2.6.2圆与圆的位置关系教学设计-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆与圆的位置关系，涵盖五种位置关系定义、代数与几何判断方法及公共弦、公切线问题。通过视频导入激活旧知，回顾直线与圆位置关系，搭建从旧知到新知的迁移支架，梳理解析几何图形位置关系研究脉络。 特色在于采用探究式教学，结合几何画板动态演示与小组讨论，渗透数形结合与类比推理思想，如推导公共弦方程时引导学生联立方程相减，培养直观想象与逻辑推理素养。分层作业设计兼顾差异，助力教师高效教学，提升学生知识应用与创新意识。

教学设计 课题 2.6.2 圆与圆的位置关系 设计者 姚莉娟 课型 新授课 课时 第二课时 课程标准要求：《数学课程标准》（2022 年版）要求学生能从生活情境、数学情境中抽象概括几何图形的位置关系与性质，掌握圆与圆位置关系的判断方法，形成逻辑推理和直观想象能力；能运用解析几何的思想方法解决图形位置关系问题，积累数学活动经验，发展核心素养。通过观察、探究、推理等过程，培养用数学眼光发现问题、用数学思维分析问题、用数学语言表达结论的能力，体现 “人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展” 的新课程理念。 学习内容分析：学习内容分析：本节课是湘教版选择性必修第一册第二章 “平面解析几何初步” 的第六节第二课时，承接直线与圆的位置关系，是解析几何中图形位置关系研究的延伸。核心内容包括圆与圆的五种位置关系定义、代数与几何两种判断方法，以及公共弦、公切线相关问题的求解。本节课既是对直线与圆位置关系研究方法的迁移应用，也是后续学习圆锥曲线位置关系的基础，在解析几何知识体系中起到承上启下的作用。 课程内容注重数形结合思想的渗透，通过 “形” 的直观感知与 “数” 的定量计算相结合，培养学生的数学思维能力。 学习主体分析：高二学生已掌握直线与圆的位置关系、圆的方程、两点间距离公式等基础知识，具备一定的类比推理和数形结合能力。但学生抽象思维仍需巩固，对 “代数法与几何法的优劣对比”“公共弦方程的适用条件” 等难点理解可能存在障碍。 学生思维活跃，乐于参与动手操作和探究活动，适合通过动态演示、小组讨论等方式激发学习兴趣，帮助其从直观感知上升到理性认知。 学习目标分析： 1、 单元目标 1. 掌握平面解析几何中图形位置关系的研究方法，能运用方程思想解决直线与圆、圆与圆的位置关系问题。 2. 理解数形结合、类比推理等数学思想，提升逻辑推理和直观想象核心素养。 3. 能解决与圆相关的公共弦、公切线、参数求解等综合问题，为后续圆锥曲线学习奠定基础。 二、本节目标 1. 掌握圆与圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）的定义及特征。 2. 理解并熟练运用代数法（联立方程判 Δ）和几何法（圆心距与半径关系）判断圆与圆的位置关系。 3. 能求解两相交圆的公共弦所在直线方程及弦长，解决两圆相切时的公切线问题，提升数学应用能力。 4. 在探究过程中体会数学知识的内在联系，培养合作探究精神和创新意识（思政目标）。 重点难点分析： 教学重点： 1.圆与圆五种位置关系的定义及几何特征。 2.几何法（圆心距 d 与两圆半径 r₁、r₂的关系）判断圆与圆的位置关系。 3.两相交圆的公共弦所在直线方程及弦长的求解。 教学难点： 1.代数法判断时对 “相切（内切 / 外切）”“相离（外离 / 内含）” 具体类型的区分。 2. 公切线方程及公共弦性质的综合应用。 教学方法和手段： 1. 教学方法：采用类比教学法、探究式教学法、讲练结合法，以 “旧知迁移 — 探究新知 — 典例巩固 — 拓展提升” 的模式展开教学。 2. 教学手段：借助多媒体课件（动态演示两圆位置关系）、几何画板、圆形纸片等教具辅助教学。 3. 教具：多媒体设备、几何画板软件、视频、学习任务单。 学习评价设计：依据课程标准和本节课学习目标，结合探究式教学模式，评价聚焦以下三个维度： (1) 过程性评价：通过课堂提问、小组讨论表现、动手操作参与度，评估学生的探究能力和合作意识。 (2) 成果性评价：通过针对训练、巩固练习、拓展题作答情况，检测学生对知识的掌握程度和应用能力。 (3) 素养评价：关注学生在解题过程中数形结合、类比推理思想的运用，评估逻辑推理和直观想象核心素养的发展。 学 习 活 动 设 计 环节一 视频导入 教师活动 学生活动 出示视频，激励学生，增强学生的自信心。 通过观看视频，激励学生。 设计意图说明：通过视频，激励学生，增强学生的自信心。 环节二 出示课题、目标 教师活动 学生活动 利用多媒体课件出示本节课的学习目标： 1. 掌握圆与圆的五种位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）的定义及特征。 2. 理解并熟练运用代数法（联立方程判 Δ）和几何法（圆心距与半径关系）判断圆与圆的位置关系。 3. 能求解两相交圆的公共弦所在直线方程及弦长，解决两圆相切时的公切线问题，提升数学应用能力。 4. 在探究过程中体会数学知识的内在联系，培养合作探究精神和创新意识（思政目标）。 利用多媒体课件出示本节课的学习目标： 1. 掌握圆与圆的五种位置关系及定义； 2. 会用代数法和几何法判断圆与圆的位置关系； 3. 能解决公共弦、公切线相关问题； 4. 培养合作探究精神和数学应用能力。 设计意图说明：出示目标，让学生明白本节课学什么，学到什么程度，全面提高学习效率.，为本节课的新学内容做好准备. 环节三 激活旧知（活动一） 教师活动 学生活动 问题1 前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，那么直线与圆有哪些位置关系？ 问题2 如何判断直线与圆的位置关系？ 学生回顾、思考，回答问题。 设计意图说明：激活旧知，为本节课内容做铺垫。 环节四 新知探究（认识位置关系） 教师活动 学生活动 问题：1.通过图形的动画，引导学生结合操作结果，归纳圆与圆的位置关系，补充完善五种位置关系的定义（外离、外切、相交、内切、内含）。 2. 用多媒体课件动态演示五种位置关系，标注公共点个数、圆心距与半径的直观关系。 学生思考，共同提问完成。 设计意图说明：通过图形动画，让学生主动探究，培养观察能力和归纳能力，动态演示帮助学生建立 “形” 的认知。 环节五 新知探究（判断方法） 教师活动 学生活动 1. 类比直线与圆的判断方法，提出问题：如何用代数方法（方程）判断圆与圆的位置关系？ 2. 引导学生联立两圆一般方程，消元得到一元二次方程，分析判别式 Δ 与公共点个数的关系，归纳代数法判断规则。 3. 提出几何法思路：圆心距 d 与两圆半径 r₁、r₂的关系能否判断位置？引导学生结合图形探究数量关系，总结几何法判断规则。 4. 对比两种方法的优劣：代数法可求公共点，几何法更简便准确。 学生积极思考，分组讨论，交流展示。 设计意图说明：通过类比推理培养学生的数学思维，让学生参与判断方法的推导过程，理解 “数” 与 “形” 的对应关系，明确两种方法的优劣，提升逻辑推理能力。 环节六 典例精析 教师活动 学生活动 多媒体课件出示例5题，让学生用两种方法解决。 学生按照要求，完成例5题。 设计意图说明：通过典例精析巩固两种判断方法，强化核心知识点的掌握，让学生体会几何法的便捷性，为后续综合应用奠定基础。 环节七 典例衍生（公共弦与公切线） 教师活动 学生活动 以典例为基础，提出问题： 1. 两圆相交时，如何求公共弦所在直线方程？引导学生将两圆方程相减，推导得出公共弦方程公式。 2. 追问：如何求公共弦长？介绍代数法（求交点算距离）和几何法（勾股定理），重点讲解几何法的简便性。 3. 出示两圆内切例题，引导学生探究公切线方程的求解方法，强调切点的唯一性及连心线与公切线的垂直关系。 4. 追问：两圆相离时，方程相减得到的直线是什么？举例说明其与连心线垂直的性质。 学生合作探究，认真回答问题，最后总结归纳。 设计意图说明：围绕典型例题展开拓展，让学生在解决具体问题中掌握公共弦、公切线的求解方法，突破教学难点，培养知识迁移和综合应用能力。 环节八 针对训练 教师活动 学生活动 课件出示针对训练题： 教师巡视指导，收集典型错误，集中讲解易错点（如圆方程标准化、圆心距计算、勾股定理应用）。 学生利用本节课所学知识解决问题。 设计意图说明：通过综合训练巩固公共弦、公切线、参数求解等知识点，强化易错点辨析，提升学生的综合解题能力和严谨性。 环节九 课堂小结 教师活动 学生活动 引导学生从知识、方法、思想三个层面总结本节课： 知识：五种位置关系、两种判断方法、公共弦与公切线相关问题。 方法：代数法、几何法、数形结合法。 思想：类比推理、转化与化归。用思维导图呈现知识体系，强化记忆。 归纳总结本节课的收获。 设计意图说明：通过多维度小结帮助学生构建完整的知识体系，提炼数学方法和思想，培养总结归纳能力，实现知识的内化与升华。 环节十 拓展提升（高考在线） 教师活动 学生活动 多媒体课件出示高考真题： 引导学生分析题目，灵活运用公共弦方程的求解方法，鼓励学生用几何法快速计算弦长，体会知识在高考中的应用。 独立或讨论完成。 设计意图说明：通过高考真题改编题提升训练难度，让学生感受知识的实际应用价值，熟悉高考命题方向，提升综合解题能力和应试信心。 环节十一 作业布置 教师活动 学生活动 布置分层作业： 1. 基础作业：完成课本 P102 页 15 题，习题 2.6 中第 4、5、6 题。 2. 拓展作业：探究两圆公切线的条数与位置关系的对应关系，完成拓展提升中的高考真题。 3. 预习作业：预习圆的综合应用问题。 独立或讨论完成。 设计意图说明：分层作业兼顾不同学生的基础，基础题巩固核心知识，拓展题培养探究能力，预习作业为后续学习铺垫，实现 “不同的人在数学上得到不同的发展”。 板书设计： 2.6.2 圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系： 2....... ppt展示 激活旧知 设计意图说明：提纲挈领，突出重点. 教学反思与改进：本节课中，本着以学生为主，突出重点的意图，结合学生的实际情况，探讨圆与圆的位置关系的判断方法，让学生总结方法；通过课堂训练，让学生运用知识解决问题，在解决问题的过程中，对学生进行方法指导。 设计意图说明：通过教学反思的书写，及时对本节课做出小结，总结经验，反思不足，及时调整教学策略，不断成长，全面提高教学水平。 6 学科网（北京）股份有限公司 $