2.6.1直线与圆的位置关系作业设计-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

高中数学湘教版选择性必修第一册 2.6.1《直线与圆的位置关系》课时作业设计 一、作业设计说明 1. 设计依据 本课时是湘教版选择性必修第一册第2章“平面解析几何初步”中2.6节的核心内容，承接直线的方程、圆的方程等前置知识，下启圆与圆的位置关系。课标要求：能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能用代数方法研究几何问题，体会数形结合、转化与化归思想。作业设计紧扣“直观想象、数学运算、逻辑推理”等核心素养，兼顾基础巩固与综合创新。 2. 学情分析 学生已掌握直线的方程（点斜式、两点式、一般式）、圆的方程（标准方程与一般方程）、点到直线的距离公式等基础知识，具备利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆位置关系的知识基础。但在含参讨论、切线方程的求法、弦长公式的灵活运用、动点轨迹等综合问题上仍需通过分层作业加以提升。 3. 作业目标 （1）能准确判断直线与圆的相交、相切、相离三种位置关系。（2）会求过圆上一点和过圆外一点的圆的切线方程，会求直线被圆截得的弦长。（3）能利用直线与圆的位置关系解决含参范围、定点定值、轨迹等综合问题。（4）在解题中发展数形结合、转化化归、分类讨论等数学思想。 4. 作业结构 层级 题号 题型 建议用时 要求 基础巩固 1—5 单选题 20分钟 必做 能力提升 6—8 多选题、填空题 15分钟 必做 拓展探究 9—10 解答题 20分钟 选做或小组合作 总建议用时：45—55分钟。难度分布：容易题约30%，中档题约50%，较难题约20%。 二、作业内容 【基础巩固】 一、单选题 1. 直线 与圆 的位置关系是（　） A. 相交且过圆心 B. 相切 C. 相离 D. 相交但不过圆心 2. 对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是（　） A. 相离 B. 相切 C. 相交但直线不过圆心 D. 相交且直线过圆心 3. 已知过点P(2,2)的直线与圆相切，且与直线垂直，则 （　） A. B. C. D. 4. 已知直线:与圆C:相离，则实数的取值范围是（　） A. (0) B. C.() D. 5. 已知圆C:，若在圆C上存在两点A,B,使|AB|=，且AB的中点M在直线上，则实数 m的取值范围是（　） A. [,] B. [-5,5] C. (-5,5) D. [,] 【能力提升】 二、多选题 6. 已知直线:和圆O:，则（　） A. 直线恒过定点(0,1) B. 存在使得直线与直线垂直 C. 直线与圆O可能相切 D. 直线被圆O截得的最短弦长为 7. 已知圆 C:，则下列说法正确的是（　） A.圆C关于直线 y=x对称的圆的方程为 B. 直线 y=x+1被圆C截得的弦长为 C. 若圆C上有四个点到直线x-y+m=0的距离等于1，则m的取值范围是 D. 若点P(x,y)是圆C上的动点，则的取值范围是[,] 三、填空题 8. 已知直线过点P(2,4)，且与圆 O: 相切，则直线的方程为________。 【拓展探究】 四、解答题 9. 已知圆C经过A(-2,)，B(2,6)两点，且圆心在直线上。 （1）求圆C的标准方程； （2）若直线过点P(0,5)且被圆C截得的弦长为，求直线的方程。 10. 已知圆 C:。 （1）若圆C与直线x+2y-4=0相交于M,N两点，且|MN|=，求m的值； （2）在（1）的条件下，是否存在直线满足：直线与直线x+2y-4=0垂直，且被圆C截得的弦长为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。 三、参考答案与解析 1. D 【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离后与半径比较即可判断。 【详解】圆 的圆心为C(1,-1)，半径r=3。圆心C(1,-1)到直线 的距离为。因为d=2.2<3=r，所以直线与圆相交。又因为，所以直线不过圆心。故选D。 2. C 【分析】先确定直线恒过的定点，判断定点与圆的位置关系，即可得出直线与圆的位置关系。 【详解】直线恒过定点(0,1)。将(0,1)代入，知定点(0,1)在圆 内，所以直线与圆一定相交。又圆心(0,0)不满足直线方程，所以直线不过圆心。故选C。 3. C 【分析】先求出切线的斜率，再根据两直线垂直的条件求出的值。 【详解】圆的圆心为C(0,1)，半径。设切线斜率为k，则切线方程为y-2=k(x-2,即kx-y-2k+2=0.圆心C(0,1) 到切线的距离 ，解得 k=-2经检验为切线斜率）。因为切线与直线 ax-y+1=0垂直，,即.故选C。 4. B 【分析】将圆化为标准方程，求出圆心和半径，根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离大于半径，解不等式即可。 【详解】圆 C:化为标准方程得 ，所以圆心 C(0,1)，半径（需2m+1>0，即）。圆心C(0,1)到直线x-y+2=0的距离 。因为直线与圆相离，所以 d>r，即，解得。结合 ，得。故选B。 5.D 【分析】先求出圆C的圆心和半径，再根据弦长求出圆心到 AB中点的距离，将问题转化为圆心到直线的距离范围问题。 【详解】圆C:化为标准方程得，圆心 C(-1,2)，半径r=2。因为|AB|=，AB的中点为M，所以 |CM|=。又 M在直线2x+y+m=0上，所以圆心C(-1,2)到直线2x+y+m=0的距离 ，即 ，解得。故选D 6. ABC 【分析】逐一分析每个选项，利用直线过定点、两直线垂直条件、直线与圆的位置关系及弦长公式进行判断。 【详解】 对于A，将x=0代入得=1,所以直线恒过定点 (0,1)，A正确。 对于B，两直线垂直的条件是 ，即k-k=0，恒成立。所以对任意k，两直线都垂直,B正确。 对于C，直线恒过(0,1),该点在圆上，所以直线与圆O至少有一个公共点 (0,1)，即直线与圆O一定相交或相切。当 k=0时，直线为 y=1，与圆相切于点 (0,1)。所以存在k=0使得直线与圆相切，C正确。 对于D，直线过定点(0,1)，该点在圆上，所以直线与圆相交时，弦所在直线过圆上一点。圆 的圆心,1)的连线为 y轴，弦垂直于y轴，即弦为水平线 y=0（当 k趋于无穷大时，直线趋于x=0，所以弦长的取值范围是，在内，但不是最小的，故D错误 7. AC 【分析】将圆 C化为标准方程，逐一判断每个选项。 【详解】圆 C:化为标准方程得 ，圆心C(2,0)，半径r=2。 对于A，圆C关于直线y=x对称的圆的圆心为C'(0,2),半径仍为2，所以对称圆的方程为 ，即，A正确。 对于B，圆心C(2,0)到直线y=x+1即x-y+1=0的距离 ，所以直线与圆相离，没有交点，更谈不上弦长，B错误。 对于C，圆C上有四个点到直线 x-y+m=0的距离等于1。圆心C(2,0)到直线的距离 。因为圆上有四个点到直线的距离等于1，所以d<2-1=1，即 ，解得。所以C错误。 对于D，表示圆上的点(x,y)与定点(-1,-2)连线的斜率。设过(-1,-2)的直线方程为 y+2=k(x+1)$，即.该直线与圆 相切时，圆心(2,0)到直线的距离等于半径 2：，k=0或 k=。所以斜率的取值范围是[0,],所以D错误. 8. x=2或 3x-4y+10=0 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求解。 【详解】圆 O:的圆心为(0,0)，半径r=2。 当直线的斜率不存在时，直线方程为x=2,圆心(0,0)到直线的距离为2，等于半径，所以相切，满足条件。 当直线的斜率存在时，设直线方程为y-4=k(x-2)，即 kx-y-2k+4=0。圆心到直线的距离 ，即。解得。所以直线方程为 y-4=(x-2)，即 3x-4y+10=0。 综上，直线的方程为x=2或3x-4y+10=0。 9. 【详解】 (1) 由题意知，设圆C的圆心为,半径为r,则圆C的方程为,因为圆C过A(-2,2)，B(2,6)两点，且圆心在直线上，所以 解得,故圆C的方程为. (2)设直线与圆C交于M，N两点，则，设D是线段MN的中点，则,所以， 在直角三角形MCD中，可得.当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为,满足题意；当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为，则直线的的方程为,即.由点C到直线MN的距离公式知,解得,此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或 10.【详解】 （1）圆化为标准方程得，圆心 C(1,2)，半径 （m<5）。 圆心 C(1,2)到直线 x+2y-4=0 的距离 。 弦长 |MN|=。 已知|MN|=，所以 ，解得 m=4。 （2）由（1）知 m=4，圆 C:，圆心 C(1,2)，半径 r=1。 设直线 与直线x+2y-4=0垂直，所以直线的斜率 k=2，所以设方程为y=2x+b，即2x-y+b=0。 直线被圆C截得的弦长为，则圆心到直线的距离 d'==这是不可能的，因为 r=1，弦长>2r=2，所以不存在这样的直线。 四、作业评价量表 评价维度 评价标准 自评 互评 师评 完成度 必做题全部完成，选做题有尝试 ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ 正确率 基础题正确率≥80%，综合题有思路 ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ 规范性 方程化简、结论表述、作图规范 ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ 思维深度 能多角度思考，有错题归因 ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ 订正反思 能多角度思考，有错题归因 ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆ 等级：A（25—21星）、B（20—16星）、C（15—11星）、D（10星以下）。 五、设计反思 本作业设计以“直线与圆的位置关系”为核心，按“基础—能力—拓展”分层，覆盖判断位置关系、切线方程、弦长计算、含参范围等典型问题。基础题强调通性通法（几何法与代数法），能力题突出多选辨析与含参讨论，拓展题指向数学运算与逻辑推理的综合运用。建议教师根据学情，将第10题作为小组合作探究题，课堂展示“直线与圆综合问题”的转化过程，进一步提升学生的数学建模与逻辑推理素养。在实际使用中，可根据学生水平适当调整题目参数，确保作业的适切性和有效性。 学科网（北京）股份有限公司 $