专题24 直线与圆 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题24　直线与圆 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题24　直线与圆 一、核心知识 1．直线的倾斜角 的取值范围是 ，斜率 （）；过两点 、 的斜率 （）。 2．直线方程的五种形式：点斜式 、斜截式 、两点式、截距式与一般式 （A、B 不同时为 0）。 3．两条直线的位置关系： 且两直线不重合；（斜率都存在时 ）。 4．两点间距离 ；点到直线的距离 。 5．两条平行线 与 之间的距离 ，使用前要先统一 A、B。 6．直线 的法向量为 ，一个方向向量为 ；斜率为 的直线的一个方向向量为 。 7．圆的标准方程 ，圆心为 、半径为 ；一般方程 配方后半径为 。 8．直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离 与半径 决定： 相交、 相切、 相离；点在圆内（上、外）看该点到圆心的距离与 的大小。 9．过圆 上一点 的切线方程为 ；圆心在原点时为 。 10．弦长公式 ，其中 为圆心到弦所在直线的距离；也可用联立方程后的 。 11．两圆的位置关系由圆心距 与半径 、 决定：外离 ，外切 ，相交 ，内切 ，内含 。 12．最值与对称：圆上点到定直线的距离最值为 ，圆上点到定点的距离最值为 ；点关于直线对称用“连线垂直、中点在轴上”两个条件列方程组。 二、题型精练 题型一　直线的方程与位置关系 【方法与技巧】 求斜率先判断倾斜角是否为 ：斜率不存在时直线方程写成 ，不能漏掉这种情形。 判定平行与垂直时，用一般式的系数关系（ 与 ）最稳妥，可避开斜率不存在的讨论。 求直线恒过的定点，把方程整理成关于参数的恒等式，令参数的系数与常数项同时为 0 即可。 【例题精讲】 1．过点 且斜率为 3 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 2．直线 的斜率为（　　） A．2 B． C． D． 3．直线 : 与 : 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【变式训练】 1．过点 与 的直线的斜率为（　　） A．2 B． C．4 D． 2．直线 的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 3．过点 且与直线 平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 4．过点 且与直线 垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 5．直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 6．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．过点 且斜率为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 2．直线 在 轴上的截距为（　　） A．2 B．6 C． D．3 3．直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 4．直线 与 的位置关系是（　　） A．互相垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 5．直线 关于 轴对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 6．过点 且与 轴垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 7．直线 （ 为任意实数）恒过定点（　　） A． B． C． D． 8．直线 的一个方向向量为　　　　。 题型二　距离公式与对称问题 【方法与技巧】 点到直线的距离公式使用前必须把方程化为一般式 ，分子取绝对值。 两条平行线间的距离公式要求 、 的系数完全相同，不同时要先乘一个常数统一。 求点关于直线的对称点，设出对称点坐标后由“连线与轴垂直”和“中点在轴上”列两个方程求解。 【例题精讲】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B．6 C． D．1 2．两条平行线 与 之间的距离为（　　） A． B．5 C． D．1 3．点 关于点 对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．原点到直线 的距离为（　　） A． B．2 C．1 D． 2．原点 到直线 的距离为（　　） A．1 B．13 C． D．5 3．平行线 与 之间的距离为（　　） A． B．5 C． D． 4．点 关于 轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．点 关于直线 对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．已知 、，则 （　　） A．5 B．7 C． D．25 【巩固练习】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B．3 C． D． 2．两条平行线 与 之间的距离为（　　） A．2 B．10 C．8 D． 3．点 关于 轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．点 到原点的距离为（　　） A．5 B．7 C．25 D． 5．点 关于直线 对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A．3 或 B．3 C． D．2 7．点 与点 之间的距离为（　　） A．5 B．7 C． D．25 8．点 到直线 的距离为　　　　。 题型三　圆的方程 【方法与技巧】 求圆的方程关键是找圆心与半径；已知圆心和半径直接写标准方程。 由一般方程 配方得 ，右端大于 0 时才表示圆。 已知不共线三点求圆，可设一般方程用待定系数法，也可先求两条弦的垂直平分线交点得圆心。 【例题精讲】 1．圆心为 、半径为 3 的圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 2．圆 的圆心与半径分别为（　　） A． 与 3 B． 与 3 C． 与 9 D． 与 3 3．以 、 为直径端点的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．圆 的圆心为（　　） A． B． C． D． 2．圆 的半径为（　　） A．2 B．4 C． D．16 3．圆心在原点且过点 的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 4．圆 的周长为（　　） A． B． C． D． 5．方程 表示一个圆，则必须满足（　　） A． B． C． D． 6．圆心为 且与 轴相切的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．圆 的半径为（　　） A．4 B．16 C．2 D．8 2．圆 的圆心为（　　） A． B． C． D． 3．以 、 为直径端点的圆的圆心为（　　） A． B． C． D． 4．圆 的面积为（　　） A． B． C． D．1 5．过点 、、 的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 6．圆 的半径为（　　） A．2 B．4 C．1 D． 7．圆心为 且半径为 的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 8．圆 的圆心坐标为　　　　。 题型四　直线与圆的位置关系 【方法与技巧】 判定位置关系的核心是算圆心到直线的距离 ，再与半径 比较： 相交、 相切、 相离。 判定点与圆的位置关系，比较该点到圆心的距离与半径的大小即可。 也可以联立直线与圆的方程，用一元二次方程的判别式判断： 相交、 相切、 相离。 【例题精讲】 1．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．直线过圆心 2．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．点 与圆 的位置关系是（　　） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．无法确定 【变式训练】 1．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．直线过圆心 2．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 3．点 与圆 的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 4．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 5．直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．直线过圆心 6．圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A． B．2 C．1 D． 【巩固练习】 1．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 2．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 3．点 与圆 的位置关系是（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 4．圆心 到直线 的距离为（　　） A．2 B．10 C． D．5 5．若直线 与圆 相切，则 （　　） A． B．2 C． D． 6．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．直线过圆心 7．圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A． B．2 C．1 D． 8．圆 与直线 的位置关系为　　　　。 题型五　圆的切线与弦长 【方法与技巧】 过圆上一点 的切线：圆心在原点时为 ，本质是切线垂直于过切点的半径。 过圆外一点作切线，设点斜式后用圆心到直线的距离等于半径求斜率，注意检验斜率不存在的情形。 弦长优先用几何法 ，其中 是圆心到弦所在直线的距离，计算量最小。 【例题精讲】 1．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 2．圆 的一条弦所在直线为 ，则该弦长为（　　） A． B．2 C．4 D． 3．从点 向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【变式训练】 1．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 2．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A．6 B．3 C．9 D． 3．圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 4．从点 向圆 引切线，切线长为（　　） A．4 B．3 C．5 D． 5．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A．4 B．2 C． D．8 6．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 2．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A． B．4 C．8 D． 3．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A．6 B．3 C． D． 4．从点 向圆 引切线，切线长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 5．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 6．已知圆 被直线 截得的弦长为 ，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D．6 7．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 8．圆 被直线 截得的弦长为　　　　。 题型六　直线与圆的综合应用 【方法与技巧】 最值问题用几何意义最快：圆上点到直线的距离最值为 ，圆上点到定点的距离最值为 。 两圆位置关系由圆心距 与 、 的大小关系确定，比较时要先算准圆心距。 含参数的相切、相交问题，把条件翻译成 （或 与 的不等关系）即可列出关于参数的方程（不等式）。 【例题精讲】 1．圆 上的点到直线 的最小距离为（　　） A．1 B．3 C．5 D．2 2．圆 上的点到点 的最大距离为（　　） A．6 B．5 C．4 D．1 3．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【变式训练】 1．圆 上的点到点 的最小距离为（　　） A．1 B．3 C．5 D．2 2．圆 : 与圆 : 的位置关系是（　　） A．外切 B．外离 C．相交 D．内含 3．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．内含 B．内切 C．相交 D．外离 4．圆 上的点到原点的最大距离为（　　） A． B． C． D．2 5．若圆 与圆 外切，则 （　　） A．2 B．1 C．3 D．4 6．直线 与圆 相切，则 （　　） A． B．2 C． D． 【巩固练习】 1．圆 上的点到直线 的最小距离为（　　） A． B． C． D．1 2．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．内切 B．内含 C．相交 D．外切 3．圆 上的点到点 的最小距离为（　　） A．3 B．5 C．7 D．2 4．圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A．0 B．1 C． D．2 5．两圆 与 的圆心距为（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 6．若圆 与直线 相切，则 （　　） A．2 B．4 C． D．1 7．圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A． B．3 C． D． 8．圆 上的点到直线 的最小距离为　　　　。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．过点 且斜率为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 2．直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 3．点 到直线 的距离为（　　） A．1 B．5 C．7 D． 4．圆 的圆心与半径分别为（　　） A． 与 4 B． 与 4 C． 与 16 D． 与 4 5．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．直线过圆心 6．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 7．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A． B．4 C．6 D． 8．圆 上的点到点 的最大距离为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【多项选择题】 9．关于直线，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．斜率不存在的直线垂直于 轴 C． 的法向量为 D．两条直线垂直时，若斜率都存在则斜率之积为 10．关于直线与圆的位置关系，下列说法正确的有（　　） A．圆心到直线的距离小于半径时相交 B．等于半径时相切 C．大于半径时相离 D．弦长可用 计算 11．关于圆，下列说法正确的有（　　） A． 的圆心为 B．一般方程中 才表示圆 C．过圆上一点的切线垂直于过该点的半径 D．两圆圆心距等于半径之和时外切 【填空题】 12．过点 且与直线 平行的直线方程为　　　　。 13．圆 的半径为　　　　。 14．圆 上的点到直线 的最小距离为　　　　。 （答案与逐题详解见《解析版》） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $专题24　直线与圆 2027届高考数学辅导一轮复习讲义 专题24　直线与圆 一、核心知识 1．直线的倾斜角 的取值范围是 ，斜率 （）；过两点 、 的斜率 （）。 2．直线方程的五种形式：点斜式 、斜截式 、两点式、截距式与一般式 （A、B 不同时为 0）。 3．两条直线的位置关系： 且两直线不重合；（斜率都存在时 ）。 4．两点间距离 ；点到直线的距离 。 5．两条平行线 与 之间的距离 ，使用前要先统一 A、B。 6．直线 的法向量为 ，一个方向向量为 ；斜率为 的直线的一个方向向量为 。 7．圆的标准方程 ，圆心为 、半径为 ；一般方程 配方后半径为 。 8．直线与圆的位置关系由圆心到直线的距离 与半径 决定： 相交、 相切、 相离；点在圆内（上、外）看该点到圆心的距离与 的大小。 9．过圆 上一点 的切线方程为 ；圆心在原点时为 。 10．弦长公式 ，其中 为圆心到弦所在直线的距离；也可用联立方程后的 。 11．两圆的位置关系由圆心距 与半径 、 决定：外离 ，外切 ，相交 ，内切 ，内含 。 12．最值与对称：圆上点到定直线的距离最值为 ，圆上点到定点的距离最值为 ；点关于直线对称用“连线垂直、中点在轴上”两个条件列方程组。 二、题型精练 题型一　直线的方程与位置关系 【方法与技巧】 求斜率先判断倾斜角是否为 ：斜率不存在时直线方程写成 ，不能漏掉这种情形。 判定平行与垂直时，用一般式的系数关系（ 与 ）最稳妥，可避开斜率不存在的讨论。 求直线恒过的定点，把方程整理成关于参数的恒等式，令参数的系数与常数项同时为 0 即可。 【例题精讲】 1．过点 且斜率为 3 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由点斜式 ，整理得 。选 A。 2．直线 的斜率为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】化为 ，斜率为 2。选 A。 3．直线 : 与 : 的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【答案】A 【详解】，且常数项不成比例（），故两直线平行不重合。选 A。 【变式训练】 1．过点 与 的直线的斜率为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．直线 的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】一般式 的法向量就是 。选 A。 3．过点 且与直线 平行的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设所求直线为 ，代入 得 ，，故为 。选 A。 4．过点 且与直线 垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知直线斜率为 ，故所求直线斜率为 ，由点斜式得 ，即 。选 A。 5．直线 的倾斜角为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化为 ，斜率 ，故倾斜角为 。选 A。 6．直线 与 的交点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】联立得 ，，代入得 ，交点为 。选 A。 【巩固练习】 1．过点 且斜率为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，整理得 。选 A。 2．直线 在 轴上的截距为（　　） A．2 B．6 C． D．3 【答案】A 【详解】令 得 ，，故在 轴上的截距为 2。选 A。 3．直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化为 ，斜率为 。选 A。 4．直线 与 的位置关系是（　　） A．互相垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【详解】，故两直线垂直。选 A。 5．直线 关于 轴对称的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称时把 换成 ，得 ，即 。选 A。 6．过点 且与 轴垂直的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】垂直于 轴的直线斜率不存在，方程为 。选 A。 7．直线 （ 为任意实数）恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程即 ，无论 取何值， 时恒有 ，故恒过点 。选 A。 8．直线 的一个方向向量为　　　　。 【答案】 【详解】斜率为 1，故一个方向向量为 （一般式下也可取 ）。 题型二　距离公式与对称问题 【方法与技巧】 点到直线的距离公式使用前必须把方程化为一般式 ，分子取绝对值。 两条平行线间的距离公式要求 、 的系数完全相同，不同时要先乘一个常数统一。 求点关于直线的对称点，设出对称点坐标后由“连线与轴垂直”和“中点在轴上”列两个方程求解。 【例题精讲】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B．6 C． D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 2．两条平行线 与 之间的距离为（　　） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 3．点 关于点 对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设对称点为 ，则 、，得 、。选 A。 【变式训练】 1．原点到直线 的距离为（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．原点 到直线 的距离为（　　） A．1 B．13 C． D．5 【答案】A 【详解】。选 A。 3．平行线 与 之间的距离为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．点 关于 轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标变号，得 。选 A。 5．点 关于直线 对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于直线 对称时横纵坐标互换，得 。选 A。 6．已知 、，则 （　　） A．5 B．7 C． D．25 【答案】A 【详解】。选 A。 【巩固练习】 1．点 到直线 的距离为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】。选 A。 2．两条平行线 与 之间的距离为（　　） A．2 B．10 C．8 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 3．点 关于 轴对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标变号，得 。选 A。 4．点 到原点的距离为（　　） A．5 B．7 C．25 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 5．点 关于直线 对称的点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】关于直线 对称时 ，故 的对称点为 。选 A。 6．若点 到直线 的距离为 ，则 （　　） A．3 或 B．3 C． D．2 【答案】A 【详解】，得 ，故 或 。选 A。 7．点 与点 之间的距离为（　　） A．5 B．7 C． D．25 【答案】A 【详解】。选 A。 8．点 到直线 的距离为　　　　。 【答案】1 【详解】。 题型三　圆的方程 【方法与技巧】 求圆的方程关键是找圆心与半径；已知圆心和半径直接写标准方程。 由一般方程 配方得 ，右端大于 0 时才表示圆。 已知不共线三点求圆，可设一般方程用待定系数法，也可先求两条弦的垂直平分线交点得圆心。 【例题精讲】 1．圆心为 、半径为 3 的圆的标准方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直接代入标准方程 得 。选 A。 2．圆 的圆心与半径分别为（　　） A． 与 3 B． 与 3 C． 与 9 D． 与 3 【答案】A 【详解】配方得 ，故圆心为 、半径为 3。选 A。 3．以 、 为直径端点的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心为 AB 的中点 ，半径为 2，故方程为 。选 A。 【变式训练】 1．圆 的圆心为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由标准方程直接读出圆心为 。选 A。 2．圆 的半径为（　　） A．2 B．4 C． D．16 【答案】A 【详解】配方得 ，半径为 2。选 A。 3．圆心在原点且过点 的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】半径为 ，故方程为 。选 A。 4．圆 的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】半径为 2，周长为 。选 A。 5．方程 表示一个圆，则必须满足（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方后半径的平方为 ，必须大于 0。选 A。 6．圆心为 且与 轴相切的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与 轴相切时半径等于圆心纵坐标的绝对值，即 ，故方程为 。选 A。 【巩固练习】 1．圆 的半径为（　　） A．4 B．16 C．2 D．8 【答案】A 【详解】，故 。选 A。 2．圆 的圆心为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心为 。选 A。 3．以 、 为直径端点的圆的圆心为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心为两端点的中点 。选 A。 4．圆 的面积为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】。选 A。 5．过点 、、 的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】三点构成直角三角形，外接圆圆心为斜边中点 ，半径平方为 。选 A。 6．圆 的半径为（　　） A．2 B．4 C．1 D． 【答案】A 【详解】配方得 ，半径为 2。选 A。 7．圆心为 且半径为 的圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】代入标准方程得 。选 A。 8．圆 的圆心坐标为　　　　。 【答案】 【详解】配方得 ，圆心为 。 题型四　直线与圆的位置关系 【方法与技巧】 判定位置关系的核心是算圆心到直线的距离 ，再与半径 比较： 相交、 相切、 相离。 判定点与圆的位置关系，比较该点到圆心的距离与半径的大小即可。 也可以联立直线与圆的方程，用一元二次方程的判别式判断： 相交、 相切、 相离。 【例题精讲】 1．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．直线过圆心 【答案】A 【详解】圆心到直线的距离 ，故相交。选 A。 2．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】圆心 在直线 上，，故直线与圆相交（且过圆心）。选 A。 3．点 与圆 的位置关系是（　　） A．在圆上 B．在圆内 C．在圆外 D．无法确定 【答案】A 【详解】点到圆心的距离为 ，故点在圆上。选 A。 【变式训练】 1．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．直线过圆心 【答案】A 【详解】，故相切。选 A。 2．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【详解】圆心到直线的距离 ，故相离。选 A。 3．点 与圆 的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 【答案】A 【详解】点到圆心 的距离为 ，故在圆外。选 A。 4．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】圆心 到直线的距离 ，故相交（直线过圆心）。选 A。 5．直线 与圆 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．直线过圆心 【答案】A 【详解】化为 ，，故相交。选 A。 6．圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】配方得圆心 ，。选 A。 【巩固练习】 1．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】，故相交。选 A。 2．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【详解】圆心 在直线 上，，故相交。选 A。 3．点 与圆 的位置关系是（　　） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】A 【详解】点到圆心的距离为 ，故在圆内。选 A。 4．圆心 到直线 的距离为（　　） A．2 B．10 C． D．5 【答案】A 【详解】。选 A。 5．若直线 与圆 相切，则 （　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由 得 ，故 。选 A。 6．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．直线过圆心 【答案】A 【详解】，故相切。选 A。 7．圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】圆心 ，。选 A。 8．圆 与直线 的位置关系为　　　　。 【答案】相离 【详解】圆心到直线的距离 ，故相离。 题型五　圆的切线与弦长 【方法与技巧】 过圆上一点 的切线：圆心在原点时为 ，本质是切线垂直于过切点的半径。 过圆外一点作切线，设点斜式后用圆心到直线的距离等于半径求斜率，注意检验斜率不存在的情形。 弦长优先用几何法 ，其中 是圆心到弦所在直线的距离，计算量最小。 【例题精讲】 1．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心在原点时，过圆上一点 的切线为 ，即 。选 A。 2．圆 的一条弦所在直线为 ，则该弦长为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】圆心到直线的距离 ，弦长。选 A。 3．从点 向圆 引切线，则切线长为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】切线长。选 A。 【变式训练】 1．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由切线公式 得 。选 A。 2．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A．6 B．3 C．9 D． 【答案】A 【详解】直线过圆心，弦为直径，长为 6。选 A。 3．圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心与弦中点连线垂直于弦，该连线为 轴方向，故弦所在直线为 。选 A。 4．从点 向圆 引切线，切线长为（　　） A．4 B．3 C．5 D． 【答案】A 【详解】切线长。选 A。 5．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A．4 B．2 C． D．8 【答案】A 【详解】直线过圆心 ，弦为直径，长为 4。选 A。 6．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由切线公式 得 。选 A。 【巩固练习】 1．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】切点为 ，半径竖直，故切线水平，方程为 （也可由 得到）。选 A。 2．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A． B．4 C．8 D． 【答案】A 【详解】，弦长。选 A。 3．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】直线过圆心，弦为直径，长为 6。选 A。 4．从点 向圆 引切线，切线长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【详解】切线长。选 A。 5．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由切线公式得 ，即 。选 A。 6．已知圆 被直线 截得的弦长为 ，则 （　　） A．4 B．2 C．8 D．6 【答案】A 【详解】，由 得 ，。选 A。 7．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】半径方向向量为 ，切线满足 ，即 。选 A。 8．圆 被直线 截得的弦长为　　　　。 【答案】 【详解】，弦长。 题型六　直线与圆的综合应用 【方法与技巧】 最值问题用几何意义最快：圆上点到直线的距离最值为 ，圆上点到定点的距离最值为 。 两圆位置关系由圆心距 与 、 的大小关系确定，比较时要先算准圆心距。 含参数的相切、相交问题，把条件翻译成 （或 与 的不等关系）即可列出关于参数的方程（不等式）。 【例题精讲】 1．圆 上的点到直线 的最小距离为（　　） A．1 B．3 C．5 D．2 【答案】A 【详解】圆心到直线的距离 ，最小距离为 。选 A。 2．圆 上的点到点 的最大距离为（　　） A．6 B．5 C．4 D．1 【答案】A 【详解】圆心到 的距离为 5，最大距离为 。选 A。 3．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】A 【详解】圆心距 ，而 ，，故外离。选 A。 【变式训练】 1．圆 上的点到点 的最小距离为（　　） A．1 B．3 C．5 D．2 【答案】A 【详解】圆心到 的距离为 3，最小距离为 。选 A。 2．圆 : 与圆 : 的位置关系是（　　） A．外切 B．外离 C．相交 D．内含 【答案】A 【详解】圆心距 ，故两圆外切。选 A。 3．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．内含 B．内切 C．相交 D．外离 【答案】A 【详解】圆心距 ，而 ，，故内含。选 A。 4．圆 上的点到原点的最大距离为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】圆心 到原点的距离为 ，最大距离为 。选 A。 5．若圆 与圆 外切，则 （　　） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】A 【详解】外切时圆心距等于半径之和，即 ，得 。选 A。 6．直线 与圆 相切，则 （　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】化为 ，由 得 ，故 。选 A。 【巩固练习】 1．圆 上的点到直线 的最小距离为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】圆心到直线的距离 ，最小距离为 。选 A。 2．圆 与圆 的位置关系是（　　） A．内切 B．内含 C．相交 D．外切 【答案】A 【详解】圆心距 ，而 ，，故内切。选 A。 3．圆 上的点到点 的最小距离为（　　） A．3 B．5 C．7 D．2 【答案】A 【详解】圆心到 的距离为 5，最小距离为 。选 A。 4．圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】圆心 ，。选 A。 5．两圆 与 的圆心距为（　　） A．4 B．3 C．2 D．5 【答案】A 【详解】圆心分别为 与 ，圆心距为 4。选 A。 6．若圆 与直线 相切，则 （　　） A．2 B．4 C． D．1 【答案】A 【详解】由 得 ，。选 A。 7．圆 的圆心到直线 的距离为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】圆心为 ，。选 A。 8．圆 上的点到直线 的最小距离为　　　　。 【答案】1 【详解】，最小距离为 。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．过点 且斜率为 的直线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，整理得 。选 A。 2．直线 的斜率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化为 ，斜率为 。选 A。 3．点 到直线 的距离为（　　） A．1 B．5 C．7 D． 【答案】A 【详解】。选 A。 4．圆 的圆心与半径分别为（　　） A． 与 4 B． 与 4 C． 与 16 D． 与 4 【答案】A 【详解】配方得 ，圆心为 、半径为 4。选 A。 5．圆 与直线 的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．直线过圆心 【答案】A 【详解】，故相切。选 A。 6．圆 在点 处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由切线公式 得 。选 A。 7．圆 被直线 截得的弦长为（　　） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【详解】，弦长。选 A。 8．圆 上的点到点 的最大距离为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】圆心到 的距离为 2，最大距离为 。选 A。 【多项选择题】 9．关于直线，下列说法正确的有（　　） A．直线的倾斜角的取值范围是 B．斜率不存在的直线垂直于 轴 C． 的法向量为 D．两条直线垂直时，若斜率都存在则斜率之积为 【答案】ABCD 【详解】四项分别说明了倾斜角范围、斜率不存在的情形、法向量以及垂直的斜率条件，全部正确。故选 ABCD。 10．关于直线与圆的位置关系，下列说法正确的有（　　） A．圆心到直线的距离小于半径时相交 B．等于半径时相切 C．大于半径时相离 D．弦长可用 计算 【答案】ABCD 【详解】四项分别是位置关系的判定标准与弦长公式，全部正确。故选 ABCD。 11．关于圆，下列说法正确的有（　　） A． 的圆心为 B．一般方程中 才表示圆 C．过圆上一点的切线垂直于过该点的半径 D．两圆圆心距等于半径之和时外切 【答案】ABCD 【详解】四项分别涉及标准方程、一般方程的条件、切线性质与两圆外切的判定，全部正确。故选 ABCD。 【填空题】 12．过点 且与直线 平行的直线方程为　　　　。 【答案】 【详解】设所求直线为 ，代入 得 ，，即 。 13．圆 的半径为　　　　。 【答案】3 【详解】配方得 ，半径为 3。 14．圆 上的点到直线 的最小距离为　　　　。 【答案】1 【详解】圆心到直线的距离 ，最小距离为 。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $