02椭圆的离心率 专项训练—2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以教材原题为起点，通过“基础概念-方法归纳-综合应用”三阶设计，系统构建椭圆离心率求解体系，培养数学推理与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|6道（含人教A/B版原题）|从定义出发，覆盖直接求a,c、构造齐次式、特殊位置法|概念生成：由椭圆标准方程到离心率本质（e=c/a）| |方法小结|3类核心方法|提炼“直接计算-代数转化-几何特殊化”解题路径|原理推导：建立a,b,c关系（b²=a²-c²）与离心率公式的关联| |专项练习|20道（含高考真题）|结合几何图形（如焦点三角形）、直线与椭圆位置关系等综合应用|应用拓展：从基础计算到复杂情境（如航天器轨道）的问题解决|

2027届高三一轮复习圆锥曲线教材版专项练习 ——02 椭圆的离心率 回归教材： 1、【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第5题】比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）与；（2）与． 2. 【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第2题】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=． 3、【人教A版选择性必修一习题3.1第12题】已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离． 4、【人教B版选择性必修一第2.5.2节例2】已知椭圆的焦点为，短轴的一个端点为，且是一个等边三角形，求椭圆的离心率。 5、【人教B版选择性必修一第2.5.2节例4】航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点，若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为m,近地点与地球表面的距离为,设地球半径为，试用用表示出地球同步转移轨道的离心率。 6、【人教B版选择性必修一第2.5.2节练习B第4题】已知椭圆的方程为，其中，求这个椭圆的焦点坐标与离心率。 小结： 1．求椭圆的离心率的方法 (1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 2．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，在椭圆＋＝1(a>b>0)中，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的取值范围时，要注意应用这些不等式． 专项练习： 1. 【2026年上海卷数学第12题】在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 2. 【2023年全国I卷第5题】设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 3.椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4．椭圆的离心率是 (　　) A． B． C． D． 5．已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 (　　) A． B． C． D． 6．已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，则 (　　) A． B． C． D． 7.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为 的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(　　) A． B． C． D． 8．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 9．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(　　) A． B． C． D． 10．已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 (　　) A． B． C． D． 11．已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为 (　　) A． B． C． D． 12.设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 (　　) A． B． C． D． 13．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是_______，椭圆的离心率是_______． 14．过点作斜率为的直线与椭圆:相交于,若是线段的中点,则椭圆的离心率为______ 15.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于 两点，且，则该椭圆的离心率是 ． 16．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． (1)求的方程； (2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 17.设椭圆． (Ⅰ)求直线被椭圆截得的线段长(用表示)； (Ⅱ)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结． (1)若点C的坐标为，且，求椭圆的方程； (2)若求椭圆离心率的值． F1 F2 O x y B C A (第17题) 19.如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且 (1)若，求椭圆的标准方程; (2)若求椭圆的离心率． 20.已知椭圆()的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． (Ⅰ)求椭圆的离心率； (Ⅱ)如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程． ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习圆锥曲线教材+真题版专项练习 ——02 椭圆的离心率 回归教材： 1、【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第5题】比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更接近于圆？为什么？ （1）与；（2）与． 【答案】（1）更接近于圆；（2） 更接近于圆. 【分析】探究可得离心率越大，椭圆越扁；越小，椭圆越圆. 所以只需比较离心率的大小即可得出结果. 【详解】因为椭圆的离心率，所以越大，越小，椭圆越扁；越小，越大，椭圆越圆. （1）椭圆即，其离心率，椭圆的离心率，因为，所以椭圆更接近于圆； （2）椭圆即，其离心率，椭圆的离心率，因为，所以椭圆更接近于圆. 2. 【人教A版选择性必修一第3.1.2节练习第2题】求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，a=6，e=；（2）焦点在y轴上，c=3，e=． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由离心率公式，求得c，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程； （2）由离心率公式，求得a，再由a，b，c的关系，求得b，即可得到椭圆方程 【解析】（1）a=6，e=，即，解得c=2，b2=a2﹣c2=32，则椭圆的标准方程为：=1； （2）c=3，e=，即，解得，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣9=16．则椭圆的标准方程为：=1． 3、【人教A版选择性必修一习题3.1第12题】已知地球运行的轨道是长半轴长，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离． 【答案】1.5288×108km，1.4712×108km 【分析】根据地球到太阳的最大距离是a+c，最小距离是a﹣c，即可求得结论． 【详解】∵椭圆的长半轴长约为1.5×108km，离心率e＝0.0192，∴半焦距约为2.88×106km， ∴地球到太阳的最大距离是1.5×108+2.88×106＝1.5288×108km， 最小距离是1.5×108﹣2.88×106＝1.4712×108km． 4、【人教B版选择性必修一第2.5.2节例2】已知椭圆的焦点为，短轴的一个端点为，且是一个等边三角形，求椭圆的离心率。 【答案】 【解析】设椭圆半长轴，半焦距。由椭圆性质，， 为等边三角形，则，即。离心率。 5、【人教B版选择性必修一第2.5.2节例4】航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点，若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为m,近地点与地球表面的距离为,设地球半径为， 试用用表示出地球同步转移轨道的离心率。 【答案】. 【解析】，两式相减得，两式相加得，所以. 6、【人教B版选择性必修一第2.5.2节练习B第4题】已知椭圆的方程为，其中，求这个椭圆的焦点坐标与离心率。 【答案】焦点；离心率 【解析】标准化方程：。，，焦点在轴。 ，，焦点坐标，离心率。 小结： 1．求椭圆的离心率的方法 (1)直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值． (2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解． (3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． 2．椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式，例如，在椭圆＋＝1(a>b>0)中，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0＜e＜1等，在求椭圆相关量的取值范围时，要注意应用这些不等式． 专项练习： 1. 【2026年上海卷数学第12题】在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率. 【详解】因为，根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 2. 【2023年全国I卷第5题】设椭圆的离心率分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A 3. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】，设，则，则， 故，又，则， 所以，即，所以椭圆的离心率.故选：A. 4．椭圆的离心率是 (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】法一:由椭圆方程得,,所以,所以,, ．故选B． 法二:．故选B． 5．已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切 所以圆心到直线的距离，整理可得 所以，故选A． 6．已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，则 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B． 7.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为 的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得， 所以，而，由已知，得，即，故选D． 8．设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：设，由，因为，， 所以， 因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．故选：C． 【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值． 9．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：因为为等腰三角形，，所以，由余弦定理得， 所以，而，由已知，得，即，故选D． 10．已知椭圆，的左、右顶点分别为，，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切 所以圆心到直线的距离，整理可得 所以，故选A． 【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系 【点评】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出，代入公式e＝； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)． 11．已知为坐标原点,是椭圆C:的左焦点,分别为的左、右顶点.为上一点,且轴.过点的直线与线段交于点,与轴交于点.若直线经过OE的中点,则的离心率为 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意,设直线的方程为,分别令与,得点,,由△OBE∽△CBM,得,即,整理得,所以椭圆的离心率,故选A. 12.设F1，F2是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：如图，是底角为的等腰三角形可得=2c， 设直线与轴交于点B， 在中，，， ,即， 又∵，所以,将等式两边同时除以a，得． 13．已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是_______，椭圆的离心率是_______． 【答案】 (1)． (2)． 解析: 如图所示：不妨假设，设切点为，， ，所以, 由，所以，，于是，即，所以． 14．过点作斜率为的直线与椭圆:相交于,若是线段的中点,则椭圆的离心率为______ 【答案】 【解析】设,则由两式相减变形 得:即,从而 15.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于 两点，且，则该椭圆的离心率是 ． 【答案】． 解析：由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，由可得，，，则，由可得，则． 16．已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点． (1)求的方程； (2)若点在上，点在直线上，且，，求的面积． 【答案】（1）；（2）． 解析：（1），，， 根据离心率，解得或(舍)， 的方程为：，即； （2）不妨设,在x轴上方 点在上，点在直线上，且，， 过点作轴垂线，交点为，设与轴交点为，根据题意画出图形，如图 ，，， 又，，， 根据三角形全等条件“”，可得：，，， ，设点为， 可得点纵坐标为，将其代入，可得：， 解得：或，点为或， ①当点为时，故，， ，可得：点为，画出图象，如图 ,，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：， 根据两点间距离公式可得：，面积为； ②当点为时，故，，， 可得：点为，画出图象，如图 ,，可求得直线的直线方程为：， 根据点到直线距离公式可得到直线的距离为：， 根据两点间距离公式可得，面积为， 综上所述，面积为：． 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 17.如图，设椭圆． (Ⅰ)求直线被椭圆截得的线段长(用表示)； (Ⅱ)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 【命题意图】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力． 解析：(Ⅰ)设直线被椭圆截得的线段为，由 得， 故，．因此． (Ⅱ)假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足 ．记直线，的斜率分别为，，且，，． 由(Ⅰ)知，，，故， 所以．由于，，得 ，因此， ① 因为①式关于，的方程有解的充要条件是，所以． 因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为， 由得，所求离心率的取值范围为． 18．如图，在平面直角坐标系中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结． (1)若点C的坐标为，且，求椭圆的方程； (2)若求椭圆离心率的值． F1 F2 O x y B C A (第17题) 【答案】(1)；(2) 解析：设椭圆的焦距为2c，则，． (1)因为，所以，又，故． 因为点在椭圆上，所以，解得．故所求椭圆的方程为． (2)解法一：因为，在直线AB上，所以直线AB的方程为． 解方程组 得 所以点A的坐标为． 又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，可得点C的坐标为． 因为直线的斜率为，直线AB的斜率为，且， 所以，又，整理得．故，因此． 解法二：设，由得，由在上， 则；联立解得： 又在椭圆上，代入椭圆方程整理得，即， 所以椭圆的离心率为 19.如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且 (1)若，求椭圆的标准方程; (2)若求椭圆的离心率． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由，应用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；(2)要求椭圆的离心率，就是要找到关于的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设，则，，于是有，这样在中求得，在中可建立关于的等式，从而求得离心率． 【解析】(1)由椭圆的定义， 设椭圆的半焦距为c，由已知，因此 即 从而,故所求椭圆的标准方程为． (2)解法一：如图(21)图，设点P在椭圆上，且， 则，求得 由,得,从而 由椭圆的定义，,从而由，有，又由，知，因此 于是，解得． 解法二：如图由椭圆的定义，, 从而由，有 又由，知，因此, ,从而 由,知，因此 20.已知椭圆()的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． (Ⅰ)求椭圆的离心率； (Ⅱ)如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求椭圆的方程． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)． 分析：(Ⅰ)先写过点，的直线方程，再计算原点到该直线的距离，进而可得椭圆的离心率；(Ⅱ)先由(Ⅰ)知椭圆的方程，设的方程，联立，消去，可得和的值，进而可得，再利用可得的值，进而可得椭圆的方程． 解析：(Ⅰ)过点，的直线方程为，则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率． (Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知，椭圆的方程为 (1)． 依题意，圆心是线段的中点，且． 易知，不与轴垂直，设其直线方程为， 代入(1)得 设则 由，得解得．从而． 于是． 由，得，解得．故椭圆的方程为． 解法二：由(Ⅰ)知，椭圆的方程为(2)． 依题意，点，关于圆心对称，且． 设则，， 两式相减并结合得． 易知，不与轴垂直，则，所以的斜率 因此直线方程为，代入(2)得 所以，． 于是． 由，得，解得．故椭圆的方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $