第46讲 离心率小题通法专项训练-2027届高三数学一轮复习

第46讲 离心率小题通法 齐次式解e·焦点三角形·渐近线结构·存在性与范围 一、基本量与齐次式 1. 离心率的目标只有一个. （双曲线 ，椭圆 ）；条件最终都要化成 的齐次式，除以 （或 ）即得 的方程. 2. 齐次化手法. 平方关系 （椭圆）或 （双曲线）代入消 ——遇到角度用余弦定理，遇到比例直接设比值. 3. 焦点三角形顶角公式. 端点看焦点即等腰三角形：短轴端点 （椭圆），虚轴端点 ，即 （双曲线）——一般位置的顶角没有现成公式，现场列余弦定理最稳. 例1（单选·★★★☆☆） 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式1（填空·★★★★☆） 已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线的离心率为___________. 二、焦点三角形 1. 定义先给两边. 椭圆 、双曲线 ——焦点三角形的两边之比、之差条件都从这里落. 2. 内切与旁切. 内切圆半径 ；旁切圆的切线长定理给“中点比例式”——配合定义把 翻成 . 3. 分类意识. 含参方程（如 ）先讨论焦点在哪条轴；双曲线焦点三角形注意点在哪一支. 例2（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________. 变式2（填空·★★★★☆） 已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为______． 变式3（填空·★★★★☆） 已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为______． 变式4（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率 = _________． 变式5（填空·★★★★☆） 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为__________. 变式6（填空·★★★☆☆） 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______． 三、渐近线结构 1. 渐近线的四个随手结论. 焦点到渐近线的距离为 ；垂足到原点的距离为 ；以 为直径的圆交渐近线于 ；渐近线与实轴的夹角 满足 ——都是 的化身. 2. 对称点型. 焦点关于渐近线的对称点落在双曲线上，是经典 模型——对称点坐标用“中点在线上+连线垂直”双联立. 例3（单选·★★★★☆） 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式7（单选·★★★☆☆） 已知F为双曲线的一个焦点，为C的一条渐近线，若F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 变式8（单选·★★★★☆） 双曲线：的左、右焦点依次为、，坐标原点为，过右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线交双曲线的右支于点，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式9（单选·★★★★☆） 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 四、存在性与范围 1. 存在性翻方程. “存在点 使某条件成立”翻成“方程有解/曲线有公共点”，判别式或距离不等式接手处理. 2. 范围的两条来源. 离心率范围=条件不等式（判别式、位置关系）+ 自身的界（椭圆 ，双曲线 ）. 3. 特殊四边形构造. 正方形/平行四边形顶点落在曲线上：先用对称性定顶点坐标，代入曲线即得 的关系. 例4（单选·★★★★☆） 已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式10（单选·★★★☆☆） 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式11（填空·★★★★☆） 已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第46讲 离心率小题通法 齐次式解e·焦点三角形·渐近线结构·存在性与范围 一、基本量与齐次式 1. 离心率的目标只有一个. （双曲线 ，椭圆 ）；条件最终都要化成 的齐次式，除以 （或 ）即得 的方程. 2. 齐次化手法. 平方关系 （椭圆）或 （双曲线）代入消 ——遇到角度用余弦定理，遇到比例直接设比值. 3. 焦点三角形顶角公式. 端点看焦点即等腰三角形：短轴端点 （椭圆），虚轴端点 ，即 （双曲线）——一般位置的顶角没有现成公式，现场列余弦定理最稳. 【通法】条件齐次化,除以 a² 得 e 的方程. 【通法】消 b 两条路:b²=±(a²−c²) 选对号. 【通法】角度条件,余弦定理现场列. 例1（单选·★★★☆☆） 已知双曲线虚轴的两个端点分别为，左､右焦点分别为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 为虚轴端点：，由对称性 平分顶角，。倍角： 代入 ：，，，选 A。 【关键】虚轴端点处的等腰三角形：两腰都是 、半顶角的余弦是 （ 是短轴端点的椭圆版本，别搬错）——倍角公式一开，条件即齐次化；负的余弦恰好提示顶角为钝角，与 的双曲线身份互相印证. 【答案】选 A（） 变式1（填空·★★★★☆） 已知圆经过双曲线的焦点，且双曲线的虚轴长等于该圆的半径，则双曲线的离心率为___________. 【切入点】圆半径 ：；虚轴长等于半径：，。， 【关键】圆过焦点给 、虚轴长给 ——两条铁的条件直接拼出 ；这类“零几何、纯基本量”的题是离心率题的送分底座. 【答案】 二、焦点三角形 1. 定义先给两边. 椭圆 、双曲线 ——焦点三角形的两边之比、之差条件都从这里落. 2. 内切与旁切. 内切圆半径 ；旁切圆的切线长定理给“中点比例式”——配合定义把 翻成 . 3. 分类意识. 含参方程（如 ）先讨论焦点在哪条轴；双曲线焦点三角形注意点在哪一支. 【通法】定义给两边,余弦定理给角. 【通法】内切 . 【通法】含参方程,先定焦点在哪条轴. 例2（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，.为椭圆上一点，.圆与线段的延长线和线段的延长线分别相切于点和点，与线段相切于点，且，，则椭圆离心率的取值范围是________. 【切入点】定义： 且 ，得 ，。切线长定理：，，： 上 单调递增，故 。 【关键】旁切圆的切线长定理把“三条切线段”各自换成“切点 分焦距的两段”——条件 一进来， 就成了 的显函数；范围题的收口永远是“显函数加单调性”. 【答案】 变式2（填空·★★★★☆） 已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为______． 【切入点】含参椭圆 ，先分焦点。若焦点在 轴（）：，周长 ，矛盾，舍。故焦点在 轴：，周长 即 ，：，解得 。，。 【关键】含参椭圆的“周长”条件自带分类：先看哪支当 ，用“周长不可能小于 ”快速枪毙一支—— 与 双方程合围出 . 【答案】 变式3（填空·★★★★☆） 已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为______． 【切入点】设 ，，（从小到大连续正整数）。定义：，。记 ，两次余弦定理： 代入 ，解得 。故 ，，。 【关键】“连续正整数”三兄弟设成 ，余弦定理两个方程加二倍角公式一条龙——数字看着多，骨架只是“两边一角解三角形，再翻成 ”. 【答案】 变式4（填空·★★★★☆） 已知椭圆的左、右焦点分别为，．若上存在一点，使得，且的内切圆半径，则的离心率 = _________． 【切入点】：设 ，，则 ，，相乘配方可得 ，。内切圆：，即 ，故 ，。代入 ：，即 ，，。 【关键】直角焦点三角形自带勾股+面积两条等式；内切圆半径 把 翻成 的齐次式——三式合围， 是唯一出口. 【答案】 变式5（填空·★★★★☆） 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于两点，若，，则椭圆的离心率为__________. 【切入点】；，而 ，配合定义 与 ：，解得 ，。对 两次余弦定理： 联立：，即 ，（正根）。 【关键】线段等式的连环翻译： 折成两条焦半径后，定义自动解出 ——随后“同一角的两次余弦定理”相除，齐次式自然浮现；离心率难题九成是这个套路. 【答案】 变式6（填空·★★★☆☆） 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，若在C上存在点P（不是顶点），使得，则C的离心率的取值范围为______． 【切入点】对称化：设 交 轴于 ，连接 ，由对称性 。已知 ，得 ，故 ，于是 。在 中： 给 ；且 （底角小于 ）给 。故 。 【关键】 轴是对称轴——“取 做镜像”把三倍角条件拆成等腰三角形；两个不等式分别来自“斜边大于直角边”与“锐角余弦递减”，范围的两端各有一条几何来源. 【答案】 三、渐近线结构 1. 渐近线的四个随手结论. 焦点到渐近线的距离为 ；垂足到原点的距离为 ；以 为直径的圆交渐近线于 ；渐近线与实轴的夹角 满足 ——都是 的化身. 2. 对称点型. 焦点关于渐近线的对称点落在双曲线上，是经典 模型——对称点坐标用“中点在线上+连线垂直”双联立. 【通法】焦点到渐近线=b,垂足到原点=a. 【通法】F₁F₂ 直径圆交渐近线于 (±a,±b). 【通法】对称点在曲线上,经典 e=√5. 例3（单选·★★★★☆） 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作渐近线的垂线，垂足为，若，且的面积为6，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 到渐近线 的距离为 ，直角三角形 中 。面积：，。，选 A。 【关键】垂足结构自带“三兄弟”：、、——把面积拆成两个小三角形之半， 一次读出；渐近线题的一半工作量，都在认出这三兄弟. 【答案】选 A（） 变式7（单选·★★★☆☆） 已知F为双曲线的一个焦点，为C的一条渐近线，若F关于l的对称点在C上，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【切入点】设 关于渐近线 的对称点 ：“中点在线上 + 连线垂直”： 解得 ，。 在 上：代入化简 ，，选 B。 【关键】对称点双联立是机械动作，真正要背的是它的归宿——对称点恰落在双曲线上时 ，即 ；分清两个点：焦点到渐近线的垂足恰好落在准线上，而对称点满足 、并不在准线上——记住结论，考场上忘了推导也能从双联立现场重来. 【答案】选 B（） 变式8（单选·★★★★☆） 双曲线：的左、右焦点依次为、，坐标原点为，过右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，该垂线交双曲线的右支于点，若点恰好为线段的中点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】渐近线 与垂线 联立，垂足 ； 为 中点：。代入双曲线化简：，，选 A。 【关键】“垂线交右支于中点”把 钉成 与 的中点——坐标全由 表出，代入曲线后齐次化一气呵成；这类题的成败在于垂足坐标敢不敢直接写结论（ 正是准线位置，不是巧合）. 【答案】选 A（） 变式9（单选·★★★★☆） 已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】以 为直径的圆 交渐近线 于 ，（结论：交点即 ）。左顶点 ：，，。，余弦定理： 代入 ：，，选 C。 【关键】交点 是“渐近线×焦直径圆”的免费礼物（渐近线 与 联立必出 ）——知道这一点，本题只剩一个余弦定理加一次代数化简. 【答案】选 C（） 四、存在性与范围 1. 存在性翻方程. “存在点 使某条件成立”翻成“方程有解/曲线有公共点”，判别式或距离不等式接手处理. 2. 范围的两条来源. 离心率范围=条件不等式（判别式、位置关系）+ 自身的界（椭圆 ，双曲线 ）. 3. 特殊四边形构造. 正方形/平行四边形顶点落在曲线上：先用对称性定顶点坐标，代入曲线即得 的关系. 【通法】存在性=方程有解,判别式接手. 【通法】e 的范围=条件不等式+e 的天然界. 【通法】四边形顶点,对称性先定坐标. 例4（单选·★★★★☆） 已知为坐标原点，若椭圆上存在三点，，，使四边形为正方形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】四边形 为正方形： 且对角线 是对称轴，推得 关于 轴对称、 为右顶点 ，于是 ，。代入椭圆： 选 D。（另一支 关于 轴对称会推出 ，与椭圆矛盾，舍。） 【关键】正方形顶点的对称分支要枚举：关于 轴对称的一支存活、关于 轴的一支自爆——存在性问题里“舍去不存在的分支”与“求出存在的解”同样重要. 【答案】选 D（） 变式10（单选·★★★☆☆） 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】以短半轴 为半径的圆与直线 相交：圆心到直线距离 ，又焦点在 轴须 ，故 。离心率 随 增大而减小， 给 ，选 B。 【关键】“相交”给 ，“焦点在 轴”给 ——两个不等式夹出 的范围，离心率作为 的减函数顺势出范围；范围题的答案区间，开闭跟着边界条件走. 【答案】选 B（） 变式11（填空·★★★★☆） 已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 【切入点】 即 在以 为直径的圆上：，，圆 。“渐近线上存在 ”即渐近线与该圆有公共点：圆心 到渐近线 的距离 ，；又双曲线 ，故 。 【关键】“向量垂直”先折成“点在圆上”（以 为直径），“渐近线上存在”再折成“线与圆有公共点”——距离不等式一步到 的上界，下界 是双曲线的天然身份；存在性范围题，永远两条界一起交. 【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $