第2讲 椭圆的几何性质与离心率专项训练（基础）-2027届高三数学一轮复习

椭圆的几何性质与离心率 离心率的求值与取值范围 由条件求离心率 椭圆的离心率定义为 ，其中 是长半轴、 是半焦距。它刻画的是椭圆的扁平程度： 越接近 ，椭圆越接近圆； 越接近 ，椭圆越扁。由 与 可知 ，这个开区间本身就是很多范围题的答案底色。 求离心率只有一条路：把题目给的条件全部翻译成 、、 的等式，再消掉 ，化成含 的方程。之所以能消，是因为三个量之间只有一条独立关系 ，所以条件给够两个， 就定了。做题时可以这样排顺序：先写 的关系式，再把它整理成「 与 的比」的样子，最后约分。 最常见的入口有四类。第一类是直接读方程：把方程化成标准形式，读出两个分母，大的那个是 ，再由 算 。第二类是给焦点或顶点：焦点坐标直接给出 ，顶点坐标直接给出 或 。第三类是给长短轴的关系（如「短轴长等于焦距」「长轴是短轴的 倍」），把它写成 这样的等式。第四类是焦点三角形：用定义得出两边之和是 ，再用勾股定理或余弦定理建方程。 有一处顺序上的建议：先把 与 都用同一个字母表示，再作比。很多同学习惯先设 ，结果 带着根号越算越乱。另外要留意两类干扰：一是题目给的是 、、（长短轴长、焦距），而公式里的 、、 都是一半；二是分母上的量是 、， 从方程里读出来的数要先开方再代入 。 例1（单选·★☆☆☆☆） 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】方程已经是标准形式，直接从两个分母读出 、。 【关键】由 得 、，所以 ，。于是 。故选 D。 【易错】分母是 ，所以 而不是 —— 忘了开方会算出 （就是选项 B）。另外结果要分母有理化： 与 是同一个数，但选项要的是后者。 【答案】D 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 【切入点】 与 分别是长半轴与短半轴，所以条件其实就是一个 与 的等式。 【关键】左顶点 、上顶点 ，所以 、。由 得 ，两边平方得 ，即 。于是 ，。 【易错】顶点坐标里的字母别记混：左顶点是 （用长半轴），上顶点是 （用短半轴）。写成 就把顶点当成了焦点。另外等式两边都要平方再代，直接代入根号会留下无理化不了的式子。 【答案】 变式1-2（填空·★★☆☆☆） 已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________． 【切入点】「弦的中点」这句话在本题里其实就是坐标平均：两个端点的坐标各取一半。 【关键】左顶点 、上顶点 ，它们的弦中点为 。题给中点 ，所以 、，即 、。于是 ，，。 【易错】本题的「弦」过两个顶点，不涉及任何斜率关系，所以不要去套「中点弦斜率公式」（那条要配 用）。看到「弦的中点」先判断属于哪一种：已知两端点 → 坐标平均；只知中点 → 才用点差法。 【答案】 例2（填空·★★☆☆☆） 椭圆的离心率为______． 【切入点】方程右边不是 ，先化成标准形式。 【关键】把 两边除以 ，得 。于是 、，，，。 【易错】不化标准式直接读系数是最常见的错： 里 的系数是 、 的是 ，看上去「 更大」，其实对应的 更小。判断焦点位置要看分母，不是看系数。 【答案】 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】圆柱截面是一个经典的几何背景：短轴等于圆柱底面直径，长轴被截面的倾斜拉长了。 【关键】设圆柱底面半径为 ，则截面椭圆的短半轴 。截面与底面成 角，长半轴 。于是 ，，。故选 D。 【易错】两处容易反：一是长短轴的方向（短轴是没被拉伸的那条，即圆柱的直径）；二是 出现在长半轴还是短半轴上 —— 斜截使长轴变长为 ，是除不是乘。验算的办法： 时截面是圆，、，代入 正好；若写成乘 ， 时也对，所以必须再用 检验（此时 ）。 【答案】D 例3（填空·★★☆☆☆） 已知椭圆的一个焦点为，则C的离心率为___________. 【切入点】焦点坐标给出 ；再看清焦点在 轴上，从而 是 项的分母。 【关键】焦点 说明焦点在 轴上、，所以 里的 ，而 。由 得 ，，所以 。 【易错】本题的方程里 是待定的，容易误以为 。判断「谁是 」的可靠办法是看焦点位置：焦点在 轴上， 项的分母就是 。另外别把 代进 时忘了 而不是 。 【答案】 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点。若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【切入点】垂直 → 用勾股定理；边之比 → 配定义式。两条信息合起来就能定 。 【关键】设 ，由 得 。因为 ，所以 是直角三角形（直角在 ），，即 ，。 再由定义 ，所以 ，。故选 B。 【易错】直角在哪个顶点要看清： 意味着 与 在 处垂直，所以斜边是 ，不是 。斜边搞反了，勾股式就写错。另外本题定出 之后再回到 ，这个「先定边之比、再定 」的两步走是本类题的固定套路。 【答案】B 变式3-2（填空·★★☆☆☆） 已知椭圆的两个焦点分别为，，点P在该椭圆上，且，则该椭圆的离心率为________． 【切入点】焦点坐标给出 与焦点所在的轴；距离之和给出 —— 这两条正好凑齐求 所需。 【关键】设方程为 （焦点在 轴）。由 、 得 。由定义 得 。所以 。 【易错】焦点在 轴上时标准形式的字母位置要交换（ 项的分母才是 ），但求 时只需要 与 两个数，所以只要分清「 是半长轴（对应 ）、 是半焦距（对应焦点到中心 ）」即可。另外题给的是「距离之和为 」，它直接就是 ，不用再除以 。 【答案】 离心率的范围与几何性质的应用 椭圆的离心率天生带着一个范围：。这是因为 且 ，所以 ，两边除以 就是 。做题时若算出的 落在这个区间之外，一定哪里错了。还有两个常用的表达：、。后一个式子说明 与「短轴长比长轴长」是一一对应的， 越大 越小、椭圆越扁。 求离心率的范围有两条路。第一条是「参数 → 的函数」：题目给的是某个参数（比如 ）的范围，先把 写成这个参数的函数，再看它在区间上的单调性，端点一代就出范围。第二条是「存在性 → 不等式」：题目说「存在点 满足某某」，先判断这件事等价于哪个不等式（常常是「某个距离不超过半径」或「某个值不在可达区间里」），再把这个不等式化归成 的不等式。两条路的共同点是：最后都要落到 与常数比大小。 几何性质是求范围时的常用素材，需要记熟的是四组。一是坐标范围：、；二是焦半径范围：，其中 是最短焦半径（ 在近侧长轴端点）、 是最长焦半径；三是通径：过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，它是过焦点的最短弦；四是对称性：椭圆关于两条坐标轴与原点都对称，所以「关于某条直线对称的两点」这类题可以借助对称性简化。 最值问题里有一类必须小心：求椭圆上的点到某个定点的距离最小值。不能想当然地写成「」—— 那个式子只对圆心在定点的圆成立。对椭圆，正确做法是把 用 表示（或反之）代入距离平方，得到一个关于 的二次函数，再在它的定义域内求最小值。二次函数的顶点不一定落在定义域里，所以「先配方、再比端点」这两步一步都不能省。 例4（单选·★★☆☆☆） 若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】参数 给了范围，求 的范围 —— 这是「参数 → 的函数」那条路。 【关键】由 且 知 、，所以 。，所以 。故选 C。 【易错】两处端点都是开的： 与 都不取，所以 与 也不取。另一处是不要直接对 求值域 —— 先平方再开方更不容易错，因为 时 与 的单调性一致。 【答案】C 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知椭圆，则“”是“的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【切入点】这是一道充要条件题，要先判断「」能不能推出「」，再反过来判断。注意方程里的两个分母谁大，是要分情况的。 【关键】先由 推：此时方程为 ，、，，，充分性成立。【关键】再反过来：设 ，即 。若 （即 ），则 、，，解得 ；若 （即 ），则 、，，解得 。所以 对应 或 ，不唯一 ⇒ 必要性不成立。故「」是充分不必要条件。故选 A。 【易错】本题的陷阱全在「分母谁大」。方程 没有说明焦点在哪条轴，所以求 必须分 与 两类 —— 只算一类会得出「充要」的错误结论。这正是「先定位、再定量」这条纪律在离心率题里的样子。 【答案】A 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】「圆与直线相交」给出一个关于 的不等式，再把它转成 的范围。 【关键】椭圆焦点在 轴上，所以 、（）。圆 的圆心为原点、半径为 ；直线 即 ，原点到它的距离 。圆与直线相交 ⟺ ，即 。于是 ，，。故选 B。 【易错】三个细节：① 圆与直线相交的判据是 （严格小于），写成 会把 收进来；② 焦点在 轴上意味着 ，这个上界决定了 ；③ 最后算 时除以的是 ，不是 。三处任一写错都会落到别的选项上。 【答案】B 例5（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆的焦点为，一个短轴顶点为，且离心率为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】条件是 ，要的是短轴顶点的张角 。把焦点三角形的半角与 挂上钩即可。 【关键】 是短轴顶点，所以 （短轴端点到两焦点等距且等于 ），。设 ，在等腰三角形 中作底边上的高，得 。所以 ，，。故选 C。 【易错】 要换成 才能与 比较 —— 这一步用互余关系，写成 是最常见的错（会得到 ，恰好也是选项之一）。另外要记住「短轴端点到焦点距离为 」，它是等腰三角形两条腰的来源，也是 的几何解释。 【答案】C 变式5-1（填空·★★★☆☆） 圆的圆心是椭圆的上焦点，且与直线相切，圆面积的最大值为__________. 【切入点】圆 与直线相切，说明半径等于圆心到直线的距离；要面积最大，就是让这个距离最大。 【关键】椭圆 的焦点在 轴上，、，，，上焦点为 。圆 与直线 相切，所以半径 。【关键】令 ，则 。由 得 （或 使分子为 ）。 时 ，； 时 。所以 的最大值为 ，圆面积最大值为 。 【易错】本题的椭圆焦点在 轴上，所以「上焦点」是 而不是 —— 代错会得到 ，整题全变。另外求 的最大值等价于求 的最大值（），先平方再去根号能少一次求导的麻烦。 【答案】 例6（填空·★★★☆☆） 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 【切入点】椭圆上的点到定点的距离最小值，不能套圆的公式（）—— 要把距离平方化成关于 的二次函数。 【关键】设 在椭圆 上，则 ，且 。。这是开口向上的二次函数，顶点横坐标 ，它落在定义域 内，所以最小值在顶点取到：，。 【易错】必须验证顶点在定义域内 —— 本题 而 ，确实在；若顶点落到区间外，最小值就在端点取到，两处是截然不同的答案。另外 是 而不是 ，别忘了最后开方。 【答案】 变式6-1（单选·★★★☆☆） 若F1，F2为椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆的半径小于则点P横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】内切圆半径要写成「面积除以半周长」。焦点三角形的半周长是常数，这是本题的突破口。 【关键】由 得 、、。 的周长 等于 （与 的位置无关），所以半周长 。面积 。于是内切圆半径 。【关键】由 得 ，所以 。把 代入：，即 ，，所以 。故选 A。 【易错】 与 是同一个数，化到后者才能与 相乘约分 —— 不化简会在不等式两边留下两层根号。另一处是端点： 与 全是严格不等号，而 本身有界（），所以区间应当写成开区间，两端都不能取。 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆的几何性质与离心率 离心率的求值与取值范围 由条件求离心率 椭圆的离心率定义为 ，其中 是长半轴、 是半焦距。它刻画的是椭圆的扁平程度： 越接近 ，椭圆越接近圆； 越接近 ，椭圆越扁。由 与 可知 ，这个开区间本身就是很多范围题的答案底色。 求离心率只有一条路：把题目给的条件全部翻译成 、、 的等式，再消掉 ，化成含 的方程。之所以能消，是因为三个量之间只有一条独立关系 ，所以条件给够两个， 就定了。做题时可以这样排顺序：先写 的关系式，再把它整理成「 与 的比」的样子，最后约分。 最常见的入口有四类。第一类是直接读方程：把方程化成标准形式，读出两个分母，大的那个是 ，再由 算 。第二类是给焦点或顶点：焦点坐标直接给出 ，顶点坐标直接给出 或 。第三类是给长短轴的关系（如「短轴长等于焦距」「长轴是短轴的 倍」），把它写成 这样的等式。第四类是焦点三角形：用定义得出两边之和是 ，再用勾股定理或余弦定理建方程。 有一处顺序上的建议：先把 与 都用同一个字母表示，再作比。很多同学习惯先设 ，结果 带着根号越算越乱。另外要留意两类干扰：一是题目给的是 、、（长短轴长、焦距），而公式里的 、、 都是一半；二是分母上的量是 、， 从方程里读出来的数要先开方再代入 。 例1（单选·★☆☆☆☆） 椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 变式1-2（填空·★★☆☆☆） 已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________． 例2（填空·★★☆☆☆） 椭圆的离心率为______． 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 例3（填空·★★☆☆☆） 已知椭圆的一个焦点为，则C的离心率为___________. 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点。若，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 变式3-2（填空·★★☆☆☆） 已知椭圆的两个焦点分别为，，点P在该椭圆上，且，则该椭圆的离心率为________． 离心率的范围与几何性质的应用 椭圆的离心率天生带着一个范围：。这是因为 且 ，所以 ，两边除以 就是 。做题时若算出的 落在这个区间之外，一定哪里错了。还有两个常用的表达：、。后一个式子说明 与「短轴长比长轴长」是一一对应的， 越大 越小、椭圆越扁。 求离心率的范围有两条路。第一条是「参数 → 的函数」：题目给的是某个参数（比如 ）的范围，先把 写成这个参数的函数，再看它在区间上的单调性，端点一代就出范围。第二条是「存在性 → 不等式」：题目说「存在点 满足某某」，先判断这件事等价于哪个不等式（常常是「某个距离不超过半径」或「某个值不在可达区间里」），再把这个不等式化归成 的不等式。两条路的共同点是：最后都要落到 与常数比大小。 几何性质是求范围时的常用素材，需要记熟的是四组。一是坐标范围：、；二是焦半径范围：，其中 是最短焦半径（ 在近侧长轴端点）、 是最长焦半径；三是通径：过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，它是过焦点的最短弦；四是对称性：椭圆关于两条坐标轴与原点都对称，所以「关于某条直线对称的两点」这类题可以借助对称性简化。 最值问题里有一类必须小心：求椭圆上的点到某个定点的距离最小值。不能想当然地写成「」—— 那个式子只对圆心在定点的圆成立。对椭圆，正确做法是把 用 表示（或反之）代入距离平方，得到一个关于 的二次函数，再在它的定义域内求最小值。二次函数的顶点不一定落在定义域里，所以「先配方、再比端点」这两步一步都不能省。 例4（单选·★★☆☆☆） 若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（单选·★☆☆☆☆） 已知椭圆，则“”是“的离心率为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知焦点在x轴上的椭圆，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相交，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 例5（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆的焦点为，一个短轴顶点为，且离心率为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式5-1（填空·★★★☆☆） 圆的圆心是椭圆的上焦点，且与直线相切，圆面积的最大值为__________. 例6（填空·★★★☆☆） 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 若F1，F2为椭圆的两个焦点，P为C上一点，且△PF1F2的内切圆的半径小于则点P横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $