1.2.5 空间中的距离-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册练习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第一册人教B版 如图(2)，则P(0,0,2V3),F(2,0,0),B(4, 2V3,0),C(3,3V3,0),D(0,3V3,0), PB=(4,2V3,-2V3),FB=(2,2V3,0), 可求得平面PBF的一个法向量n=(V3,-l,1), PD=(0,3V3,-2V3),CD=(-3,0,0),可求 得平面PCD的一个法向量n2=(0,2,3).设平面PCD 与平面PBF所成二面角为0， 断以(con=V5V后Vs sind=8V65 651 1.2.5空间中的距离 效果评价 1.B【解析】过A,B分别作x轴的垂线，垂足分 别为A',B(图略)，则1AA=3,BB=2,A'B1=5. 又A店=A产+M+BB,AP=345+2+2x3x2x3 44,即14B=2V1.故选B. 2.A【解析】PA=(-2,0,-1),PA=V5,PA l 竖，则点P到直线！的距离-V同同”下 Inl V5-33故选A 2 3.B【解析】方法一：设点E到平面ACD,的距离 为k,则Ve=少，小号A分2V7x3V7)=号 2x×4x2,h=号故选B 方法二：建立如图所示的 1 D 坐标系，A(2,0,0),D1(0, 0,2),C(0,4,0),E(2,2, A D 0),则AD1=(-2,0,2),CD A =(0,-4,2),ED1=(-2,-2, 第3题答图 2). 设平面ACD,的法向量为n=(x,y,2), 则n4D0, 1-2x+2z=0, n.CD:=0, l-4y+2z=0. 令y=1,则=2，x=2, 2,1v号故 选B (76 4.D【解析】由正方体的性 质，易得平面ABD1∥平面BDC, 则两平面间的距离可转化为点B A 到平面ABD1的距离.以D为坐标 原点，DA,DC,DD,所在的直线 分别为x轴、y轴、z轴建立如图 所示的空间直角坐标系，则A(a, 第4题答图 0,0),B(a,a,0),A(a,0,a),C(0,a,0),CA1= (a,-a,a),BA=(0,-a,0),连接A1C,由AC⊥平 面ABD,得平面ABD1的一个法向量为n=(1,-1, 1),则两平面间的距离d=BML=一a=V3a故 Inl V3 3 选D. 5.B【解析】如图所示，建 12 立空间直角坐标系B-xz,易得 B D BA=(a,0,0),BC,=(0, 第5题答图 a,a). 设n=(x,y,z)是平面ABC,D1的一个法向量， 由n-=0,→-0： n.BC1=0 ay+az=0, 令2=1，得n=(0,-1,1). 脉nga4,34小0.-1,100， 1 :EF⊥n,故EF∥平面ABCD 又E号0,0，号 Em号，0，子0,1,1-号， :d上BE:l=V2a.故选B, 3 6.2V6【解析】设AB=a,AD=b,AA=c,易得 AC,=a+b+c,则1ACP=AC·AC1=(a+b+c)·(a+b+c)=a2+ 2ab+2ac+2bc+b2+c2-4+4+4+4+4+4=24,..lMCl=2V6. 7.V6【解析】建立如图所 3 示的空间直角坐标系，则N(0,2, 0),S(0,0,2),D(-1,4,0), (A 个号 .NS=(0,-2,2),SD=(-1, 4,-2). 第7题答图 设平面SWD的一个法向量为n=(x,y,z), n-N=0,-2y+22=0 n-SD=0,-x+4y-2z=0, 令1，则2， y=1, n=(2,1,1).AS=(0,0,2), “点A到平面SND的距离d上n:A。2 1/6 V6 8.V2T【解析】建立如图所 7 示的空间直角坐标系， 则A,方0，B0,1 0),B(0,1,1),C:(0,0,1),则 c-3,分，ca=o. 第8题答图 1,0),CB=(0,1,-1). 设平面ABC,的一个法向量为n=(x,y,z), 则有 g=吃0， 令z=1, CBn=y-8=0. 解得n=,1,小，则所求距离为 CB1n 1-1V2 V 9.解：(1)如图，以 A1为原点，AB,AD1,AA 所在直线分别为x轴、y轴、 z轴，建立空间直角坐标系， B(1,0,1),D(0,2, 1),F(1,1,1),E(0,1, 第9题答图 0),C(1,2,0). 设P(a,b,1),BP=ABD,入∈[0,1]，ED=(0, 1,1),EC=(1,1,0),BD=(-1,2,0), 则BP=(a-1,b,0)=(-A,2入，0)， .P(1-A,2A,1),PF=(A,1-2X,0). 设平面DEC的一个法向量为n=(x,y,z), 则n-BDy=0, 取x=1,得=(1，-1,1) n·EC1=x+y=0, .PF∥平面EC,D,PFn=A-1+2入=0， 解得A号P号，子， BP的长mi-V号-1+子+1-IP=Y 参考答案。 (2)由(1)得平面DEC,的一个法向量为n=(1, -1,1,EF号，号，小，点P到平面CD的距 离EP,.2=2V3 10.V2V6【解析】如 4 图，以D为原点，DA,DC,DD A 分别为x轴、y轴、z轴的正方向建 D- 立空间直角坐标系，则A(1,0,2), A(1,0,0),E(0,V3,1), x 过C作AB的垂线交AB于F, 第10题答图 易得BF=V3,B(1,2V3,0), AB=(0,2V3,0),BE=(-1,-V3,1). 设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z), mAB=0,得 则由 2V3y=0, n-BE=0,-x-V3y+z=0, y=0,x=z,不妨取n=(1,0,1). AA1=(0,0,2), AB1到平面ABE的距离 d4m.2-V2. Inl V2 又B(1,2V3,2),BB=(0,0,2),CB=(1, V3,0). 设平面BCE的一个法向量为n=(x',y',z),易得 x'=-V3y',z'=0,取n=(V3,-1,0),n1与n所成 的角为0，则cos6=nn=V3=V6 Inlln V2x2 4 提升练习 11.C【解析】建立如图所示的 空间直角坐标系，则A(1,0,0), D B(1,1,0),C(0,1,0),C,(0,A 1,2). P 根据题意，可设点P的坐标为 D (0,入，2入)，A∈[0,1]，点Q的坐 标为(1-，u,0),u∈[0,1]， 则PQ=V(1-u)+-A)+4 第11题答图 =V2u+5A2-2u-2u+1 -Va5g+号 当且仅当A=),A=多时，线段PQ的长度取得最 高中数学选择性必修第一册人教B版 小值？.故选C 3 12.方法一：(1)证明：如图1， D 连接BC,ME,M,E分别是BB, BC的中点， ME/BC,且MEBC D 又N为AD的中点， .ND-2AD. 图1 第12题答图 由题设知A BZDC, ..B CLA D,..MELND, .四边形MNDE是平行四边形，.MN∥ED. 又MN4平面CDE,MN∥平面CDE. (2)解：如图1，过C作CE的垂线，垂足为H, 由已知可得DE⊥BC,DE⊥C,C, .DE⊥平面CCE,故DE⊥CH, ·.CH⊥平面CDE,故CH的长即为C到平面CDE 的距离. 由已知可得CE=1,CC=4, CE=V17,故CH=4V17 17 “点C到平面CDE的距离为4Y7 17 方法二：(1)证明：如图2，：直四棱柱ABCD ABCD1的底面是菱形， AA=4,AB=2,∠BAD=60° E,M,N分别是BC,BB, AD的中点， .DD1⊥平面ABCD,DE⊥AD. 以D为原点，DA为x轴，DE 为y轴，DD,为z轴，建立空间直 角坐标系， 图2 M(1,V3,2),N(1,0,2), 第12题答图 D(0,0,0),E(0,V3,0), C(-1,V3,4)MN=(0,-V3,0), DC=(-1,V3,4),DE=(0,V3,0). 设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,z), n-DC=-x+V3y44z=0, 则 n.DE=V3y=0, 取z=1,得n=(4,0,1). MN·n=0,MN4平面C,DE,MN∥平面CDE. (2)解：C(-1,V3,0),DC=(-1,V3,0), 78 平面CDE的一个法向量为n=(4,0,1), ..点C到平面CDE的距离 d=IDC.nl=4-4V17 ml717. >"阶段性练习卷（三） 1.C【解析】点A(2,3,2)关于xOz平面的对 称点为A',A'(2,-3,2) 点B(-2,1,4)关于y轴的对称点为B,B'(2, 1,-4). ·点M为线段A'B的中点，M(2,-1,-1),.lMA= V(2-2)+(-1-3)2+(-1-2)2=5.故选C. 2.C【解析】根据题意，得PA=(-1,3,-3),a= (..1) ma,)-Vg.又miV9,点P(2,-1, 2)到直线1的距离为1Pna,)=V9xVg V17.故选C 3.C【解析】P=(x+2,2,-4),而d=PAml 9,即上224-9，解得=-1或-1l.故选C V4+4+1 4.A【解析】如图所示，过A,作AM⊥CD交CD于 M(此时M与D重合)，易知AP与直线D,C,所成的角 =A,=:A1,系直 D A B 底面ABCD,故A,P与平面ABCD 所成的角为x=∠APA,sina= (MSD p --0 A:A1aBe0,5引 A之- B 第4题答图 故B>a:根据图可知，二面角DrAC-B为ye(受，， 故a<B<y.故选A. 5.A【解析】D,E分别为AB,AC的中点， DE∥BC,.DE⊥BD,DE⊥AD.又BD,ADC平面 ABD,BD∩AD=D,DE⊥平面ABD. 二面角A1DE-B的平面角为∠ADB,∴.∠ADB= 60°. .A D=BD=2,.A B=2. BC∥DE,.BC⊥平面ABD 又ABC平面ABD,BC⊥AB,A1C=VAB+BC =V4+4=2V2,故选A. 6.B【解析】如图所示，过点A作AE⊥l,使BE⊥高中数学选择性必修第一册人教B版 1.2.5空间中的距离 效果评价 A.V B.V2a 2 -a 3 1.在平面直角坐标系中，A(-2,3), C.Va D1a B(3,-2),沿x轴把平面直角坐标系折成 6.已知平行六面体ABCD-ABCD1中， 120°的二面角，则AB的长为（) 以顶点A为端点的三条棱的棱长都等于2， A.V2 B.2V11 且两两夹角都是60°，则A,C,两点间的距 C.3V2 D.4V2 离是 2.已知直线1过定点A(2,3,1),且 7.已知△ABC是以 n=(0,1,1)为其一个方向向量，则点 ∠B为直角的直角三角 P(4,3,2)到直线1的距离为（) 形，SA⊥平面ABC A.3V2 B.V2 SA =BC=2,AB=4,M, 2 N,D分别是SC,AB, c.V10 第7题图 2 D.V2 BC的中点，则点A到平 面SND的距离为 3.如图所示，在长 D 方体ABCD-ABCD1中， 8.如图，在三棱柱ABC D AD=AA1=2,AB=4,点EA ABC1中，所有棱长均为1， 是棱AB的中点，则点E 且AA1⊥底面ABC,则点B1到 第3题图 到平面ACD1的距离为( 平面ABC,的距离为 第8题图 9.如图，在长方体ABCD-ABCD1中， A.1 B号C D.V2 AB=A1=号AD=1,E,F分别是AD,BC 4.已知正方体ABCD-ABCD1的棱长 的中点，P是BD上一点，PF∥平面ECD. 为a,则平面ABD1与平面BDC,的距离为 (1)求BP的长； (2)求点P到平面ECD的距离. A.V2a B.V3a C.V2a D.V3a 3 3 5.已知正方体ABCD-ABCD1的棱长为 a,点E,F分别在AB,BD1上，且AE= 第9题图 }AB,BF=}BD,则EF与平面ABCD, 的距离为() 20)练 第一章空间向量与立体几何。 12.如图，直四棱柱ABCD-ABCD1的 底面是菱形，AA1=4,AB=2,∠BAD=60°， E,M,N分别是BC,BB,AD的中点. (1)求证：MN∥平面CDE; (2)求点C到平面CDE的距离： D B D女 B 第12题图 10.如图所示，在已知 D 直四棱柱ABCD-ABCD,中， 底面为直角梯形，AB∥CD, 且∠ADC=90°，AD=1,CD= 第10题图 V3,BC=2,AA=2,E是 CC1的中点，则AB1到平面ABE的距离为 二面角A-BE-C的余弦值为 提升练习 11.如图所示，在正四棱 D /B 柱ABCD-ABCD1中，AA1= 2,AB=BC=1,动点P,Q分 别在线段CD,AC上，则线 B 段PQ长度的最小值是( 第11题图 A.V B.V3 3 3 c D.V5 3 练(21