椭圆中的参数范围及最值 专题训练-2027届高三数学一轮复习

椭圆中的参数范围及最值测试卷 一、单选题 1．（2025·安徽·三模）设A为椭圆上一点，，则当最小时，点A的横坐标为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】设点，由两点间的距离公式表示出，结合在椭圆和二次函数的性质即可得出答案. 【详解】设点，，则， 因为在椭圆上，所以，则， 将代入，得， 当时，取得最小值，即取得最小值． 故选：C. 2．（2026·山东青岛·一模）已知椭圆上有两个动点满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，为椭圆的右焦点，则，再根据代入数据即可求得答案． 【详解】设，，为椭圆的右焦点， 由题意，椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， ∴ ， 同理可得，， 而 ， 即，解得，则的最大值为1. 3．（2025·全国·模拟预测）设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】作出图形，设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点，连接，结合几何关系可以推出，从而可得出动点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆上的点的纵坐标的取值范围求解即可. 【详解】如图， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点， 则点三点共线，连接， 在中，为中位线，即， 又，，， 则， 因为，所以动点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆， 椭圆中，即方程为. 为椭圆上的一点，设，则且， 所以. 故选：A 4．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，， 故选：C.    5．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 6．（2026·河南·模拟预测）已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，的斜率为，，，进而根据点差法求得，进而求得点的轨迹方程为，进而得，进而利用二次函数的最值的求法可求得的最大值. 【详解】当直线的斜率不存在时，，； 当直线的斜率存在时，设，的斜率为，，， 则，两式相减整理得.又， 两式消去化简得点的轨迹方程为， 则. 由，得，所以. 而二次函数图象的对称轴为直线， 所以当时，可取到最大值为.又，故的最大值为. 7．（2026·福建厦门·模拟预测）已知P为椭圆E：（）上的动点，M，N为圆上的两个动点，若的最大值为，则E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示：若是定点，则直线与圆相切时，最大， 此时，又， 所以最小时，最大， 又P为椭圆E：（）上的动点， 所以最小时，点为椭圆的短轴的端点， 又因为的最大值为，所以的最大值为， 所以，所以， 所以E的离心率为 8．（2026·江西萍乡·一模）已知椭圆，点，其中，过作直线交椭圆于，两点，过作直线交椭圆于，两点，若，，则直线在轴上的截距的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，由题坐标化可得点坐标，代入椭圆方程可得，同理由可得，进而求得直线的方程，求出直线的纵截距，利用函数单调性求出值域，得解. 【详解】设，，由，，易得， 所以，， 所以，代入， 得：，即①， 同理得：②， 由①②得，直线的方程为：， 令，直线纵截距为：， 又，可得， 因为在上单调递增，可得. 故选：A. 二、多选题 9．（2026·河南焦作·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上运动，点在轴上运动，且，动点满足，记动点的轨迹为，则（   ） A．的方程为 B． C．的最大值为9 D．曲线上有且仅有两点到直线的距离为1 【答案】BCD 【分析】先求出轨迹方程，结合椭圆定义和性质可判断A,B,C，求出椭圆的切线，结合切线和直线间的距离可判断D. 【详解】设，由可得， 因为， ，所以， 解得，所以，整理得，A不正确； ，因为，所以，，B正确； 因为的方程为，所以，为其焦点， 由可得，，当且仅当时，取到最大值，C正确； 设直线与相切，联立，， 由可得，即. 当时，与的距离为； 当时，与的距离为； 曲线上有且仅有两点到直线的距离为1，D正确. 10．（2026·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右顶点分别为，，圆．点是椭圆上异于，的动点，直线与圆交于另一点，直线与圆交于另一点．设直线与直线交于点，则（    ） A．直线与直线始终互相垂直 B．点的轨迹为焦点在轴上的部分椭圆 C．线段长度的取值范围为 D．面积的最大值等于 【答案】ACD 【分析】对A根据直径所对的圆周角为直角可得；对B根据点是椭圆上得，进而可得点的轨迹；对C由点的轨迹方程为，由椭圆的性质可得所求线段的范围；对D由点的轨迹方程为，由椭圆的性质得，进而可得面积的最大值. 【详解】如图： 对于A，因为点在圆上，且是圆的直径，所以， 即，点在直线上，所以，因此A正确； 对于B，设 ，直线 斜率 ，直线 斜率 ， 由点在椭圆上得：，，，，所以. 由 ，，得直线 ，直线 . 设交点 ，得 ​，​， 代入 得： ，，整理得：. 因为点是椭圆上异于，的动点，，所以点该轨迹方程为. 所以点的轨迹焦点在 轴上的部分椭圆，不是焦点在 轴上的部分椭圆，故B错误； 对于C，因为在椭圆上，所以， 由，所以，即，故C正确； 对于D，中，边上的高的长度为 ，面积， 又由得：，所以， 当时，，对应 ，满足 异于 ，该点存在，故面积最大值为 ，故D正确. 【点睛】本题关键在求点的轨迹方程，先由点是椭圆上而得，再用点的坐标表示, 进而可得所求点的轨迹方程. 11．（2026·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系中，，，P是异于，两点的动点，若直线，斜率的乘积为定值，则下列说法正确的是（    ） A．当时，点在某双曲线上 B．当时，面积的最大值为4 C．存在，存在点使得为锐角 D．任意，对任意点都有的斜率小于 【答案】ACD 【分析】设点 ，根据题意得 ，时根据求出的P的轨迹方程可判断A；时，得点在椭圆，当时，取最大，最大，通过计算可判断B、C；当时，则P的轨迹方程为 ，从而，进而得到的范围即可判断D. 【详解】设 ，由题意得 ，即 . 对于A，时，P的轨迹方程为 ，点在双曲线上，故A正确； 对于B，时，P的轨迹方程为 ， 所以点在椭圆，则，仅当时等号成立，所以， ，的最大值为，故B不正确； 对于C，若，令，则P的轨迹方程为 ， 取，则， ，,即为锐角，故C正确； 对于D，若，则P的轨迹方程为 ， 由，得，，即，故D正确. 三、填空题 12．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知动直线与圆O：相切，与椭圆相交于不同的两点A，B，则原点到的中垂线的最大距离为________． 【答案】 【分析】先求出直线斜率不存在时，原点到的中垂线的距离，斜率为0时与椭圆只有一个交点，直线斜率存在时，设其方程为，利用与圆相切，求出关系，直线方程与椭圆方程联立，求出中点坐标，得到的中垂线方程，进而求出原点到中垂线的距离表达式，结合关系，即可求出结论. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线为， 线段的中垂线为轴，原点到轴的距离为0. 当直线的斜率存在时，设斜率为，依题意可设， 因为直线与圆相切，所以， 设，，联立， 得， 由，得，又因为，所以， 所以， 所以的中点坐标为， 所以的中垂线方程为， 化简，得， 原点到的中垂线的距离， 当且仅当，即时，等号成立， 所以原点到的中垂线的最大距离为. 13．（25-26高二上·河北张家口·期中）已知点为椭圆上一点，直线过圆的圆心且与圆交于，两点，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据题意，得到圆心为椭圆的右焦点,连接，化简得到，结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】由圆，可得的圆心为，半径为， 又由椭圆，可得，，则， 所以所以圆心为椭圆的右焦点, 因为直线过圆的圆心且与圆交于两点， 所以是圆的直径，且为的中点，所以，所以， 如图所示，连接， 可得： 因为点为椭圆上任意一点，所以． 由，所以． 故答案为：．    14．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，点为坐标原点，点在椭圆上，且，则的取值范围为____. 【答案】 【分析】先求得椭圆的方程，再由，分轴和AB为长轴求得最值即可. 【详解】因为，所以， 因为， 当轴时，， 所以； 当AB为长轴时，， 所以， 所以的取值范围为， 故答案为： 四、解答题 15．（2026·福建泉州·一模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若关于轴的对称点为，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，直线的斜率之积是，列方程化简可得的方程； （2）解法一：由向量垂直得直角三角形面积，结合椭圆方程用均值不等式放缩求最值； 解法二：将椭圆上点用三角参数 表示，转化为三角函数求最值； 解法三：设过原点的直线 ，联立椭圆得点坐标，将面积表示为k的函数，再用均值不等式求最值. 【详解】（1）设，则，则 ，且， 由，得， 整理，得，即， 故的方程为.（约束条件也可写成） （2）解法一： 依题意，得，则， 所以，从而，所以， 则的面积， 因为点在曲线上，则，所以， 即，当且仅当时取“”. 故面积的最大值为2. 解法二： 设， 则， 所以， 所以，从而，所以， 则的面积， 又， 故当或或或， 即或或或时，. 解法三： 当直线的斜率不存在时，点与点重合，此时不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 则，从而， 所以，从而，所以， 由消去，得，整理，得， 所以的面积， 因为，当且仅当，即时取“”， 所以. 16．（25-26高三上·安徽合肥·开学考试）已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． (1)求的方程； (2)过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）由（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积求出函数关系，进而求出最大值. 【详解】（1）因为是E上一点，代入椭圆方程解得， 又，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零， 设直线的方程为，， 由消去，得，显然， 则，， 所以， 则的面积， 令，函数在上单调递增，当时，取得最小值4， 则当时，取得最小值4，， 所以的面积的最大值为.    17．（2025·江苏南京·三模）已知椭圆过点，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，即可求出、，从而得解； （2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线与椭圆联立消，设直线、的方程解出纵坐标，结合韦达定理化简计算可知，点在直线上，然后利用“将军饮马”可求出的最小值. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设点、， 直线与椭圆的方程联立消去整理得， 由，且， 所以， 易知、，则直线的方程为， 直线的方程为， 两式作商得，解得， 故在定直线上. 由图可知，点、都在直线的上方，点关于直线的对称点为原点， 由对称性知，所以， 当且仅当为线段与直线的交点时，即点的坐标为时等号成立， 故的最小值为. 18．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，右顶点为． (1)求C的标准方程； (2)若，直线l过C的右焦点且与C交于P，Q两点， ①求的最小值； ②若，求l的方程． 【答案】(1)； (2)① ；②或. 【分析】（1）由离心率和椭圆参数关系求参数值，即可得方程； （2）①设，则，应用两点距离公式及二次函数性质求最值；②设l为，根据已知有，由等比例关系得，即，再联立直线与椭圆并应用韦达定理求参数值，即可得方程. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以，故C的标准方程为． （2）①设，则， 所以， 又，所以当时，的最小值为， ②由题意，右焦点，直线l斜率不为0， 设l的方程为， 因为，所以，则， 故，可得， 由，消去x，得， 则， 从而， 可得，即，所以， 故l的方程为或． 19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线不过椭圆中心和顶点，与椭圆交于两点，且与轴交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求周长的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由离心率和点在椭圆上列方程求椭圆参数，即可得方程； （2）设，直线为，则，联立椭圆并应用韦达定理，结合直线为，求出点，即可得周长关于参数m的表达式，应用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意得，又点在椭圆上，所以， 所以，则椭圆的方程为； （2）设，直线为，则， 由，得，且， 所以 则直线为， 令，得 ，即， 则， 则周长为， 当且仅当，即时等号成立，则周长的最小值为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $椭圆中的参数范围及最值测试卷 一、单选题 15安接=肉设4国6子+芳上一心D县0小则与A加武时女1的候为 () A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(2026山东青岛，一模)已知椭圆C:号+兰=1止有两个动点A,B清足AB3,P(X,,为线段 43 AB的中点，则x,的最大值为(） A.4 B.3 C.2 D.1 3.(2025全国·模拟预测)设P为平面内一动点，A-3,0,B3,0,若以AP为直径的圆与圆 X2+y2=25内切，则△APB面积的最大值为(） A.12 B.16 C.20 D.24 4(2526高三上安徽早阳开学考试)已知椭圆C:4+3三1的左焦点为F,不经过F且斜率为53 的直线交C于A,B两点.当△F1AB的周长最大时，AB=() 8 A.5 B.83 D.63 5 5 5.(2026河南模拟预测)已知F,'F,分别为椭圆C:丈+少 。+台=1(Q>b>0)的左、右焦点，椭圆C的离 2 心率为行点P在椭圆C上，且△EPF,的周长为10，则△F,PF,的面积的最大值为() A.V5 B.2V5 C.4 D.3V5 6.(2O26河南模拟预测)已知椭圆+兰-1，点M|1,2,过点M的直线交椭圆于A,B两点，AB的 420 中点为0定点H3,5则H0的最大植为《） 试卷第1页（共3页） 121 11 A.4 C.2 V101 D. 2 7.(2026福建厦门模拟预测)己知P为椭圆E:x+y =1〈a>b>0)上的动点，M,V为圆 a2 b2 X+y=g上的两个动点，若∠MPN的最大值为2则B的离心率为（） T 4 A.2 V2 3 B. 2 C. 3 D.2 8.(2026江西#乡一模)已知椭圆+y=1,点M12m,m,其中6m2-5m+1≤0，过M作直线l,交 4 椭圆于A,C两点，过M作直线l2交椭圆于B,D两点，若ABCD,AM=2MC,则直线AB在y轴上 的截距的取值范围为() 11 B 11 11 D.11 22 33 4’4 5'5 二、多选题 9.(2026河南焦作：模拟预测)在平面直角坐标系x0y中，已知E22,0'F-2V2,0?点M在x轴 上运动，点N在y轴上运动，且MN=2动点Q满足亦=-20记动点Q的轨迹为C则（） V A.G的方程为x+三1 B.1≤OQ≤3 C.QE·QF的最大值为9 D.曲线C上有且仅有两点到直线x-2y-4=0的距离为1 2026湖南长沙三模)已知椭圆E:父+y=1的左、右顶点分别为A,B,圆C:X+y=4,点 是椭圆E上异于A,B的动点，直线AP与圆C交于另一点M,直线BP与圆C交于另一点N.设直线AN 与直线BM交于点H,则() A.直线BM与直线AP始终互相垂直 B.H点的轨迹为焦点在X轴上的部分椭圆 C.线段OH长度的取值范围为2,4) D.△HAB面积的最大值等于8 11.(2026江苏南通模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，A-2,0,B2,0,P是异于A,B两点的 动点，若直线PA,PB斜率的乘积为定值k,则下列说法正确的是() 试卷第2页（共3页） A.当k=1时，点P在某双曲线上 B.当k=-2时，△PAB面积的最大值为4 C.存在k<0,存在点P使得∠APB为锐角 D.任意k>O,对任意点P都有OP的斜率小于Vk 三、填空题 北襄阳模拟预测)己知动直线与圆0：X+y=1相切，与椭圆。+y 两点A,B,则原点到AB的中垂线的最大距离为 围.25高二河张家期中已知点P为随蓝去+合上一点，直线过圆M3牛Y3 的圆心且与圆M交于A,B两点，则P函·PB的取值范围为一 14。(2025福建泉州模拟预测)已知椭圆C:士+兰=10<b2<8的左、右焦点分别为F,'F,离心 8b2 2 率为2，过F,的直线与椭圆交于A,B两点，点O为坐标原点，点P在椭圆C上，且OP⊥AB,则 OP的取值范围为一 AB 四、解答题 15.(2026福建泉州一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,0,动点P关于O的对称点为Q,且 直线AP,AQ的斜率之积是，记P的轨迹为曲线E (1)求E的方程： (2)若P关于x轴的对称点为M,求△PQM的面积的最大值， 6.25:26三上安微合B开登》已知图苍+0>b≥0的离心率.石焦点为D 2 P(0,-V3)是E上一点. (1)求E的方程： (2)过F的直线l交E于A,B两点，求△OAB(O为坐标原点)的面积的最大值. 试卷第3页（共3页） 17.(2025江苏南京三模)已知椭圆c:+=1a>b>0过点p2,2短轴长为4 ‘a2b (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C与y轴的交点为A、B(点A位于点B的上方)，直线l:y=x+4椭圆C交于不同的两点M、N. 设直线AN与直线BM相交于点G,求GA+GP的最小值 18.(2025:江苏徐州模拟预测)已知椭圆C:父+号 普+若=1Q>b>0)的滨心率为号右顶点为A20 2 (1)求C的标准方程： 直线I过C的右焦点且与C交于P,Q两点， ①求PB的最小值； ②若AP/BQ,求1的方程. 8、@s相建泉楼做1阳国C:名片1g>b:0的离心率为5。造点-恒，要 a2 b2 (1)求椭圆C的方程： 2)斜率为2的直线不过椭圆中心和顶点，与椭圆C交于A,B两点，且与x轴交于点M,点A关于y轴的对 称点为D,直线BD与y轴交于点N,求△OMN周长的最小值. 试卷第4页（共3页）