精品解析：江苏省南通市第二初级中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

南通市第二初级中学 2025-2026学年第一学期第二次学情调研 八年级数学 （时间：150分钟 总分：150分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 近年来，中国在全球新能汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场，以下几个新能源汽车车标中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，故符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 下列各式：中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式的定义判断即可． 【详解】解：，是分式，共2个， 故选B． 【点睛】本题考查分式，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法依次对各选项逐一分析判断即可．解题的关键是掌握整式运算的相关法则． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 若能与合并，则a的值可以是（ ） A. B. 1 C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，解题的关键是掌握同类二次根式可以合并的性质． 根据同类二次根式的定义，判断每个选项中的化简后是否与是同类二次根式（即被开方数相同），从而确定能否合并． 【详解】解：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式可以合并． A、因为二次根式的被开方数不能为负数，时无意义，所以不符合要求； B、当时，，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； C、当时，与被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并； D、当时，，与的被开方数相同，是同类二次根式，可以合并． 故选：D． 5. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 6. 若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. ﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】先将式子（x2+2x+4）（x+k）展开，根据关于x的多项式乘多项式（x2+2x+4）（x+k）的结果中不含有x的一次项，可以求得k的值． 【详解】解：（x2+2x+4）（x+k） ＝x3＋kx2+2x2+2kx+4x+4k ＝x3＋（k+2）x2+（2k+4）x+4k， ∵关于x的多项式乘多项式（x2+2x+4）（x+k）的结果中不含有x的一次项， ∴2k+4＝0， 解得，k＝−2， 故选D． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 7. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 8. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程是解题的关键．根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天，根据题意列方程得，解答即可． 【详解】解：根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天， 根据题意列方程得， 故选：A． 9. 如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为( )． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由角平分线的定义，垂直的定义推出，由等腰三角形的性质得到．延长交于，由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形面积公式推出的面积的面积，的面积的面积，即可得到的面积＋的面积的面积，于是得到的面积． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积，的面积的面积， 的面积＋的面积的面积＋的面积的面积， 的面积． 故选：B． 10. 已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，根据它的解集得到a的取值范围，再解关于y的分式方程，根据分式方程的解为正整数得到所有满足条件的整数a的值，然后求和即可． 【详解】解：解一元一次不等式组， 解①得：x≤a， 解②得：x≤5， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴a≤5， 解关于的分式方程， 得：y﹣a+2y﹣5=y﹣2，解得：， ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴a=5或3或1或﹣1， 当a=1时，y=2为分式方程的增根，故舍去， ∴所有满足条件的整数的和为5+3+（﹣1）=7， 故选：C． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解、有理数的加减混合运算，熟练掌握一元一次不等式组和分式方程的解法，正确求得a值是解答的关键，注意分式方程要验根． 二、填空题（共8小题，第11-12题每题3分，第13-16题每题4分，第16题每空2分，共22分） 11. 2015年诺贝尔生理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了一种长度约为0.000000456毫米的病毒，把0.000000456用科学记数法表示为_____． 【答案】4.56×10-7 【解析】 【分析】用a×10n或a×10-n的形式（其中1≤| a|＜10，ｎ是正整数）来表示一个大于10或小于１的正数的方法叫科学记数法． 【详解】0.000000456=4.56×10-7 【点睛】本题考核知识点：科学记数法.解题关键点：熟记科学记数法的意义． 12. 分解因式：2a3﹣8a=________． 【答案】2a（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】． 13. 若分式有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：分式有意义， 则， ∴， 故答案为：． 14. 已知点与点关于x轴对称，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，掌握对称点的坐标规律是解题的关键．根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出a和b，再计算即可求解． 【详解】解：与点关于x轴对称， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得出各个角之间的等量关系，最后再利用三角形的内角和定理计算，即可得出答案． 【详解】解：的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 是自然数，若满足，则___________，若，则___________． 【答案】 ①. ②. 3或5##5或3 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 对于第一个方程，通过配方化为平方和为零的形式求解； 对于第二个空：先根据完全平方公式变形，再结合x， y是自然数讨论即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴且， 解得，． 因此； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵x，y是自然数， ∴，或，． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 当，时， 或， ∴或， ∴或． 故答案为：；3或5． 三、解答题（共9小题，共98分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，负指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负指数幂，再按有理数混合运算法则计算即可； （2）先计算二次根式除法，再化简二次根式，最后计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解分式方程： 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，以及分式的化简求值，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）先计算括号，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： ， 当时，； （2）解：， ， ， ， 检验：当时，， 故是分式方程的解． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图． （1）画出关于轴对称的图形（点分别对应点），并写出三个顶点的坐标； （2）的面积 （3）请在轴上找出一点，使的值最小，标出点的位置（保留作图痕迹）． 【答案】（1）如下图，即为所求，，， （2）2 （3） 如图所示，点即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称作图等知识，熟练掌握轴对称的性质和作图方法是解题的关键． （1）根据轴对称的性质确定点的位置，顺次连接即可；根据图形，写出点的坐标； （2）利用割补法求解即可； （3）作出点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的面积． 故答案为：2； 【小问3详解】 略 20. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 【答案】（1）该小区绿化的总面积平方米； （2）完成绿化共需要元． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清题意列出相应的式子是解题的关键． （1）绿化的总面积矩形面积个正方形面积，利用多项式乘多项式法则，然后合并同类项即可得出答案； （2）将与的值代入求出绿化的面积，再根据绿化成本为元/平方米，即可得出答案． 【小问1详解】 解：依题意得： ， 答：该小区绿化的总面积平方米； 【小问2详解】 解：当，时， ， ∴（元） 答：完成绿化共需要元． 21. （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的运用，熟记完全平方公式是解答的关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； （2）∵，， ∴． 22. 小华计划购买A，B两种型号的笔记本，已知A，B两种型号笔记本的单价比是3：2，用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，求A，B两种笔记本的单价． 【答案】A笔记本的单价为30元/本，则B笔记本的单价为20元/本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A笔记本的单价为3x元/本，则B笔记本的单价为2x元/本，根据用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，列出分式方程，解方程，即可 【详解】解：设A笔记本的单价为3x元/本，则B笔记本的单价为2x元/本． 由题意，得，解得． 经检验，原分式方程的解是，且符合题意． 元/本，元/本 答：A笔记本的单价为30元/本，则B笔记本的单价为20元/本． 23. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在和中， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 由（1)可知：， ， ， ， ． 24. 阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； （2）已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； （3）若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 【答案】（1）是， （2）①；② （3）c的值为4或16 ． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）计算，整理得：，确定，根据题意求解即可． 【小问1详解】 解：A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； 【小问2详解】 解：①∵， ∴ ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； 【小问3详解】 ， ∵， ∴原式， ∴，即， ∴， ∴， ∵a，b为整数， ∴一定为5的约数， ∴或或1或5， 解得：或0或6或10， ∴或4或10或6， ∴或1， ∴c的值为4或16 ． 25. 综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） （3） 解：，证明如下： 如图，延长至使得，连接， 等腰直角三角形， ， ，，， ， ，，， ， 等腰直角三角形且， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题实质属于手拉手模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形和等腰三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质得到，，，再利用全等三角形判定定理证出，即可得出结论； （2）连接和交于点，和交于点，利用等腰直角三角形的性质证出，得到，，进而得到，得出四边形面积，再利用线段的性质求出的最大值，即可求出四边形面积的最大值； （3）延长至使得，连接，先证出，得到，，再通过证明得到，最后利用线段的和差即可得出结论． 【小问1详解】 解：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图，连接和交于点，和交于点， 和都是等腰直角三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 四边形面积， ， ， 四边形面积的最大值是． 故答案为：． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南通市第二初级中学 2025-2026学年第一学期第二次学情调研 八年级数学 （时间：150分钟 总分：150分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 近年来，中国在全球新能汽车领域占据着重要地位，已连续多年成为全球最大的新能源汽车市场，以下几个新能源汽车车标中，轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式：中，分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若能与合并，则a的值可以是（ ） A. B. 1 C. 6 D. 12 5. 如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（ ）   A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 6. 若关于x的多项式（x2+2x+4）（x+k）展开后不含有一次项，则实数k的值为（　　） A. ﹣1 B. 2 C. 3 D. ﹣2 7. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（ ） A. 7 B. C. D. 无法确定 8. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为( )． A. B. C. D. 10. 已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的和为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 二、填空题（共8小题，第11-12题每题3分，第13-16题每题4分，第16题每空2分，共22分） 11. 2015年诺贝尔生理学或医学奖得主中国科学家屠呦呦，发现了一种长度约为0.000000456毫米的病毒，把0.000000456用科学记数法表示为_____． 12. 分解因式：2a3﹣8a=________． 13. 若分式有意义，则的取值范围是__________． 14. 已知点与点关于x轴对称，则_________． 15. 如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则_______°． 16. 是自然数，若满足，则___________，若，则___________． 三、解答题（共9小题，共98分） 17. 计算： （1）； （2） 18. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解分式方程： 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，，按下列要求作图． （1）画出关于轴对称的图形（点分别对应点），并写出三个顶点的坐标； （2）的面积 （3）请在轴上找出一点，使的值最小，标出点的位置（保留作图痕迹）． 20. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． （1）求该小区绿化的总面积； （2）若，，绿化成本为50元／平方米，则完成绿化共需要多少钱？ 21. （1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 22. 小华计划购买A，B两种型号的笔记本，已知A，B两种型号笔记本的单价比是3：2，用480元购买A型号的笔记本的数量比用360元购买B型号笔记本的数量少2本，求A，B两种笔记本的单价． 23. 如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 24. 阅读：如果两个分式A与的和为常数，且为正整数，则称A与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则A与互为“关联分式”，“关联值”． （1）若分式，判断A与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； （2）已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①__________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于__________； （3）若分式（为整数且），是的“关联分式”，且“关联值”，求的值． 25. 综合与实践： 【问题情境】 （1）八上课本中有这样一道习题：如图1，和都是等边三角形，连接，．同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 （2）如图2，和都是等腰直角三角形，．若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 （3）如图3，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $