第11章 平面直角坐标系 单元小测 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

沪科版八年级数学上册 · 第11章 平面直角坐标系 单元小测 沪科版 · 八年级数学上册 第11章　平面直角坐标系 单元小测 （含知识梳理、典例精讲、答案及解析） 说明：本资料分为“知识点梳理”“典型例题精讲”“单元小测试卷”“参考答案及解析”四部分。试卷满分 100 分，考试时间 60 分钟。 第一部分　知识点梳理 一、平面直角坐标系的有关概念 知识点1　平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，就组成了平面直角坐标系。 水平的数轴叫做 x 轴（横轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做 y 轴（纵轴），取向上为正方向；两轴的交点 O 叫做坐标原点。 建立了平面直角坐标系的平面叫做坐标平面。 知识点2　点的坐标 对于坐标平面内任意一点 P，过点 P 分别向 x 轴、y 轴作垂线，垂足在 x 轴、y 轴上对应的数 a、b 分别叫做点 P 的横坐标、纵坐标，有序数对 (a，b) 叫做点 P 的坐标，记作 P(a，b)。 注意：横坐标写在前，纵坐标写在后，中间用逗号隔开。(2，3) 与 (3，2) 表示两个不同的点。 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。 二、象限及各类特殊点的坐标特征 两条坐标轴把坐标平面分成四个部分，右上方的部分叫做第一象限，按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 图 1　四个象限及坐标符号 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 举例 第一象限 + + (2，3) 第二象限 − + (−2，3) 第三象限 − − (−2，−3) 第四象限 + − (2，−3) x 轴上 任意实数 0 (5，0) y 轴上 0 任意实数 (0，−4) 原点 0 0 (0，0) 知识点3　特殊位置的点的坐标特征 （1）平行于 x 轴的直线上的点，纵坐标相同；平行于 y 轴的直线上的点，横坐标相同。 （2）第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等，即 a=b；第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数，即 a+b=0。 （3）若点 P(a，b) 满足 ab>0，则点 P 在第一或第三象限；若 ab<0，则点 P 在第二或第四象限；若 ab=0，则点 P 在坐标轴上。 三、点到坐标轴的距离与两点间的距离 知识点4　距离公式 （1）点 P(a，b) 到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值 |b|；到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值 |a|。 易错提醒：“到 x 轴的距离”看纵坐标，“到 y 轴的距离”看横坐标，不要混淆。 （2）若 A(x1，y)、B(x2，y) 在平行于 x 轴的同一条直线上，则 AB=|x1−x2|。 （3）若 A(x，y1)、B(x，y2) 在平行于 y 轴的同一条直线上，则 AB=|y1−y2|。 四、图形在坐标系中的平移 知识点5　点的平移规律 将点 P(a，b) 向右平移 m（m>0）个单位长度，得到 (a+m，b)；向左平移 m 个单位长度，得到 (a−m，b)。 将点 P(a，b) 向上平移 n（n>0）个单位长度，得到 (a，b+n)；向下平移 n 个单位长度，得到 (a，b−n)。 口诀：横坐标“右加左减”，纵坐标“上加下减”。 知识点6　图形的平移 （1）在平面直角坐标系中平移一个图形，只需把图形各顶点按同样的方式平移，再顺次连接对应点即可。 （2）平移前后图形的形状、大小都不改变，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应点连线平行（或在同一直线上）且相等。 （3）已知一对对应点，就可以确定平移的方向和距离：若 A(x1，y1) 平移后得到 A′(x2，y2)，则图形上所有点的横坐标都加上 x2−x1，纵坐标都加上 y2−y1。 五、用坐标表示地理位置与求图形面积 知识点7　建立坐标系表示位置 （1）选一个适当的参照点为原点，确定 x 轴、y 轴的正方向（通常以正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向）； （2）根据具体问题确定单位长度； （3）在坐标平面内画出各点，写出各点的坐标和名称。 知识点8　坐标系中三角形面积的求法 （1）直接法：当三角形有一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，以这条边为底，用点的坐标求出底和高，再用面积公式计算。 （2）割补法：当三角形的边都不平行于坐标轴时，可先作出包围三角形的长方形（各边平行于坐标轴），用长方形面积减去周围几个直角三角形的面积。 第二部分　典型例题精讲 例1　由点的位置求参数 已知点 P(m+3，m−1)。 （1）若点 P 在 x 轴上，求点 P 的坐标； （2）若点 P 在第四象限，求 m 的取值范围。 【分析】x 轴上的点纵坐标为 0；第四象限内点的横坐标为正、纵坐标为负。 【解答】（1）因为点 P 在 x 轴上，所以 m−1=0，解得 m=1，所以 m+3=4，点 P 的坐标为 (4，0)。 （2）因为点 P 在第四象限，所以 m+3>0 且 m−1<0，解得 −3<m<1。 【点评】根据点的位置列出方程或不等式（组），是解决此类问题的基本方法。 例2　由距离确定点的坐标 点 M 在第二象限，它到 x 轴的距离是 3，到 y 轴的距离是 5，求点 M 的坐标。 【分析】到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值，再结合象限确定符号。 【解答】设 M(x，y)。由题意得 |y|=3，|x|=5。因为点 M 在第二象限，所以 x<0，y>0，所以 x=−5，y=3，点 M 的坐标为 (−5，3)。 【点评】本题最容易出现的错误是把两个距离与横、纵坐标对应错，写成 (−3，5)。 例3　由面积确定点的坐标 已知 A(−2，0)，B(4，0)，点 C 在 y 轴上，且 △ABC 的面积为 12，求点 C 的坐标。 图 2 【分析】AB 在 x 轴上，以 AB 为底，点 C 到 x 轴的距离就是高。点 C 可能在 x 轴上方，也可能在下方。 【解答】AB=4−(−2)=6。设 C(0，c)，则 △ABC 的高为 |c|。 由 ×6×|c|=12，得 |c|=4，所以 c=4 或 c=−4。 所以点 C 的坐标为 (0，4) 或 (0，−4)。 【点评】含绝对值的问题要注意分类讨论，防止漏解。 例4　图形的平移 如图，△ABC 的顶点 A(−2，3)，B(0，−1)，C(−4，−1)。将 △ABC 平移后，点 A 的对应点为 A′(1，1)，求点 B、C 的对应点 B′、C′ 的坐标，并说明平移的方式。 图 3 【分析】先由 A 与 A′ 的坐标确定平移规律，再将这一规律应用到其他顶点。 【解答】由 A(−2，3) 到 A′(1，1)，横坐标增加了 1−(−2)=3，纵坐标减少了 3−1=2，所以 △ABC 是先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度得到 △A′B′C′ 的。 所以 B′(0+3，−1−2)，即 B′(3，−3)；C′(−4+3，−1−2)，即 C′(−1，−3)。 【点评】“一对对应点确定平移规律”是解决平移坐标问题的关键。 例5　用割补法求三角形面积 如图，△ABC 的顶点为 A(−2，−1)，B(3，−2)，C(1，3)，求 △ABC 的面积。 图 4 【分析】三角形的三边都不与坐标轴平行，可以用“补成长方形再减去三个直角三角形”的方法求面积。 【解答】作长方形，四个顶点为 (−2，−2)，(3，−2)，(3，3)，(−2，3)，其长为 5，宽为 5，面积为 25。 左上方直角三角形面积：×3×4=6； 右上方直角三角形面积：×2×5=5； 下方直角三角形面积：×5×1=。 所以 S△ABC=25−6−5−=。 【点评】割补法的关键是正确画出长方形，准确读出各直角三角形的直角边长。 第三部分　单元小测试卷 （满分 100 分，考试时间 60 分钟） 班级：__________　　姓名：__________　　得分：__________ 题号 一 二 三 总分 得分 　 　 　 | 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分） 1．在平面直角坐标系中，点 (−5，2) 所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列各点中，在 y 轴上的是（　　） A．(2，0) B．(0，−3) C．(1，1) D．(−1，0) 3．点 P(−3，−4) 到 x 轴的距离是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 4．若 a<0，则点 P(−a，a2+1) 所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知点 A(3，−2)，B(x，−2)，且 AB=4，则 x 的值为（　　） A．7 B．−1 C．7 或 −1 D．1 或 −7 6．将点 A(1，−2) 先向上平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，得到点 A′，则点 A′ 的坐标是（　　） A．(−1，1) B．(3，1) C．(−1，−5) D．(3，−5) 7．线段 AB 的两个端点为 A(−1，2)，B(3，1)，将线段 AB 平移后，点 A 的对应点为 A′(2，4)，则点 B 的对应点 B′ 的坐标是（　　） A．(6，3) B．(0，−1) C．(6，−1) D．(5，3) 8．若点 P(2a−1，3−a) 在第一、三象限的角平分线上，则 a 的值为（　　） A． B． C．2 D．4 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 9．点 A(−2，5) 到 x 轴的距离是________，到 y 轴的距离是________。 10．若点 M(a−2，a+3) 在 y 轴上，则 a=________，点 M 的坐标为________。 11．点 P 在第四象限，且到 y 轴的距离为 3，到 x 轴的距离为 4，则点 P 的坐标为________。 12．已知 A(−3，2)，AB∥y 轴，且 AB=6，则点 B 的坐标为________。 13．若点 P(m，n) 满足 mn>0 且 m+n<0，则点 P 在第________象限。 14．已知 A(1，0)，B(0，2)，点 C 在 x 轴上，且 △ABC 的面积为 3，则点 C 的坐标为________。 三、解答题（本大题共 5 小题，共 44 分） 15．（8 分）如图，在平面直角坐标系中有 A、B、C、D、E、F 六个点。 （1）写出这六个点的坐标； （2）指出其中在坐标轴上的点，以及在第三象限的点。 第 15 题图 16．（8 分）已知点 P(3a−6，1−a)。 （1）若点 P 在 x 轴上，求点 P 的坐标； （2）若点 P 到 y 轴的距离为 3，求点 P 的坐标； （3）若点 P 在第四象限，求 a 的取值范围。 17．（8 分）如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(−4，3)，B(−5，0)，C(−1，1)。 （1）将 △ABC 先向右平移 5 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，得到 △A′B′C′，请在图中画出 △A′B′C′，并写出 A′、B′、C′ 的坐标； （2）求 △ABC 的面积。 第 17 题图 18．（10 分）如图是某校的平面示意图，以校门为原点，正东方向为 x 轴正方向，正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系，图中每个小正方形的边长代表 100 m。 （1）写出教学楼、图书馆、实验楼、食堂的坐标； （2）小明从校门出发，先向东走 300 m，再向北走 200 m，他到达了哪个地方？ （3）图书馆与教学楼之间的距离是多少米？ 第 18 题图 19．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，A(−2，0)，B(4，0)，C(0，3)。 （1）求 △ABC 的面积； （2）在 y 轴上是否存在点 P，使 △ABP 的面积等于 △ABC 面积的一半？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）在 x 轴上是否存在点 Q，使 △ACQ 的面积为 6？若存在，求出点 Q 的坐标。 第 19 题图 第四部分　参考答案及解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B A C A A A 1．B　【解析】点 (−5，2) 的横坐标为负，纵坐标为正，所以在第二象限。 2．B　【解析】y 轴上的点横坐标为 0，只有 (0，−3) 符合。 3．B　【解析】点到 x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，|−4|=4。 4．A　【解析】因为 a<0，所以 −a>0；又 a2≥0，所以 a2+1>0。点 P 的横、纵坐标都为正，在第一象限。 5．C　【解析】A、B 两点纵坐标相同，AB∥x 轴，所以 |x−3|=4，解得 x=7 或 x=−1。 6．A　【解析】向上平移 3 个单位，纵坐标加 3，得 −2+3=1；向左平移 2 个单位，横坐标减 2，得 1−2=−1，所以 A′(−1，1)。 7．A　【解析】由 A(−1，2) 到 A′(2，4)，横坐标加 3，纵坐标加 2，所以 B′(3+3，1+2)，即 B′(6，3)。 8．A　【解析】第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等，所以 2a−1=3−a，解得 a=。 二、填空题 9．5；2　【解析】到 x 轴的距离为 |5|=5，到 y 轴的距离为 |−2|=2。 10．2；(0，5)　【解析】y 轴上的点横坐标为 0，所以 a−2=0，a=2，a+3=5。 11．(3，−4)　【解析】第四象限的点横坐标为正、纵坐标为负。到 y 轴的距离为 3，得横坐标为 3；到 x 轴的距离为 4，得纵坐标为 −4。 12．(−3，8) 或 (−3，−4)　【解析】AB∥y 轴，所以点 B 的横坐标为 −3，纵坐标为 2+6=8 或 2−6=−4。 13．三　【解析】mn>0 说明 m、n 同号，又 m+n<0，所以 m<0，n<0，点 P 在第三象限。 14．(4，0) 或 (−2，0)　【解析】点 C 在 x 轴上，以 AC 为底，高为 OB=2。由 ×AC×2=3 得 AC=3，所以点 C 的横坐标为 1+3=4 或 1−3=−2。 三、解答题 15．【解】（1）A(2，3)，B(−3，2)，C(−2，−3)，D(4，−1)，E(0，−2)，F(−4，0)。（6 分） （2）在坐标轴上的点是 E、F（E 在 y 轴上，F 在 x 轴上）；在第三象限的点是 C。（8 分） 【解析】读点的坐标时，从点向 x 轴作垂线得横坐标，向 y 轴作垂线得纵坐标。坐标轴上的点不属于任何象限。 16．【解】（1）因为点 P 在 x 轴上，所以 1−a=0，a=1，此时 3a−6=−3，所以 P(−3，0)。（2 分） （2）由题意 |3a−6|=3，所以 3a−6=3 或 3a−6=−3，解得 a=3 或 a=1。 当 a=3 时，P(3，−2)；当 a=1 时，P(−3，0)。（5 分） （3）因为点 P 在第四象限，所以 3a−6>0 且 1−a<0，解得 a>2 且 a>1，所以 a>2。（8 分） 【解析】第（2）问中点到 y 轴的距离等于横坐标的绝对值，要注意有两种情况。 17．【解】（1）如图，△A′B′C′ 即为所求。A′(1，1)，B′(0，−2)，C′(4，−1)。（4 分） 第 17 题答图 （2）作长方形，四个顶点为 (−5，0)，(−1，0)，(−1，3)，(−5，3)，其面积为 4×3=12。 S△ABC=12−×1×3−×3×2−×4×1=12−−3−2=。（8 分） 【解析】平移时横坐标加 5，纵坐标减 2。三角形面积用割补法计算。 18．【解】（1）教学楼 (3，2)，图书馆 (−3，2)，实验楼 (4，−2)，食堂 (−2，−3)。（4 分） （2）向东走 300 m 即向右 3 个单位，再向北走 200 m 即向上 2 个单位，到达点 (3，2)，即教学楼。（7 分） （3）图书馆与教学楼的纵坐标相同，两点距离为 |3−(−3)|=6，6×100=600（m）。（10 分） 【解析】实际问题中要注意单位长度代表的实际距离。 19．【解】（1）AB=4−(−2)=6，OC=3，所以 S△ABC=×6×3=9。（3 分） （2）存在。设 P(0，p)，则 ×6×|p|=，所以 |p|=， 点 P 的坐标为 (0，) 或 (0，−)。（6 分） （3）存在。设 Q(q，0)，△ACQ 的高为 OC=3，则 ×AQ×3=6，所以 AQ=4。 所以 q=−2+4=2 或 q=−2−4=−6，点 Q 的坐标为 (2，0) 或 (−6，0)。（10 分） 【解析】动点在坐标轴上时，要考虑它在已知点两侧的两种情况，避免漏解。 第 1 页　共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $