四川达州市天立学校2026-2027学年八年级上学期9月阶段自测数学试题

四川省达州市天立学校2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是（　　） A．6，8，10 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，12，13 2．下列实数，，|﹣3|，，，，0.3030303……（每相邻两个3之间一个0）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知点P（a，b），a＞0，b＜0，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若m，n满足，则（m+n）2的算术平方根为（　　） A．4 B．±4 C．2 D．±2 5．已知点P（m+3，2m+4）在x轴上，那么点P的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（﹣2，0） D．（2，0） 6．若a，b，c＝2，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 7．到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CD→DA方向匀速循环前行．当机器人前行了2025s时，其所在位置的点的坐标为（　　） A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣1） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．点A（﹣2，3）到x轴的距离为　　 ，到y轴的距离是　　 ． 10．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1和﹣a+3，则这个正数是　　 ． 11．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为　　 尺． 12．已知，，则　　 ． 13．今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为30cm，高为20cm的圆柱粮仓模型，如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为　 ． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（8分）计算： （1）； （2）； （3）解方程：； （4）解方程：（x﹣1）3＝27． 15．（8分）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3． （1）求AC的长． （2）试判断△ACD的形状． 16．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC各顶点均在格点上． （1）直接写出△ABC的三个顶点的坐标：A　　 ；B　　 ；C　　 ； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′； （3）△ABC的面积为 　　 ． 17．（10分）阅读下面计算过程： ； ； ； 求：（1）的值． （2）的值． （3）若，求3a2﹣18a+1的值． 18．（12分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为 　　 ； （2）若点B（2a﹣1，﹣1）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为（﹣5，9﹣2b），试说明点D是“完美点”． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若实数x、y满足，则x+y＝　　 ． 20．已知点P（2x﹣3，3﹣x），点Q（3，2），若PQ∥x轴，则点P的坐标为 　　 ． 21．如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝13，D是线段BC上一点，连接AD，AD＝20，CD＝21，则BD的长为 　　 ． 22．已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简 　　 ． 23．如图，长方形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠长方形ABCD，使点B，C分别落在G，F处． （1）如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN＝ 　　 ； （2）如图2，若点M与点B重合，连接DF，当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为 　　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．（8分）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），求出点P的坐标； （3）若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值． 25．（10分）已知：a2，b2，求： （1）ab的值； （2）a2+b2﹣3ab的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 26．（12分）【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB＝∠ADB＝45°，探究线段AB、AD、CD之间的数量关系． 小明同学的想法是：过点B作BE⊥BD，交DA延长线于点E，则△EBD是等腰直角三角形，可通过证明△DBC≌△EBA，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：AD2+CD2＝2AB2．请根据小明的思路，完成以下证明过程： （1）求证：AD2+CD2＝2AB2． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，点F是AD的中点，求BF的长． 【拓展探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB＝45°，若AD＝3，CD＝2，则当BD最大时，则△ABC的面积为　　 ． 参考答案 四川省达州市天立学校2026-2027学年八年级上学期9月月考数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列各组线段中，不能够组成直角三角形的是（　　） A．6，8，10 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，12，13 【解答】解：A、62+82＝102，故是直角三角形，不符合题意； B、32+42＝52，故是直角三角形，不符合题意； C、42+52≠62，故不能组成直角三角形，符合题意； D、52+122＝132，故是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 2．下列实数，，|﹣3|，，，，0.3030303……（每相邻两个3之间一个0）中，无理数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：是分数，属于有理数； |﹣3|＝3，2，2，是整数，属于有理数； 0.3030303…（每相邻两个3之间一个0）是循环小数，属于有理数； 故在实数，，|﹣3|，，，，0.3030303…（每相邻两个3之间一个0）中，无理数有，，共2个． 故选：B． 3．已知点P（a，b），a＞0，b＜0，则点P在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：已知点P（a，b），a＞0，b＜0，则点P在第四象限， 故选：D． 4．若m，n满足，则（m+n）2的算术平方根为（　　） A．4 B．±4 C．2 D．±2 【解答】解：∵， ∴m﹣3＝0，n﹣1＝0， ∴m＝3，n＝1， ∴（m+n）2＝（3+1）2＝16， ∴（m+n）2的算术平方根为4． 故选：A． 5．已知点P（m+3，2m+4）在x轴上，那么点P的坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（﹣2，0） D．（2，0） 【解答】解：∵点P（m+3，2m+4）在x轴上， ∴2m+4＝0， 解得m＝﹣2， ∴m+3＝﹣2+3＝1， ∴点P的坐标为（1，0）． 故选：B． 6．若a，b，c＝2，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【解答】解：∵， ∴12， 即1＜a＜2， 又∵23， ∴2＜b＜3， ∴a＜c＜b， 故选：C． 7．到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：图1：延长AG，ED交于点F，如图所示： ， S△ABD＝S四边形ACEF﹣S△ABC﹣S△BDE﹣S△ADF ， ∴， 即c2＝a2+b2，故图1符合题意； 图2：补成一个边长为（a+b）的大正方形，如图所示： 则大正方形的面积为：（a+b）2， 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：， ∴（a+b）2＝c2+2ab， ∴a2+b2+2ab＝c2+2ab， ∴a2+b2＝c2，故图2符合题意； 图3，梯形的面积， 整理得a2+b2＝c2，故图3满足题意； 图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意； 综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个． 故选：C． 8．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），一智能机器人从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CD→DA方向匀速循环前行．当机器人前行了2025s时，其所在位置的点的坐标为（　　） A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣1） 【解答】解：∵C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），A（1，1），B（﹣1，1）， ∴CB＝AD＝3，AB＝CD＝2， ∴机器人从点A出发沿着AB→BC→CD→DA回到点A所走路程是：2+2+3+3＝10， ∴每过10秒点P回到A点一次， ∵2025÷10＝202…5， ∴第2025秒与第5秒时机器人所在的位置相同， ∵AB+BC＝3+2＝5， ∴此时机器人在C点处， ∴机器人所在点的坐标为（﹣1，﹣2）， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．点A（﹣2，3）到x轴的距离为　3　 ，到y轴的距离是　2　 ． 【解答】解：∵|3}＝3，|﹣2|＝2， ∴点A（﹣2，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离是2．故两空分别填3、2． 10．一个正数的两个平方根分别是2a﹣1和﹣a+3，则这个正数是　25　 ． 【解答】解：由条件可知2a﹣1+（﹣a+3）＝a+2＝0， 解得a＝﹣2， ∴2a﹣1＝2×（﹣2）﹣1＝﹣5， ∴（﹣5）2＝25， ∴这一个正数为25． 11．今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为　　 尺． 【解答】解：如图所示，设AB＝x尺， 由题意得，BC＝8尺，∠ABC＝90°，AC＝AB+3＝（x+3）尺， 由勾股定理得AC2＝AB2+BC2， ∴（x+3）2＝x2+82， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 12．已知，，则　12.65　 ． 【解答】解：根据题意可知，， ∴原式 ≈1.265×10 ≈12.65． 故答案为：12.65． 13．今年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为30cm，高为20cm的圆柱粮仓模型，如图BC是底面直径，AB是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为　50cm ． 【解答】解：如图是圆柱的侧面展开图，它是一个矩形，AB＝A′B′＝20cm，BC＝B′C30＝15（cm）， ∵∠B＝∠B′＝90°， ∴AC＝A′C25（cm）， ∴AC+A′C＝25+25＝50（cm）， ∴装饰带的长度最短为50cm， 故答案为：50cm． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．（8分）计算： （1）； （2）； （3）解方程：； （4）解方程：（x﹣1）3＝27． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）， ， ， 解得：，； （4）（x﹣1）3＝27， ， x﹣1＝3， x＝4． 15．（8分）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝CD＝2，AD＝3． （1）求AC的长． （2）试判断△ACD的形状． 【解答】解：（1）在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝CD＝2， ∴AC； （2）∵， ∴△ACD为直角三角形． 16．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC各顶点均在格点上． （1）直接写出△ABC的三个顶点的坐标：A　（2，2）　 ；B　（3，0）　 ；C　（5，4）　 ； （2）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′； （3）△ABC的面积为 　4　 ． 【解答】解：（1）由图可得，A（2，2），B（3，0），C（5，4）． 故答案为：（2，2）；（3，0）；（5，4）． （2）如图，△A′B′C′即为所求． （3）△ABC的面积为9﹣1﹣4＝4． 故答案为：4． 17．（10分）阅读下面计算过程： ； ； ； 求：（1）的值． （2）的值． （3）若，求3a2﹣18a+1的值． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ＝﹣1+10 ＝9； （3）∵， ∴， ∴3a2﹣18a+1 ＝﹣2． 18．（12分）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为 　2　 ； （2）若点B（2a﹣1，﹣1）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为（﹣5，9﹣2b），试说明点D是“完美点”． 【解答】解：（1）根据题意，得点A（﹣1，2）到x轴的距离为2，到y轴的距离为1， ∴点A的“长距”为2． 故答案为：2； （2）∵点B（2a﹣1，﹣1）是“完美点”， ∴|2a﹣1|＝|﹣1|， ∴2a﹣1＝1或2a﹣1＝﹣1， 解得a＝1或a＝0； （3）∵点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C 在第四象限内， ∴3b﹣2＝4， 解得b＝2， ∴9﹣2b＝5， ∴点D的坐标为（﹣5，5）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点 D 是“完美点”． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．若实数x、y满足，则x+y＝　﹣1　 ． 【解答】解：∵， ∴x﹣2＝0，y+3＝0， ∴x＝2，y＝﹣3， ∴x+y＝2﹣3＝﹣1． 故答案为：﹣1． 20．已知点P（2x﹣3，3﹣x），点Q（3，2），若PQ∥x轴，则点P的坐标为 　（﹣1，2）　 ． 【解答】解：∵点P（2x﹣3，3﹣x），点Q（3，2），PQ∥x轴， ∴3﹣x＝2， 解得x＝1， ∴2x﹣3＝2×1﹣3＝﹣1， ∴点P的坐标为（﹣1，2）， 故答案为：（﹣1，2）． 21．如图，在△ABC中，AB＝24，AC＝13，D是线段BC上一点，连接AD，AD＝20，CD＝21，则BD的长为 　　 ． 【解答】解：过A作AE⊥BC于点E，垂足为点E， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°， ∵CD＝21， 设DE＝n，则EC＝21﹣n， ∴AE2＝AD2﹣DE2＝202﹣n2， ∵AE2＝AC2﹣EC2＝132﹣（21﹣n）2， ∴202﹣n2＝132﹣（21﹣n）2， ∴n＝16， ∴DE＝16，EC＝5，AE＝12， ∴AE2+BE2＝AB2，即122+BE2＝242， ∴， ∴， 故答案为：． 22．已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简 　﹣1　 ． 【解答】解：由题意得﹣2＜a＜0＜b＜2，|a|＞|b|， 则a+2＞0，b﹣3＜0，a+b＜0， ∴原式＝a+2﹣[﹣（b﹣3）]+[﹣（a+b）] ＝a+2+（b﹣3）﹣（a+b） ＝a+2+b﹣3﹣a﹣b ＝﹣1， 故答案为：﹣1． 23．如图，长方形ABCD中，AD＝3，CD＝4，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠长方形ABCD，使点B，C分别落在G，F处． （1）如图1，当F落在线段AD的中点位置时，则CN＝ 　　 ； （2）如图2，若点M与点B重合，连接DF，当线段DF+BF的值最小时，CN的长度为 　　 ． 【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，AD＝3，CD＝4， ∴∠D＝90°，DN＝4﹣CN， ∵F为线段AD的中点， ∴DF＝AFAD， 由折叠得FN＝CN， ∵DF2+DN2＝FN2， ∴（4﹣CN）2＝CN2， 解得CN， 故答案为：． （2）如图2，连接BD， ∵∠C＝90°，BC＝AD＝3，CD＝4， ∴BD5， 由折叠得BF＝BC＝3，FN＝CN，∠BFN＝∠C＝90°， ∵DF+BF≥BD， ∴当点F落在BD上时，DF+BF＝BD，此时DF+BF的值最小， 如图3，点F落在BD上，则∠CFN＝∠BFN＝90°，DF＝BD﹣BF＝5﹣3＝2， ∵DF2+FN2＝DN2， ∴22+CN2＝（4﹣CN）2， 解得CN， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24．（8分）在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，3m+1）． （1）当点P在y轴上时，求出点P的坐标； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），求出点P的坐标； （3）若点P到x轴，y轴距离相等，求m的值． 【解答】解：（1）当点P（2m﹣4，3m+1）在y轴上时， 2m﹣4＝0， 解得m＝2， ∴3m+1＝7， ∴点P的坐标为（0，7）； （2）当直线PA平行于x轴，且A（﹣4，﹣2），点P（2m﹣4，3m+1）， 则3m+1＝﹣2， 解得m＝﹣1， ∴2m﹣4＝2×（﹣1）﹣4＝﹣6， ∴点P的坐标为（﹣6，﹣2）； （3）∵点P（2m﹣4，3m+1）到x轴，y轴距离相等， ∴|2m﹣4|＝|3m+1|， 解得m＝﹣5或m， ∴点P的坐标为（﹣14，﹣14）或（，）． 25．（10分）已知：a2，b2，求： （1）ab的值； （2）a2+b2﹣3ab的值； （3）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值． 【解答】解：（1）∵a2，b2， ∴ab ＝（2）（2） ＝7﹣4 ＝3； （2）∵a2，b2，ab＝3， ∴a2+b2﹣3ab ＝a2+b2﹣2ab﹣ab ＝（a﹣b）2﹣ab ＝[（2）﹣（2）]2﹣3 ＝（22）2﹣3 ＝42﹣3 ＝16﹣3 ＝13； （3）∵m为a整数部分，n为b小数部分，a2，b2， ∴m＝4，n＝b2 ∴ ， ∴的值． 26．（12分）【问题背景】如图1，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB＝∠ADB＝45°，探究线段AB、AD、CD之间的数量关系． 小明同学的想法是：过点B作BE⊥BD，交DA延长线于点E，则△EBD是等腰直角三角形，可通过证明△DBC≌△EBA，得到对应边、对应角相等，最终借助特殊三角形得出结论：AD2+CD2＝2AB2．请根据小明的思路，完成以下证明过程： （1）求证：AD2+CD2＝2AB2． 【尝试应用】（2）如图2，在（1）的条件下，若，点F是AD的中点，求BF的长． 【拓展探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB＝45°，若AD＝3，CD＝2，则当BD最大时，则△ABC的面积为　　 ． 【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，AB⊥BC，连接AC、BD，∠ACB＝∠ADB＝45°，如图1，过点B作BE⊥BD，交DA延长线于点E， ∴△ABC和△EBD均为等腰直角三角形， ∴EB＝DB，AB＝CB，∠EBD＝∠ABC＝90°， ∴∠EBA+∠ABD＝∠DBC+∠ABD， ∴∠EBA＝∠DBC， 在△DBC和△EBA中， ， ∴△DBC≌△EBA（SAS）； ∴∠E＝∠BDC， ∵△EBD为等腰直角三角形， ∴∠E＝∠BDE＝45°， ∴∠E＝∠BDC＝45°， ∴∠ADC＝∠BDC+∠BDE＝90°， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝2AB2， ∴AD2+CD2＝2AB2； （2）解：如图2，过点C作CG⊥BD于点G，过点F作FH⊥BD于点H， 由（1）得：AD2+CD2＝2AB2，将，CD＝6代入得： ， 解得AD＝8或AD＝﹣8（舍去）， ∵点F是AD的中点， ∴， ∵∠ADB＝∠CDB＝45°， ∴△CDG和△FDH均为等腰直角三角形， ∴，， 在直角三角形BCG中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在直角三角形BFH中，由勾股定理得：； （3）解：如图3，过点B作BE⊥BD，使得BE＝BD，连接AE、DE， 则△BDE为等腰直角三角形， ∴， ∵AB⊥BC，∠ACB＝45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， 结合（1）可知，△DBC≌△EBA， ∴AE＝CD＝2， ∵AE+AD≥DE， ∴DE≤5， ∴如图4，当点D、A、E共线时，DE取最大值，最大值为DE＝AE+AD＝5， ∴此时， ∵∠ADB＝∠EDB＝45°，∠BDC＝∠BEA＝45°， ∴∠ADC＝90°， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 即当BD最大时，△ABC的面积为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $