到平面的距离就是点到平面的距离．因为，所以平面与平面间的距离． 四、解答题：本题共2小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，已知长方体中，，，直线与平面所成的角为，于点，为的中点． 求异面直线与所成的角的余弦值； 求点到平面的距离． 【答案】解：在长方体中，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系如图．        由已知，， 可得、、． 又平面，从而与平面所成的角即为， 又，，，， 从而易得，     ，． ． 即异面直线与所成的角的余弦值为． 点到平面的距离， 即在平面的法向量上的投影的绝对值．由知 ，， 取，得 所以距离． 所以点到平面的距离为．  10.本小题分 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，底面，且，为的中点． 求证：； 求的长； 求． 【答案】 证明：以为坐标原点，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 因为为的中点，所以， 所以，， 又， 所以，即； 解：由，，则， 所以的长为； 解：因为，， 所以，，， 所以，． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $