1.2.4 二面角 课堂限时训练-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级上学期数学课堂限时训练 考试范围：人教B版选择性必修一 1.2.4二面角 建议用时：40分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题8分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知棱长为的正方体中，二面角的大小是(    ) A. B. C. D. 2.如图，过边长为的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是(    ) A. B. C. D. 3.如图，过边长为的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是(    ) A. B. C. D. 4.图是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥如图，且平面与平面的夹角为，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若直线的方向向量为，平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是  (    ) A. 若，则直线 平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则平面，的夹角为 6.已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为，与圆锥底面所成的角为，则下列说法不正确的是(    ) A. 圆锥的高为 B. 圆锥的侧面积为 C. 二面角的大小为 D. 圆锥侧面展开图的圆心角为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 7.如图，已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线，互相垂直，且，直线与圆锥底面所成的角为，则二面角的大小为          ． 8.如图已知三棱锥的三个侧面与底面全等， 且，，则二面角的大小为_____________． 四、解答题：本题共2小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图所示，在三棱柱中，是边长为的正方形，， 求证：； 求二面角的余弦值 10.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点． 证明：； 求直线与平面所成角的正弦值； 求二面角的余弦值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级上学期数学课堂限时训练 考试范围：人教B版选择性必修一 1.2.4二面角 建议用时：40分钟，满分：100分 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题8分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，已知棱长为的正方体中，二面角的大小是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.如图，过边长为的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 本题考查了二面角、利用空间向量求面面的夹角的相关知识，属于基础题． 由题意知：以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量即可得出平面与平面所成的二面角的大小． 【解答】 解：以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，， 则，． 设平面的法向量为． 则有可取， 又平面的法向量为， 所以， 结合图形知：平面与平面所成的锐二面角为． 故选B． 3.如图，过边长为的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的二面角的大小是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  4.图是蜂房正对着蜜蜂巢穴开口的截面图，它是由许多个正六边形互相紧挨在一起构成可以看出蜂房的底部是由三个大小相同的菱形组成，且这三个菱形不在一个平面上研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面体的表面菱形，图是一个菱形十二面体，它是由十二个相同的菱形围成的几何体，也可以看作正方体的各个正方形面上扣上一个正四棱锥如图，且平面与平面的夹角为，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 本题考查二面角，解三角形，属于基础题． 由为平面与平面的夹角，设，用表示各线段，再由余弦定理即得． 【解答】 解：在图中，取正方形中心，线段中点，连接、、， 则为平面与平面的夹角，为， 设，则，，， 则， 在中，由余弦定理，． 二、多选题：本题共2小题，共16分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若直线的方向向量为，平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是  (    ) A. 若，则直线 平面 B. 若，则直线平面 C. 若，则直线与平面所成角的大小为 D. 若，则平面，的夹角为 【答案】BCD  【解析】若，则直线与平面平行或在平面内，所以中命题是假命题； 若，则也是平面的一个法向量，所以直线平面，所以中命题是真命题； 直线与平面夹角的正弦值等于直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值，所以中命题是真命题； 两个平面的夹角的余弦值与它们的法向量的夹角的余弦值的绝对值相等，所以中命题是真命题故选BCD． 6.已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为，与圆锥底面所成的角为，则下列说法不正确的是(    ) A. 圆锥的高为 B. 圆锥的侧面积为 C. 二面角的大小为 D. 圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】ABD  第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题8分，共16分。 7.如图，已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线，互相垂直，且，直线与圆锥底面所成的角为，则二面角的大小为          ． 【答案】  【解析】取的中点，连接，，因为，为的中点，则， 由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为，，所以，，由题意得平面，则，为直线与圆锥底面所成的角，即，则在中，，故，则，因为，所以，即二面角的大小为． 8.如图已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，，则二面角的大小为_____________． 【答案】  【分析】 本题主要考查二面角的计算，属于基础题． 先作出二面角的平面角，再进行计算． 【解答】 解：由题意得，， 如图，取的中点，连接，， 则，， 则二面角的平面角， 易得， 又， 所以， 所以，即． 则二面角的大小为． 故答案为． 四、解答题：本题共2小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图所示，在三棱柱中，是边长为的正方形，， 求证：； 求二面角的余弦值 【答案】证明：是边长为的正方形，， 又，，且，平面， 平面，而平面， ． 解：在中，有，， 分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，， ，， 设平面的法向量为， 则 取，得， 同理得平面的法向量， 设二面角的平面角为， 则． 故二面角的余弦值为．  10.本小题分 如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点． 证明：； 求直线与平面所成角的正弦值； 求二面角的余弦值． 【答案】证明：如图，取中点，连接，． ，分别为，的中点， ，且， 又由已知，可得，且， 四边形为平行四边形，． 底面，底面， ， 又，，，平面， 平面， 又， 平面， 又平面， ， ． 解：连接，由有平面，平面，得， 而，． 又，为的中点， ， ，又，，平面， 平面， 平面， 平面平面． 直线在平面内的射影为直线， ， 为锐角， 为直线与平面所成的角． 依题意，有，而为中点， ，． 在直角三角形中，， 直线与平面所成角的正弦值为． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，， 设平面的法向量， 则 取，得， 平面的法向量， 设二面角的平面角为， 则． 由图可知二面角的平面角为锐角， 二面角的余弦值为． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $