江苏省南通市崇川区2026-2027学年八年级上学期阶段检测数学试卷（9月份）

江苏省南通市崇川区2026-2027学年八年级（上）阶段检测数学练习卷（9月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图案中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，说明的依据是(    ) A. B. C. D. 3.如图，把长短确定的两根木棍、的一端固定在处，和第三根木棍摆出，木棍固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明(    ) A. 有两边分别相等的两个三角形不一定全等 B. 有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D. 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 4.下列说法正确的是(    ) 有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行； 三角形的中线把三角形的面积平分； 等腰三角形高所在的直线是对称轴． A. B. C. D. 5.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是(    ) A. B. C. D. 角平分线上的点到角两边距离相等 6.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线． 如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线”他这样做的依据是(    ) A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 在角的内部，到这个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 7.如图，在中，直线垂直平分，是直线上的一动点若，，，则周长的最小值是(    ) A. B. C. D. 8.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是全等三角形判定定理中的(    ) A. B. C. D. 9.如图，在方格纸中，以为一边作，使之与全等，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10.如图，点的坐标是，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点的坐标是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，共30分。 11.年月日，中国战略反击体系中的重要组成东风液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象如图，这是东风洲际导弹的示意图，点与点关于轴对称若点的坐标为，则点的坐标为        ． 12.如图，中，，，垂足分别为、，、交于点，请你添加一个适当的条件：          ，使≌． 13.如图是平面镜里看到背面墙壁的电子钟显示数，这时的时间是          ． 14.如图是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图是其侧面结构示意图。托板可绕点转动，支撑板可绕点转动，支撑板的顶端恰好是托板的中点。现量得，当，且射线恰好是的平分线时，点到直线的距离是          。 15.如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标是      ． 16.三角形的两边长分别是和，第三边上的中线长是，则的取值范围是        ． 17.如图，，且，若点，的坐标分别为，，则点的坐标是        ． 18.如图，已知，平分，，若，，则         ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，和的顶点都在边长为的正方形网格线的交点上，且和关于直线成轴对称． 的面积为______； 请在如图所示的网格中作出对称轴； 请在线段的上方找一点不与点重合，画出，使≌． 20.本小题分 如图，中， 试求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且到、两边的距离也相等尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 在的条件下，若，求的度数 21.本小题分 在物理课社团中，大家在测量一个小口圆柱形容器的壁厚时，大胆用到了数学知识发明了“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，只需测得，，就可以知道圆柱形容器的壁厚了． 请你利用所学习的数学知识说明； 求出圆柱形容器的壁厚用含有，的代数式表示 22.本小题分 下面是多媒体上展示的一道习题，请你将过程补充完整． 如图，，是上一点，且，． 求证：． 证明：， ______， ， 在和中，， ≌判定依据，用字母表示：______； ______， ， ，直角三角形的两个锐角______ ______， ， ． 23.本小题分 如图，点，，，在一条直线上，与相交于点，，，求证： 24.本小题分 如图，与相交于点，与相交于点，，， 求证：垂直平分 若为的中点，直接写出图中所有的等腰三角形：        25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中有两点，，连接，点在线段上，连接，若点纵坐标为． 直线的解析式是______； 若，求点的坐标； 将绕点顺时针旋转得到点，设点的坐标为，求与的关系式； 已知直线：，将沿折叠得，当点的对应点恰好落在直线上时，直接写出直线的解析式． 26.本小题分 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． 【问题发现】 如图，当为的中点时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论： ______填“”“”或“”； 【类比探究】 如图，当点为边上任意一点时，探究线段与的大小关系，并写出证明过程； 【拓展延伸】 如图，已知是等边三角形的边的中点，，，分别为射线、射线上一动点，且，若，请直接写出的长． 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，尺规作一个角等于一直角的方法，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据尺规作图可得，由此可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， 依据是， 故选：． 3.【答案】  【解析】解：由题意得到：，，，但与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选：． 由与不全等，可得有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，据此即可解答． 本题考查全等三角形的判定，关键是掌握有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 4.【答案】  【解析】解：有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等： 该角若非夹角，则三角形不一定全等如情况， 错误，不符合题意； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行： 根据平行线判定定理，垂直于同一直线的两直线平行， 正确，符合题意； 三角形的中线把三角形的面积平分： 中线将三角形分为两个等底同高的三角形，面积相等， 正确，符合题意； 等腰三角形高所在的直线是对称轴： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边上的高所在直线， 错误，不符合题意． 故选：． 根据相关定义和性质逐一判断每个说法的正确性． 本题主要考查了全等三角形的判定定理，平行线的判定方法，三角形中线与面积关系，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上定理． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中． 连接，，根据证≌，即可推出答案． 【解答】 解：连接，， 在和中， ， ≌， ， 故选C． 6.【答案】  【解析】解：由题意可知，点到射线的距离是直尺的宽度，点到射线的距离也是直尺的宽度， 点到射线，的距离相等， 点在的平分线上在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 故选：． 由题意可知，点到射线，的距离相等，则点在的平分线上，即可得出答案． 本题考查角平分线的性质，理解题意，掌握角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解答本题的关键． 7.【答案】  【解析】解：如图，连接， 是直线上的一个动点，直线是中边的垂直平分线， ， ， 最小为， ，， ． 周长的最小值是． 故选：． 由垂直平分线的性质可得，进而得到周长的最小值是，最后代入数据求解即可． 本题考查垂直平分线的性质、求最短距离问题等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 详细解答和解析过程见【答案】 【解答】 解：由作图过程得：，，， ≌，  ， 故选B． 9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】  【解析】解：点与点关于轴对称，点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 本题考查的是关于轴、轴对称的点的坐标，坐标确定位置，熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键． 12.【答案】答案不唯一  【解析】解：，，垂足分别为、， ， 在中，， 又， ， 在和中，， ， ， 所以根据添加； 可证≌． 故填空答案：． 开放型题型，根据垂直关系，可以判断与有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了． 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 13.【答案】  14.【答案】  【解析】解：过点作，垂足为，    顶端恰好是托板的中点，， ，  射线恰好是的平分线，，，  ，  点到直线的距离是． 故答案为：． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过和分别作于，于，利用已知条件可证明≌，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标． 【解答】 解：过和分别作于，于， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，，， ，， ， 则点的坐标是 故答案为． 16.【答案】  【解析】解：如图所示，延长至，使， ，，为边上的中线，且， 则， 在与中， ， ≌， ， ， ，即， ， 故答案为：． 倍长中线构造全等三角形，再根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． 本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握有关三角形的中线问题，通常要倍长中线构造全等三角形是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：点，的坐标分别为，， ，， ， ， ， 在与中， ， ≌， ，， ， ， 故答案为：． 由点，的坐标分别为，，得到，，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：在的延长线上取点，使，连接， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 平分， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， 在的延长线上取点，使，连接，则可证得为等边三角形，再结合条件可证明≌，可得，再利用线段的和差可求得，则可求得． 本题主要考查等边三角形的判定和性质和全等三角形的判定和性质，构造再证≌是解题的关键． 19.【答案】     【解析】的面积为． 故答案为：． 如图，直线即为所求． 如图，即为所求． 利用割补法求三角形的面积即可． 结合轴对称的性质作图即可． 结合全等三角形的判定画图即可． 本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． 20.【答案】【小题】解：如图所示：点即为所求 【小题】解：连接，， 由题意可得：是的角平分线，垂直平分， 则，， 故， 则， ，， ， 的度数为：   【解析】解：如图所示：点即为所求； 连接，， 由题意可得：是的角平分线，垂直平分， 则，， 故， 则， ，， ， 的度数为：． 利用线段垂直平分线的作法结合角平分线的作法进而得出答案； 利用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质得出，结合三角形内角和定理得出答案． 此题主要考查了线段垂直平分线的性质与画法以及角平分线的性质与画法，正确得出是解题关键． 21.【答案】，，   ，   ，   在和中，   ，   ≌，      【解析】证明：，，  ，  ，  在和中，  ，  ≌，    由≌可知：，  ，  ． 证明≌，即可得出结论；  由知，，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的应用以及列代数式，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．属于中考常考题型． 22.【答案】；；；；；互余；．  【解析】证明：， 等边对等角， ， 在和中， ， ≌； 全等三角形的对应角相等， ， 直角三角形的两个锐角互余，， ， ． 故答案为：；；；；；互余；． 根据等角对等边可得，再结合已知论证两直角三角形全等，从而得到，最后通过等量代换得到结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、垂直的定义、等腰三角形的性质，关键是斜边直角边定理的应用． 23.【答案】证明：， ， 在和中，   【解析】本题考查全等三角形的判定，由，得到，即可证明； 24.【答案】【小题】 证明：与相交于点， ． 在和中， ， ≌， ． 又， 是线段的垂直平分线， 故垂直平分 【小题】 ，，，   【解析】证明：与相交于点， ． 在和中， ， ≌， ． 又， 是线段的垂直平分线， 故垂直平分； 解：图中所有的等腰三角形有：，，，理由如下： 是的垂直平分线， ，． 点是的中点， ， 垂直平分， ， ，，，都是等腰三角形， 故答案为：，，，． 证明≌得，结合即可证明； 由得，，由点是的中点，得垂直平分，从而得，由此即可写出图中的等腰三角形． 本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键． 25.【答案】      或  【解析】解：设直线的解析式为，将两点，代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 故答案为：； 根据题意得：， ， 即， 解得或舍去， 将代入得，， 解得， 则点的坐标为； 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设点， 将绕点顺时针旋转得到点， 、， ， ，， ， ≌， 、， 点，点的坐标为， ，，，，， ，， 点位于第四象限，点位于第三象限， ，即， 将代入得：， 即， 与的关系式为； 设点，点， 由折叠的性质得， 则，即， 解得或， 当时，， 此时点，即点； 当时，， 此时点， 由折叠的性质得， 当时， ， ， 则， 解得， 令时，， 此时点， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得， 则直线的解析式为； 当时， ， ， 则， 解得， 令时，此时点， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得， 则直线的解析式为，； 综上所述，直线的解析式为或． 利用待定系数法求解即可； 根据三角形的面积公式得到，进而得到，利用直线的解析式为进行求解即可； 过点作轴于点，过点作轴于点，易证得≌，根据全等三角形的性质得到、，设点，点的坐标为，根据旋转的性质得到，将代入进行求解即可； 设点，点，由折叠的性质得，进而得到点或，分情况讨论，利用，求出点坐标，利用待定系数法进行求解即可． 本题考查一次函数的解析式、点的坐标特征、旋转的性质、折叠的性质，熟练掌握利用待定系数法求解析式，分类讨论的思想方法是解题的关键． 26.【答案】；   ，证明见解析过程；   的长为或．  【解析】为等边三角形，为的中点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ，证明如下： 如图，过点作，交于点， ， 为等边三角形，， ， 又， 为等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ； 的长为或，理由如下： 当点在线段的延长线上时， 如图，作交于点， ， 由知为等边三角形， ，， 为等边的边的中点， ，， ， ， ， ，， ，， 在和中， ， ≌， ； 当点在线段上时，如图， ， 同理可证明≌， 则， 综上所述，的长为或． 由等边三角形的性质可得，，，从而得到，由等边对等角结合三角形外角的定义及性质可得，即可推出； 过点作，交于点，结合等边三角形的判定与性质，证明≌即可得证； 分两种情况：当点在线段的延长线上时，当点在线段上时，分别求解即可得到答案． 本题属于三角形综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $