必修1 函数的单调性与最值（分类整理题型+含详细解析）
第1讲 函数的单调性与最值
一、知能要点
1、函数的单调性
(1)单调函数的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D
I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1<x2，则有：
f(x)在区间D上是增函数⇔f(x1)<f(x2)；
f(x)在区间D上是减函数⇔f(x1)>f(x2)．
(2)函数单调性的两种等价形式
设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么
＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数.
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在[a，b]上是减函数.
(3)单调区间的定义
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，
则区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
(4)求单调区间的常用方法：①图象法，②定义法，③复合函数的单调性判定法.
(5)单调性的有关结论
若
均为增(减)函数，则
也为增(减)函数.
若
为增(减)函数，则
为减(增)函数.
若的单调性相同(相反)，则复合函数
为增(减)函数. (即：同增异减)
2、函数的最值
前提 | 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 | |
条件 | (1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. | (1)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M. |
结论 | M为最大值 | M为最小值 |
二、知能运用典型例题
(一)定义法
1、(2016·威海模拟)已知f(x)为R上的减函数，则满足
的实数x的取值范围是 ．
解析：依题意得
＜1，即
＞0，解得x＜0或x＞1，所以x的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞).
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2、已知f(x)＝
(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证：f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：当a＝－2时，f(x)＝
(x≠－2)．
任取x1<x2<－2.则f(x1)－f(x2)＝
－
＝
.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)<f(x2)．
∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解：任取1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝
－
＝
.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，
只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述，a的取值范围为(
0,1]．
(二)图像法
1、函数
在区间
上递减，则
的取值范围是( B )
A.
B.
C.
D.
2、若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝
在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是( D )
A.(－1，0)∪(0，1) B.(－1，0)∪(0，1] C.(0，1) D.(0，1]
3、(2016·潍坊模拟)设函数f(x)＝
若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围
是( )
A.(－∞，1] B.[1，4] C.[4，＋∞) D.(－∞，1]∪[4，＋∞)
解析：作出函数f(x)的图象，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，
需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.
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(三)复合函数判断法
6、函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
解析：要使y＝log5(2x＋1)有意义，则2x＋1>0，即x>－
，而y＝log5u为(0，＋∞)上的增函数，
当x>－时，u＝2x＋1也为R上的增函数，故原函数的单调增区间是
. 答案：
7、函数
单调递减区间是 .
答案：
8、已知函数 ，则函数
的单调增区间为 .
答案：
和
(四)
与
9、函数
的单调递减区间为 .
【解析】由于
，作出函数
的图象
则由图象可知，故函数的单调递减区间为和.
10、函数
的单调递增区间为 .
【解析】作出函数的图象如下图所示，
由图象可知，函数的单调递增区间为
和
.
(五)抽象函数
11、设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是( C )
A．y＝[f(x)]2是增函数 B．y＝
是减函数
C．y＝－f(x)是减函数 D．y＝|f(x)|是增函数
解析：因为f(x)为增函数，所以y＝－f(x)一定为减函数，而y＝[f(x)]2，y＝
，y＝|f(x)|单调性不一定，故选C.
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