第一章 1.2.4二面角 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 高二数学选择性必修一1.2.4二面角同步练，40分钟70分，分层设计梯度合理，以“概念理解—方法应用—综合探究”路径巩固二面角知识，渗透几何直观、推理运算与模型观念素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二面角定义、平面角识别|单选题1/4结合图形考查概念，填空题7直接应用法向量求角，强化空间观念| |中档|向量法求二面角、法向量性质|单选题2/3融合向量运算，多选题5/6辨析法向量关系，提升推理能力| |提升|综合证明与计算|解答题9/10以棱柱、棱锥为载体，需论证线线垂直并求二面角余弦值，体现模型应用|

2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.4 二面角 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在，平面内引射线，，若，，则二面角的大小为 (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查的知识点是二面角及其度量，属于基础题，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案． 【解答】 解：过上一点分别在，内做的垂线，交，于点和点， 则即为二面角的平面角，如下图所示： 设， ， ，， 又由，易得为等边三角形， 则， 解三角形易得， 故答案为． 2.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查平面与平面所成角的向量求法，属于基础题． 利用向量的夹角公式列方程求解即可． 【解答】 解：因为， 所以， 因为平面平面，平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，化简得，解得或． 故选：． 3.已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的正切值是． A. B. C. D. 【答案】B  4.如图，在正方体中，二面角的平面角等于(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查二面角的平面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的大小． 【解答】 解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体中棱长为， 则，，， ，， 设平面的法向量 则， 取，得， 平面的法向量， 设二面角的平面角为 则， ， 二面角的平面角等于． 故选B． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是(    ) A. B. C. ，使得 D. 设与的夹角为，则， 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查命题真假的判断，考查线面平行、面面垂直、面面平行、二面角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 利用线面平行的性质判断；利用面面垂直的性质判断；利用面面平行的性质判断；利用二面角的余弦值判断． 【解答】 解：是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点， 对于，，，， 反之，若，则，或，故A错误； 对于，，， 反之，若，则，故B正确； 对于，，，，使得， 反之，若，使得，则，，故C正确； 对于，设与的夹角为，则二面角的定义和平面的法向量的性质得，，故D正确． 故选BCD． 6.已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的大小为    ． A. B. C. D. 【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查平面与平面所成角的向量求法，属于基础题． 结合已知条件分别求出二面角为锐角和钝角时的余弦值，进而即可得到答案． 【解答】 解：设所求二面角的大小为， 若为锐二面角，则，故； 若为钝二面角，则，故 综上所述，二面角的大小为或． 故选AD． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面所成二面角的大小为          ． 【答案】或  【解析】【分析】 本题考查平面的法向量，利用空间向量求面与面所成的角，属于基础题． 利用空间向量求解即可． 【解答】 解： ， 平面与平面所成二面角的大小为或， 故答案为或． 8.如图，平面，，，，则平面与平面夹角的余弦值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面与平面的向量求法，属于基础题． 【解答】 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，，，，，． 设平面的法向量为， 则所以 令，得， 设平面的法向量为， 则所以 令，得． 所以由图知所求二面角为锐角， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，，． 证明：； 求二面角的余弦值大小． 【答案】 证明：直三棱柱，底面三边长，，， ，，两两垂直． 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，， ，， ，， ， 故AC 解：平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由得： 令，则，则． 故． 由图知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为．  【解析】本题考查线线垂直的证明以及二面角大小的求解，属于基础题． 根据，，两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，根据两个向量的数量积等于，证出两条直线垂直． 分别求出两个平面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案． 10.本小题分 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点． 证明：平面； 求二面角的平面角的余弦值． 【答案】 证明：连接，设与交于点，连接． 底面是正方形， 为的中点，又为的中点， ， 平面，平面，平面． 以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，． ， 设是平面的一个法向量， 则由，得，． 又是平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， ．  【解析】本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，属于基础题． 连接，设与交于点，连接由底面是正方形，知由此能够证明平面． 求得是平面的一个法向量，又是平面的一个法向量．由向量法能够求出二面角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.4 二面角 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，点是二面角棱上的一点，分别在，平面内引射线，，若，，则二面角的大小为 (    ) A. B. C. D. 2.已知向量，且平面平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 3.已知长方体中，，，则平面与平面所成的锐二面角的正切值是． A. B. C. D. 4.如图，在正方体中，二面角的平面角等于(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.若是平面的一个法向量，是平面的一个法向量，，是直线上不同的两点，则以下命题正确的是(    ) A. B. C. ，使得 D. 设与的夹角为，则， 6.已知二面角中，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则二面角的大小为    ． A. B. C. D. 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与平面所成二面角的大小为          ． 8.如图，平面，，，，则平面与平面夹角的余弦值为          ． 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 如图，在直三棱柱中，，，，． 证明：； 求二面角的余弦值大小． 10.本小题分 如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，是的中点． 证明：平面； 求二面角的平面角的余弦值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级上册数学课时自测(人教B版专用) 选择性必修一 第一章 1.2.4 二面角（参考答案） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 题号 1 2 3 4 答案 D B B B 二、多选题：本题共2小题，共12分。 题号 5 6 答案 BCD AD 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7． 或  8. 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9．（14分） 【详解】 证明：直三棱柱，底面三边长，，， ，，两两垂直． 如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则，， ，，..............................................................................3分 ，， ， 故AC ...........................................................................................7分 解：平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ，， 由 得：.................................................................................10分 令，则，则． 故． 由图知二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为． ...................................14分 10．（14分） 【详解】 证明：连接，设与交于点，连接． 底面是正方形， 为的中点，又为的中点， ，........................................................................................4分 平面，平面， 平面．............................................................................7分 以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，． ，......................................................9分 设是平面的一个法向量， 则由， 得， ．.......................................................................10分 又是平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，由图可知为锐角， ．.........................14分   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二年级上册数学课时自测（人教B版专用） 选择性必修一第一章1.2.4二面角 建议用时：40分钟，满分：70分 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示，点P是二面角Q-AB-B棱上的一点，分别在Qc,B平面内引射线PM,PN,若 ∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，则二面角Q-AB-β的大小为（) Q M B B A.60 B.70 C.80° D.90° 2.已知向量 =12,-1l,=t1,二t且0上平面a,开1平面g,若平面。与平面B的夹角的余弦值为 2V2 3 则实数t的值为() 4我 C.-1或2 D.- 3.己知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4,CC1=2,则平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二 面角的正切值是(). A.2 B 2 c D.3 3 4,如图，在正方体ABCD-A1B,C1D1中，二面角C1-AB-D的平面角等于() 1/5 ◆ D1 C B1 D -℃ A.30° B.45 C.60 D.90 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5若方，是平面的一个法向量，是平面B的一个法向量，A,B是直线b上不同的两点，则以下命题正确的 n. 是() A.b//a-nAB=0 B.aLB=n'n2=0 C.a/1B-∈R,使得) Fn1=λn2 D.设a与B的夹角为0，则cos0=|cos<i,n,> 6.已知三面角a-1=B中，平面C的一个法向量为n,(号，-，-V2),平面β的一个法向量为 几，=(0,3,2.则=面角a-1-B的大小为 A.30° B.60° C.120 D.150° 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.平面α的法向量 m=(1,0,-1平面B的法向至为行=0，-1,1则平面。与平面B所成二面角的大小 为」 8.如图，PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,BC=V2,则平面PAB与平面PBC夹角的余弦值 2/5 为 四、解答题：本题共2小题，共28分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9本小题14分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4. (1)证明：AC⊥BC, (2求二面角C,-AB-C的余弦值大小. 3/5 C.......--.- 10本小题14分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点， 4/5 D B (1)证明：PA/平面BDE: (2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值. 5/5