第43讲 椭圆：定义与标准方程专项训练-2027届高三数学一轮复习

第43讲 椭圆：定义与标准方程 待定系数与形态讨论·焦点三角形·定义与基本量·曲线相交 一、方程的求法:待定系数与形态讨论 1. 按形态选式. 焦点位置明确，直接设标准式 ；只说“对称轴为坐标轴、中心在原点”，设 （，）——免去焦点位置讨论，两点一联立即解. 2. 基本量三角关系. 知二求一；焦距是 、长轴是 、短轴是 ——名词先分清， 型方程里“分母大者是 ”. 3. 几何条件翻译. 顶点构成正三角形、直角三角形，把边长相等、勾股关系翻译成 的方程；椭圆上点到焦点的最大、最小距离是 与 （长轴两端点取得）. 【通法】焦点不明,设 mx²+ny²=1. 【通法】a²=b²+c²,知二求一. 【通法】到焦点距离最大 a+c,最小 a−c. 例1（解答·★★★★★） 已知椭圆过点，，中心在原点，对称轴为坐标轴．求椭圆的标准方程． 【切入点】焦点位置不明，设 （，）。代入两点： 两式联立：由第二式 ，代入第一式得 ，即 ，。故 【关键】“中心在原点、对称轴为坐标轴”而未指明焦点位置时， 是标准动作：两个待定系数吃掉两个点，形态（谁大谁是 ）由解出的结果自报家门——比先猜焦点再讨论少一半分类. 【答案】 变式1（单选·★★☆☆☆） 椭圆经过和两点，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【切入点】过 得 ；过 得 。，焦距 ，选 D。 【关键】坐标轴上的两点直接报出 与 ——椭圆方程的“两点式”读法；焦距是 ，别与 混. 【答案】选 D（） 变式2（单选·★☆☆☆☆） 已知椭圆的一个焦点为，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】焦点 在 轴上，故 的分母是 ： 且 ，得 ，选 D。 【关键】焦点在哪个轴，哪个轴的分母就是 ——“ 在分母上”的方程先看焦点定大小关系，再列 . 【答案】选 D（） 变式3（单选·★☆☆☆☆） 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆长轴的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 【切入点】抛物线 的焦点为 ，故椭圆焦点在 轴上，，，，长轴长 ，选 C。 【关键】跨曲线的基本量题，先在抛物线里读出焦点 ，再把它当作椭圆的 用——两条曲线共用一个点，条件就接上了. 【答案】选 C（长轴长 ） 变式4（填空·★★☆☆☆） 若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则 = _____. 【切入点】焦点位置由 与 的大小决定，分两支。若 ：焦点在 轴，，条件给 ，得 ，与 矛盾，舍。若 ：焦点在 轴，，条件给 ，，符合。故 。 【关键】含参方程 与 谁大没说时，定义里的 就有两种读法——两支都要走，让矛盾替你舍支；“距离之和”就是 ，这一句翻译是全题的钥匙. 【答案】 例2（解答·★★★★★） 已知椭圆过点，，过点的直线与交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为，求的值． 【切入点】(1) 两点代入，设 ，： 解得 ，，即 ，，。 (2) 直线 ，与椭圆联立消去 ：，故 ，， 【关键】两个一般位置的点代入标准式，换元 ， 把“分母方程”变线性方程组——倒数换元是待定系数的减负动作；(2) 的韦达弦长是第48讲的主菜，这里先见面. 【答案】（1）；（2） 变式5（解答·★★★★☆） 已知椭圆（）的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．求椭圆的标准方程． 【切入点】焦距 即 。短轴端点 与长轴端点 构成正三角形：底 ，腰 ，等边给 ，即 。结合 ：，，，故 。 【关键】“正三角形”翻译成一条边长等式：腰是 、底是 ——顶点坐标一写出，几何条件自动变成 的方程； 是另一条腿，两条腿合出方程. 【答案】 变式6（解答·★★★★★） 已知椭圆的右焦点为，并且上的点到的最大距离是最小距离的倍．求的方程． 【切入点】椭圆上到焦点距离最大 （远端长轴顶点）、最小 （近端长轴顶点）。条件：，代入 ：，，，故 。 【关键】“最远、最近”两句直接换算成 与 ，比值条件变成 的一次方程——椭圆上到焦点距离的这两个最值，是定义在长轴端点的直接推论，务必当作结论随身带. 【答案】 二、焦点三角形与定义运用 1. 定义即等式. 椭圆上任意点满足 ——焦点三角形的周长立刻算出为 ，与 的位置无关. 2. 定义与勾股双联. 过焦点垂直长轴的弦（通径）端点、或给出角的正弦，都与勾股定理联手：两条方程解出 与 . 3. 焦半径的范围与三边关系. ；焦点三角形中 （三角形两边差小于第三边）——凡是“可能成立吗”，先查这两条范围. 【通法】周长=2a+2c,与 P 无关. 【通法】定义与勾股,双方程定 a c. 【通法】三边关系:两边差不超过 2c. 例3（单选·★★★☆☆） 已知，是椭圆：的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是（ ） A. B. C. 8 D. 10 【切入点】：，，。定义给 ，底 ，周长为 ，选 A。 【关键】焦点三角形周长恒为 ，与动点位置无关——“动点”是迷惑项，定义一上，答案与 走到哪儿毫无关系. 【答案】选 A（） 变式7（单选·★★☆☆☆） 椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【切入点】，，。 为上顶点：，，周长为 ，选 D。 【关键】上顶点到两焦点的距离相等（都是 ）——等腰焦点三角形；周长照旧 ，与上一题同构，只多一步读基本量. 【答案】选 D（） 变式8（解答·★★★★☆） 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，短轴长为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且．求椭圆的方程． 【切入点】 在过 的竖直线上，，故 ，记 ，。定义：，即 ，。勾股：，即 ，得 ；又 ，解得 ，，故 。 【关键】“正弦”先还原成直角三角形两边之比，再用定义把两边都换成 的表达式——定义管两边之和、勾股管直角，两条方程合围出 与 ；短轴长 是第三条腿. 【答案】 变式9（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一动点，下列等式不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】，。A： 即 ，可能。B：三角形两边差不超过第三边（顶点处取等），，而 ，不可能，选 B。C： 的范围是 ，取 使 落入即可，可能。D：比值取 化为 ，只要 即 ，与 相容，可能。 【关键】“不可能成立”只需一条铁律堵死：三角形两边之差小于第三边 ——和、积、比都可以靠调整 实现，唯有差被 封顶；这类题不是算出来的，是用不等式筛出来的. 【答案】选 B 变式10（单选·★★☆☆☆） 下列椭圆中，形状最接近圆的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】离心率 越小，椭圆越接近圆。逐一算 ：A 中 ；B 中 ；C 中 ；D 中 ，， 最小，故 D 最接近圆，选 D。 【关键】“接近圆”的定量刻画就是离心率小（或 大）——四个方程各算一次 ，比较大小收工； 在前的方程别把 认错轴， 永远是分母大的那个. 【答案】选 D 三、曲线相交与综合 1. 顶点—焦点距离构造方程. 顶点 到上顶点 的距离是 ，与焦距 的比例条件直接给出 的方程组. 2. 两曲线交点先消元. 椭圆与双曲线（或圆）联立，消去 先解出 ；交点若成组对称，过四交点的圆常可由对称性直接设 待定. 3. 交点个数的直觉校验. 联立出来的解要落回各曲线的定义域（如双曲线 ），虚假解当场暴露. 【通法】顶点距与焦距的比,翻译成 a b c 方程. 【通法】两曲线交点,先消元后验证. 【通法】四交点对称,设圆待定半径. 例4（解答·★★★★☆） 已知椭圆过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．求椭圆的标准方程． 【切入点】，，条件给 ，平方：。代入 ：，即 ，。过点 ： 故 ，，。 【关键】比例条件平方去根号，立刻化为 的齐次方程，再用 消元——把三个未知量压成一个 ，最后由点在椭圆上收口；整条链是“翻译—齐次—消元—待定”. 【答案】 变式11（单选·★★★☆☆） 过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】联立 与 。由第一式解出 ，代入第二式： 回代得 ，四个交点 两两关于两轴对称。过四交点的圆由对称性圆心在原点，设 ，代入 ：，选 C。 【关键】椭圆与双曲线的公共点：两方程中 的系数一正一负，相加即消元——交点横坐标先定，纵坐标回代；四交点关于两轴对称，所以过它们的圆心必然落回原点，半径一次待定. 【答案】选 C（） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第43讲 椭圆：定义与标准方程 待定系数与形态讨论·焦点三角形·定义与基本量·曲线相交 一、方程的求法:待定系数与形态讨论 1. 按形态选式. 焦点位置明确，直接设标准式 ；只说“对称轴为坐标轴、中心在原点”，设 （，）——免去焦点位置讨论，两点一联立即解. 2. 基本量三角关系. 知二求一；焦距是 、长轴是 、短轴是 ——名词先分清， 型方程里“分母大者是 ”. 3. 几何条件翻译. 顶点构成正三角形、直角三角形，把边长相等、勾股关系翻译成 的方程；椭圆上点到焦点的最大、最小距离是 与 （长轴两端点取得）. 例1（解答·★★★★★） 已知椭圆过点，，中心在原点，对称轴为坐标轴．求椭圆的标准方程． 变式1（单选·★★☆☆☆） 椭圆经过和两点，则椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 变式2（单选·★☆☆☆☆） 已知椭圆的一个焦点为，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3（单选·★☆☆☆☆） 若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则椭圆长轴的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8 变式4（填空·★★☆☆☆） 若椭圆上一点到C的两个焦点的距离之和为，则 = _____. 例2（解答·★★★★★） 已知椭圆过点，，过点的直线与交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率为，求的值． 变式5（解答·★★★★☆） 已知椭圆（）的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．求椭圆的标准方程． 变式6（解答·★★★★★） 已知椭圆的右焦点为，并且上的点到的最大距离是最小距离的倍．求的方程． 二、焦点三角形与定义运用 1. 定义即等式. 椭圆上任意点满足 ——焦点三角形的周长立刻算出为 ，与 的位置无关. 2. 定义与勾股双联. 过焦点垂直长轴的弦（通径）端点、或给出角的正弦，都与勾股定理联手：两条方程解出 与 . 3. 焦半径的范围与三边关系. ；焦点三角形中 （三角形两边差小于第三边）——凡是“可能成立吗”，先查这两条范围. 例3（单选·★★★☆☆） 已知，是椭圆：的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是（ ） A. B. C. 8 D. 10 变式7（单选·★★☆☆☆） 椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 变式8（解答·★★★★☆） 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，短轴长为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且．求椭圆的方程． 变式9（单选·★★☆☆☆） 已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一动点，下列等式不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 变式10（单选·★★☆☆☆） 下列椭圆中，形状最接近圆的是（ ） A. B. C. D. 三、曲线相交与综合 1. 顶点—焦点距离构造方程. 顶点 到上顶点 的距离是 ，与焦距 的比例条件直接给出 的方程组. 2. 两曲线交点先消元. 椭圆与双曲线（或圆）联立，消去 先解出 ；交点若成组对称，过四交点的圆常可由对称性直接设 待定. 3. 交点个数的直觉校验. 联立出来的解要落回各曲线的定义域（如双曲线 ），虚假解当场暴露. 例4（解答·★★★★☆） 已知椭圆过点，设它的左、右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且满足．求椭圆的标准方程． 变式11（单选·★★★☆☆） 过椭圆与双曲线四个交点的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $