专题06 二面角五大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题06 二面角 题型一：定义法求二面角 题型二：利用向量法求二面角 题型三：根据二面角求参数 题型四：二面角中的最值（范围）问题 题型五：二面角中的探索性问题 题型一：定义法求二面角 1．如图，在正方体中，是的中点，二面角的平面角是 ，其正切值为 ． 2．如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为 ：二面角的大小为 . 3．三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为 . 4．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 5．已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为 . 题型二：利用向量法求二面角 6．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，，，点E，F分别是棱PA，PC的中点． (1)证明：． (2)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值． 8．如图，在长方体中，点分别在棱上，，. (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 9．如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明:平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 10．如图，在三棱锥中，.    (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型三：根据二面角求参数 11．如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．已知梯形如图（1）所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当上一点满足时，平面平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为 . 15．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，E，F分别为PC，CD的中点，，且二面角的平面角大于，则的取值范围是 . 题型四：二面角中的最值（范围）问题 16．在平面五边形中，如图1所示，，，．将平面四边形沿翻折成空间图形，使D，E分别至点，，连接，，如图2所示，其中，都为动点． (1)若，证明：平面平面； (2)若平面四边形沿旋转一周所得几何体，求该几何体的表面积； (3)求二面角的余弦值的最小值． 17．如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． (1)设，点在棱上． （i）证明：； （ii）当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． (2)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 18．如图，四棱锥中，． (1)当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ (2)当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值． 题型五：二面角中的探索性问题 19．如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，，点N为线段AD上的点（包含端点）. (1)当点N为线段AD的中点时，求证：平面； (2)线段AD上是否存在点N，使得平面BFN和平面ADE的夹角为． 20．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，. (1)证明：平面平面； (2)若点在平面内的投影为的重心，且直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），当平面和平面所成角的正弦值为时，求的值. 21．在四棱锥中，底面为菱形，平面．动点在线段上满足，动点在线段上满足，其中． (1)当时，证明：平面； (2)是否存在，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 22．在四棱锥中，已知，，，，平面平面. (1)证明：平面平面. (2)若，在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 23．已知平行四边形如图甲，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙. (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二面角 题型一：定义法求二面角 题型二：利用向量法求二面角 题型三：根据二面角求参数 题型四：二面角中的最值（范围）问题 题型五：二面角中的探索性问题 题型一：定义法求二面角 1．如图，在正方体中，是的中点，二面角的平面角是 ，其正切值为 ． 【答案】 【分析】连接，得到，结合二面角平面角的定义即可求解. 【详解】在正方体中易知，连接， 所以， 又二面角的棱为,分别在两个办平面内， 所以二面角的平面角是； 设正方体棱长为1，则, 所以 故正切值为. 故答案为：； 2．如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为 ：二面角的大小为 . 【答案】 【分析】由已知条件，根据线面角，面面角的定义求解即可. 【详解】由题意，在长方体中， 四边形是边长为的正方形，且与平面所成角为， 所以平面， 因为平面, 所以, 故与平面所成角为, 所以为等腰直角三角形，且, 所以. 又因为,且平面平面, 所以二面角为. 故答案为：①；②. 3．三棱锥中，，且，则当该三棱锥的体积最大时二面角的正切值为 . 【答案】 【分析】先利用，可计算得到底面面积，当恰好为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，此时两两互相垂直，取的中点,连接利用二面角的平面角的定义算出二面角的正切值. 【详解】 依题意可得三棱锥体积为 因为所以当面时，即时三棱锥体积最大，此时两两互相垂直. 取的中点为，连接 因为所以 又因为所以，所以为二面角的平面角，又因为 所以二面角的正切值为 故答案为:. 4．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 【答案】/ 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求. 【详解】由多面体为正三棱柱可知，为正三角形，且, 取的中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以， 在中，，，所以， 所以正三棱柱侧棱长为. 故答案为：. 5．已知正三棱锥侧棱与底面边长都相等，则二面角的正弦值为 . 【答案】 【分析】设棱长均为2，取的中点，分析可知二面角的平面角为，结合余弦定理运算求解即可. 【详解】设正三棱锥的棱长均为2， 取的中点，连接， 则，且， 可知二面角的平面角为， 由余弦定理可得， 则， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：. 题型二：利用向量法求二面角 6．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点． (1)当为棱的中点时，证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行； （2）建系后，写出相关点的坐标，出平面和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1） 取的中点，连接，， 因为为的中点， 所以， 因为， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面， 所以平面． （2） 因为平面，即两两垂直， 故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 因为，所以， 所以．   设平面的法向量为， 则 取，得， 所以． 因为平面， 所以平面． 所以为平面的一个法向量．   设平面与平面的夹角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，，，点E，F分别是棱PA，PC的中点． (1)证明：． (2)求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直关系. （2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面EFD的法向量为， 则令，则． 又因为，所以，即， 由平面，得平面． （2）设平面与平面的夹角为θ， 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为． 故答案为：. 8．如图，在长方体中，点分别在棱上，，. (1)证明：. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先建立空间直角坐标系，根据线段长度将点的坐标表示出来，从而得到向量的坐标，最后求出两向量的数量积是否为0即可证明是否垂直. （2）根据建立的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量坐标，然后利用向量夹角的余弦公式进行求解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以. 证明：因为， 所以 （2）设平面的法向量为， 则即 取，则. 易得平面的一个法向量为. 因为， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 9．如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明:平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 10．如图，在三棱锥中，.    (1)证明：平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用勾股定理得出，再结合线面垂直判定定理证明即可； （2）应用线面垂直判定定理得出平面，再分别求出平面与平面的法向量，最后应用二面角余弦公式计算求解. 【详解】（1）证明：因为， 所以，所以. 又平面， 所以平面. （2）取的中点，连接，则易得. 因为平面平面，所以， 又，平面， 所以平面. 以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴，平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 根据题意易得，则.    设平面的法向量为，则， 取，则. 设平面的法向量为，则， 取，则. 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 题型三：根据二面角求参数 11．如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点位置，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建系如图， 因为二面角的平面角大小为， 所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 所以的轨迹是过点的一条线段， 设以的轨迹与轴的交点坐标为， 由题意可得, 所以, 因为平面，所以平面的一个法向量为, 设平面的法向量为， 所以令则 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段BC上时，面积最大，最大值为， 所以面积的取值范围是， 故选:D. 12．已知梯形如图（1）所示，其中，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图（2）所示的几何体．已知当上一点满足时，平面平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，由题设标注相关点的坐标，进而求平面、平面的法向量，根据空间向量垂直的坐标表示求参数. 【详解】由题意，可构建以A为原点，射线AB、AD、AP为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系， 所以， 则， ， 若是面一个法向量， 则， 可得， 若是面一个法向量， 则， 可得， 由面面， 所以有， 解得， 故选：C. 13．已知二面角的大小为，点B、C在棱l上，，，，，则AD的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算及二面角的概念求解. 【详解】如图所示，     由题意知， 又二面角的大小为，故， ， 又， ， , 即AD的长为， 故选：D 14．如图，将两个相同的四棱锥与对称摆放组成一个多面体，已知平面，四边形是边长为2的正方形，若平面与平面的夹角为，则该多面体的体积为 . 【答案】 【分析】由题中条件可得平面，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面与平面的法向量，根据题中条件和向量夹角公式求出，然后利用棱锥的体积公式求解. 【详解】∵平面，平面，∴，， 又，，平面，∴平面， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则, ， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 设平面的法向量为， 由，令，则，， 若平面与平面的夹角为， 则，解得， 所以该多面体的体积为. 故答案为：. 15．如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，E，F分别为PC，CD的中点，，且二面角的平面角大于，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，向量法表示出二面角的平面角的余弦值，结合题意建立关于k的不等式，解之即可得到实数k的取值范围． 【详解】以A为原点，以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示， 设，则， ，，且平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则 ，取，有，可得 ，                                                   设二面角的大小为，则， 化简得，所以， 所以实数k的取值范围. 故答案为： 题型四：二面角中的最值（范围）问题 16．在平面五边形中，如图1所示，，，．将平面四边形沿翻折成空间图形，使D，E分别至点，，连接，，如图2所示，其中，都为动点． (1)若，证明：平面平面； (2)若平面四边形沿旋转一周所得几何体，求该几何体的表面积； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用菱形的性质及勾股定理逆定理可得，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证. （2）利用圆锥、圆柱的侧面积公式求出表面积. （3）设二面角的大小为，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法建立函数关系，进而求出最小值. 【详解】（1）连接，在平面四边形中，，则四边形为菱形， 由，得为正三角形，，而， 则，，由，得， 而平面，因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，四边形是菱形，，作于，交延长线于， 菱形沿旋转一周所得几何体，是绕直角边所在直线一周得的圆锥， 矩形绕直线一周得的圆柱并挖去绕直线一周得的圆锥的组合体， ，该几何体的表面积为. （3）在平面内过作，而，则是二面角的平面角， 在平面内过作，则，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，令，得， ，令，得， 设二面角的平面角为，由几何图形及可得为锐角， 则 ，令，， ，当且仅当时取等号， 所以二面角的余弦值的最小值为. 17．如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，形成三棱锥，其中为动点． (1)设，点在棱上． （i）证明：； （ii）当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． (2)求平面与平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2) 【分析】（1）（i）取的中点，连接，，即证，，利用线面垂直的判断定理即可证平面，再由线面垂直的性质定理即可得证； （ii）连接，由（i）知，平面，当时，最小时，的面积最小，过作，垂足为，即平面，即为直线与平面所成的角，在计算即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解. 【详解】（1）（i）取的中点，连接，，如图， 因为，，且的中点为， 所以，， 又，，平面，故平面， 由于平面，故． （ii）连接，由（i）知，平面，平面, 则，， 时，最小时，的面积最小． 又，，平面，又平面， 平面平面，过作，垂足为，则平面， 故为直线与平面所成的角，由，且，，又， ，，所以， ，， 在中，由余弦定理得，故,． 故与平面所成的角的正弦值为． （2）以为坐标原点，的方向为轴正反向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，设，则， ，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面的法向量为，则 ， 取，设平面与平面夹角为，易知， ， 令，则， ， 当，即时，取得最小值， 平面与平面夹角余弦值的最小值为． 18．如图，四棱锥中，． (1)当为正三角形时， （i）若，证明：直线平面PBC； （ii）若A，B，D，P四点在以为半径的球面上，则四棱锥的体积是多少？ (2)当为等腰直角三角形时，且，求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)（i）证明见解析；（ii） (2) 【分析】（1）（i）根据勾股定理得，结合，再利用线面垂直的判定定理证明即可. （ii）建立空间直角坐标系，求出球心，设点P的坐标为，由和，求出，代入锥体体积公式即可求解. （2）设，求出平面BPD和平面PDC的法向量，利用向量法求得二面角的余弦值为，然后根据二次函数性质求解最值即可. 【详解】（1）（i）因为，且，所以， 又为正三角形，所以， 因为，所以，进而． 因为，所以， 又因为，PB，平面PBC， 所以直线平面PBC. （ii）延长BC至E，使得，进而，连结DE， 又有，可知，四边形ABED为正方形， 连结AE交BD于O，过点O作平面ABED， 以O为坐标原点，分别以OE，OD，Oz所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 因为A，B，D，P四点在以为半径的球面上，由球的性质可知球心M在z轴上，设点M的坐标为， 所以，解得，即. 又为正三角形，连结OP，可知，又平面， 进而可得平面AOP，所以点P在坐标平面内， 设点P的坐标为，又有， 则，，解得， 所以四棱锥的高， 直角梯形ABCD的面积， 所以四棱锥的体积. （2）因为为等腰直角三角形，且，连结OP，则． 建系方法如（ii）问，， 设点， 设平面BPD的一个法向量，则， 令，则，所以. 设平面PDC的一个法向量为，则， 令，则，所以. . 令，则， 所以. 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值． 题型五：二面角中的探索性问题 19．如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，，点N为线段AD上的点（包含端点）. (1)当点N为线段AD的中点时，求证：平面； (2)线段AD上是否存在点N，使得平面BFN和平面ADE的夹角为． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理分别证明平面及平面即可； （2）先应用面面垂直性质定理得出平面，再建立空间直角坐标系求出平面及平面ADE的一个法向量，再应用二面角余弦值公式计算求参. 【详解】（1）取的中点为，连接，， 因为点为线段的中点，且，所以. 因为，， 由，所以为等腰直角三角形， 所以，同理，， 故在等腰梯形中，. 由，所以. 又，而平面， 故平面. 又平面，所以. 因为，，平面， 故平面. （2）解：设正方形的中心为，分别取的中点为. 设点为线段的中点，由（1）知四点共面，且平面， 连接，平面，故. 又平面，故平面平面， 且平面平面. 由题意可知四边形为等腰梯形，故， 平面，故平面. 故以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 因为，则. 又，故，设到底面的距离为， 四边形，为两个全等的等腰梯形，且，故. 又， 故则 . 设 设平面的一个法向量为， 则令， . 设平面的一个法向量为， 则令， . 故， 解得，即存在点，且是线段AD上靠近点A 的四等分点， 使得平面和平面的夹角为． 20．如图，四棱锥的底面是边长为的菱形，，. (1)证明：平面平面； (2)若点在平面内的投影为的重心，且直线CP与平面ABCD所成角为. （i）求四棱锥的体积； （ii）若点M为棱CP上的动点（不包括端点），当平面和平面所成角的正弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）（ii） 【分析】（1）作出辅助线，得到，由三线合一得到，从而平面，得到面面垂直； （2）（i）由面面垂直得到线面垂直，为直线与平面所成角，即，求出棱锥的高，求出底面积，利用锥体体积公式进行求解； （ii）建立空间直角坐标系，设，求出两平面的法向量，利用法向量夹角余弦公式得到方程，求出，所以. 【详解】（1）证明：连接交与点，连接.因为为菱形，所以. 为中点，且，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面. 因为平面， 所以平面平面. （2）（i）过P作于点H， 因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAC， 所以平面ABCD， 因为点在平面内的投影为的重心，所以即为的重心，且， 为直线与平面所成角，即，故， 底面是边长为的菱形，，故均为等边三角形， 故，所以，所以. 故菱形的面积为， 所以四棱锥的体积. （ii）以OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，过O点作平面ABCD的垂线作为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 设，故. 设平面的一个法向量为， ，， 则，取，则. 设平面的一个法向量为， ，， 则，取，则， 设平面和平面所成角为， 则， 因为，所以.所以， 化简得，解得，所以. 21．在四棱锥中，底面为菱形，平面．动点在线段上满足，动点在线段上满足，其中． (1)当时，证明：平面； (2)是否存在，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在 【分析】（1）先利用三角形中位线和菱形的性质证得；再根据线面平行的判定定理即可证得平面. （2）先根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点和向量的坐标；再求出 平面的一个法向量及平面的一个法向量；最后根据面面所成角的向量计算方法列出等式求解即可. 【详解】（1）证明：动点在线段上满足，动点在线段上满足， 当时，分别为的中点. 取的中点，连接. 则为的中位线， ，. 又底面为菱形， ， 则，. 四边形是平行四边形， . 又平面，平面， ∴平面； （2）解：存在． 以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以平面内过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： ． 则， ， ， ，. 设平面的法向量为， 则，即， 令得， . 设平面的法向量为， 则，即， 令得， . ， 化简得：，即，所以或. 存在使得平面与平面夹角的余弦值为． 22．在四棱锥中，已知，，，，平面平面. (1)证明：平面平面. (2)若，在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）分别取，的中点和，连接，，，证平面，进而根据面面垂直的判定定理得到答案. （2）建立空间直角坐标系，假设存在，设出坐标，用空间向量法表示平面与平面的夹角，求出的长度. 【详解】（1）分别取，的中点和，连接，，. 则，. 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，， 因为，所以，又,则平面， 所以平面， 因为面，所以. 因为，，,所以平面， 又,所以平面平面. （2）由（1）可知，为的中点，，所以. 又，所以是等边三角形. 取的中点，连接，由（1）可知，所以平面. 如图，建立空间直角坐标系，则，，， ，，，. 设平面的法向量为， 所以即取，得. 假设存在一点满足条件，设（）， 所以，. 设平面的法向量为， 所以即取，得. 设平面与平面的夹角为，则， 即，解得或（舍去），此时， 所以在棱上存在中点，使得平面与平面的夹角的余弦值为. 23．已知平行四边形如图甲，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙. (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据折叠前后的几何性质结合余弦定理、勾股定理得，，再根据线面垂直的判定定理得平面，平面，从而可得结论； （2）以点为坐标原点，的方向分别为､轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，其中，根据空间向量坐标运算求解平面与平面的一个法向量，由二面角的余弦值求解的值，从而得所求. 【详解】（1）翻折前四边形为平行四边形， ， 在中，由余弦定理可得：， ，则，同理， 翻折后有， 又平面平面， 又平面， 平面平面， 平面 （2）平面，以点为坐标原点，的方向分别为､轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，其中， 则， 设平面的法向量为，则， 取，则，则， 又平面的一个法向量为， ， 整理可得，解得， 线段上存在点，使二面角的余弦值为，此时. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$