第一章 1.2.5空间中的距离 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高二数学人教B版选择性必修一1.2.5空间中的距离课时自测，40分钟70分，通过基础单选、中档多选填空、拔高解答题的三层设计，实现从单一距离计算到综合几何应用的知识巩固，培养空间观念与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一距离公式（点到直线、平面间、点到平面）|单选直接应用公式（如已知三点求点到直线距离）| |中档综合|距离与向量/几何体结合（投影向量、线面关系）|多选融合向量工具（如用投影向量求距离）| |拔高应用|距离计算与证明综合（线面平行证明、几何体中距离）|解答题结合几何体证明与计算（如直三棱柱中点到平面距离）|

2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.5 空间中的距离 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了空间向量法求点、线距离，属基础题． 根据空间向量的点线距离公式求解即可． 【解答】 解：依题意得，， 则点到直线的距离为 ． 故选A． 2.在棱长为的正方体中，平面与平面之间的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，利用向量的距离公式，即可求解． 【解答】 解：建立如图所示的直角坐标系， ​​​​​​​​​​​​​​ 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则 即，解得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离， 故选B． 3.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 此题考查利用向量求点到面的距离． 直接利用点到面的距离的向量求法求解即可． 【解答】 解：因为， 所以， 因为平面的法向量， 所以点到平面的距离． 故选： 4.已知为直线的一个方向向量，点在上，则点到的距离(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查点到直线的距离求法，属于基础题， 的一个单位向量，得解． 【解答】 解：由已知，得向量为直线的一个单位方向向量，， ． 故选C． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则(    ) A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 【答案】ABD  【解析】解：因为，， 所以，故A正确 因为，， 所以，，故B正确 因为，， 所以在上的投影向量为，故C错误 因为，所以的一个单位方向向量为， 因为， 所以点到直线的距离为，故D正确． 故选ABD． 6.在棱长为的正方体中，下列说法正确的有(    ) A. 平面 B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 四棱锥的体积为 【答案】AD  【解析】解：在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 可得，， 对于，因为，所以， 又平面，平面，所以平面，正确； 对于，因为，所以与不垂直， 又因为平面，所以与平面不垂直，错误； 对于，设平面的一个法向量为， 则，令，所以， ，所以点到平面的距离为，错误； 对于，因为， 所以为平面的一个法向量，所以平面， 由正方体的性质知，四边形是矩形，且， 点关于平面对称，且， 所以矩形的面积为，四棱锥的高， 所以四棱锥的体积为，正确． 故选： 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查空间距离的坐标表示，建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可求解． 【解答】 解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接， 由题意得，，，， ，，． 设平面的法向量为，则，即 令，得，  点至平面的距离为． 8.在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查点到面的距离的向量求法，属于基础题． 【解答】 解：  易知，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 在四棱锥中，底面是矩形，点是线段的中点． 求证：平面； 若是等边三角形，，平面平面，求点到平面的距离． 【答案】 证明：连接，交于点，连接， 在四棱锥中，底面是矩形， 是的中点， 点是线段的中点， ， 平面，平面， 平面． 以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，取，得， 点到平面的距离为： ．  【解析】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 连接，交于点，连接，推导出，由此能证明平面； 以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离． 10.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为棱，的中点． 证明：； 求点到平面的距离． 【答案】证明：根据题意可得，，两两相互垂直， 故建系如图： 则，，，， 所以，， 所以，所以； 由可知，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取， 所以点到平面的距离为．  学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.5 空间中的距离 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 2.在棱长为的正方体中，平面与平面之间的距离为(    ) A. B. C. D. 3.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 4.已知为直线的一个方向向量，点在上，则点到的距离(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则(    ) A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 6.在棱长为的正方体中，下列说法正确的有(    ) A. 平面 B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 四棱锥的体积为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为          ． 8.在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分在四棱锥中，底面是矩形，点是线段的中点． 求证：平面； 若是等边三角形，，平面平面，求点到平面的距离． 10.本小题分如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为棱，的中点． 证明：； 求点到平面的距离． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.5 空间中的距离（参考答案） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 题号 1 2 3 4 答案 A B B C 二、多选题：本题共2小题，共12分。 题号 5 6 答案 ABD AD 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7．   8. 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9．（14分） 【详解】 (1) 证明：连接，交于点，连接， 在四棱锥中，底面是矩形， 是的中点， ..........................................................3分 点是线段的中点， ， 平面，平面， 平面． ...............................................................7分 以为坐标原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，，，，， ，，， .............8分 设平面的法向量， 则， ...................................................10分 取， 得， 点到平面的距离为： ． ..........................................................14分 10．（14分） 【详解】 (1) 证明：根据题意可得，，两两相互垂直， 故建系如图： 则，，，，............................4分 所以，， 所以，所以；..........................7分 由可知，，，， 所以，，，.....................10分 设平面的法向量为， 则， 取，.............................................................................12分 所以点到平面的距离为． .........................14分   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.5 空间中的距离 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间中三点，，，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 2.在棱长为的正方体中，平面与平面之间的距离为(    ) A. B. C. D. 3.已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为(    ) A. B. C. D. 4.已知为直线的一个方向向量，点在上，则点到的距离(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.在空间直角坐标系中，已知点，，，，则(    ) A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量为 D. 点到直线的距离为 6.在棱长为的正方体中，下列说法正确的有(    ) A. 平面 B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 四棱锥的体积为 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.如图，在长方体中，，，若为中点，则点到平面的距离为          ． 8.在空间直角坐标系中，、，平面的一个法向量是，则点到平面的距离为          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分在四棱锥中，底面是矩形，点是线段的中点． 求证：平面； 若是等边三角形，，平面平面，求点到平面的距离． 10.本小题分如图，在直三棱柱中，，，，点，分别为棱，的中点． 证明：； 求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $