重庆市实验中学校2026-2027学年高三上学期数学周测试题（第二周）

**基本信息** 高三上期数学周测试题（第二周），聚焦函数、导数、三角函数及解三角形，通过基础题（如单选函数性质）与综合题（如解答题导数零点证明）分层设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高三一轮复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数图像、导数应用、三角函数性质|结合几何直观（第3题函数图像识别），落实数学眼光| |多选|3/18|函数最值、三角形判定|注重概念辨析（第10题三角形命题真假判断），体现数学思维严谨性| |填空|3/15|函数最值、三角求值、恒成立问题|强调运算能力（第13题三角恒等变换）| |解答题|5/77|导数切线、解三角形、三角函数综合、导数零点|多问递进（第17题求角、面积及周长范围），融合模型应用与证明（第19题导数零点证明），落实数学语言表达|

2026-2027学年高三上期数学周测试题（第二周） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是(     ) A. B. C. D. 2.设则的值为(     ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 3.函数的图象大致为(     ) A. B. C. D. 4.已知，则     A. B. C. D. 5.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是      A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 图象的对称中心为 D. 将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 6.已知函数，则的解集为(     ) A. B. C. D. 7.已知函数的图象关于直线对称，且在上有最大值没有最小值，则的值为(     ) A. B. C. D. 8.设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是     A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错得得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分） 9.函数表示，中的较小者，若，，则(    ) A. 的最大值为4 B. 在区间上单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 方程有3个不相等的实根 10.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(    ) A. 若，则一定是锐角三角形 B. 若，则一定是等边三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，则一定是等腰三角形 11.关于函数，下列结论中正确的有(    ) A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 在上有4个零点 D. 的最大值为2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的最小值为           . 13.已知，则           . 14.已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围为           . 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知函数，R. 求在处的切线方程； 若是的导函数，且在上具有单调性，求a的取值范围. 16.（15分）已知函数，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且 求，的解析式，并判断的单调性； 已知，且，不等式成立，求m的取值范围． 17.（15分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 求角B的大小； 若，，求的面积； 若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 18.（17分）已知函数的部分图象如图所示. 求函数的解析式; 求函数图象的对称中心的坐标; 当时，方程有两个不相等的实数根，，且，求的值. 19.（17分）已知函数， 当时，求曲线在点处的切线方程； 若函数有两个不同的零点， ①求实数a的取值范围； ②证明： 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $《高三上数学周测试题（第二周)》 单项选择题(40分) 1.(5分)已知A={x1≤x≤2}，命题∀x∈A,x2-a≤0”是真 命题的一个充分不必要条件是 A.a≥4 B.a≤4 C.a≥5 D.a≤5 【参考答案】C 解析：【分析】 本题考查充分，必要条件的判断，属于基础题。 将命题c∈A,x2-a≤0是真命题，转化为c∈A,a≥x2, 恒成立求得a的范围，再利用充分不必要条件的定义判断. 【解答】 解：因为命题c∈[1,2]，x2-a≤0”是真命题， 所以x∈[1,2]，a≥x2恒成立， 所以a≥4， a≥4是真命题的充要条件， a≤4，a≤5是真命题的既不充分也不必要条件， 所以命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5， 故选：C. x-3(x≥10)， 2.6分)设fe)={ffe+6e<10), 则(5)的值为 A.11 B.10 C.9 D.8 【参考答案】D 解析由题意，函数()=ffe+6)e<10), x-3(x≥10)， 则f(5)=f(f(5+6)=f(11-3)=f(f(8+6)=f14-3)=f(11) =11-3=8. 故选D. 36分)函数e十的图象大数为 【参考答案】A 重庆市实验中学校高三年级数学教师讲义满分：150分 解析：解：已知函数f)=x+3x3 exte-z 所以f(-x)=二o-3如3 e-ztex =-f(x); f)十二是奇函数，排除选项C、D 当x>0时，函数f(x)>0,所以排除选项B. 故选：A. 4.(5分)已知a=3-0.3,b=c0s2,c=1g11,则 A.c<a<bB.a<b<cC.b<c<a D.b<a<c 【参考答案】D 解析：【分析】 本题考查利用指数函数，对数函数和余弦函数的性质比较大小， 属于基础题 根据指数函数、对数函数、余弦函数的性质，结合中间量即可 比较大小， 【解答】 解：因为0<a=3-0.3<1,b-cos2<0,c=lg11>lg10=1, 所以b<a≤c. 故选：D, 5.(5分)已知函数f(x)= Asin(x十)(eR,A>0,w>0,lpl<)的部分图象如图所 示，则下列说法正确的是() Af0-号 B.直线c=π是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)图象的对称中心为 D.将f()的图象向左平移匹个单位长度后，得到函数y=3cos2z 6 的图象 【参考答案】C 解析：解：由图可知，f(x)的最大值为3，又A>0,故A=3: 又7-是-()-京虹-资又w>0,放w-2 则f(x)=3sin(2x+p): 根据f()-3sm(2×品+9)-3，可符s(信+)-1 则+p-2k+2kcZ, 又a<行故当k-0时，p-营演足题意，则f@创 3m(2a+）: 对40=3a如后Y9,版错灵： 对B:令2+ 写-k+兮eZ,解行管+位长z。 3 11 威C：令2+k机kcZ,解得=26，eZ,故)图象的 2 对称中心 (+0），c正： 对D:将@)的图象向左平移君个单位长度后， 则得到图象对应的函数为y=3si血2(c+)+3] 3sin (2x+ 乞)≠3cos2,放D错误 故选：C 6.(5分)已知函数f(x)=3+x2+2,则f(2-1)>f3-x)的解 集为 A(0) B(+o) c-2) D(-o,-2列u(停+oj 【参考答案】D 解析：【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性的运用，属于 基础题， 根据已知得到f(x)为偶函数，且f(x)在[0，+∞)上单调递增，根 据单调性和奇偶性求解不等式即可.【解答】 解：因为函数f(x)定义域为R,且f(-x)=3-到+(-x)2+2=3+ x2+2=f(x), 所以f(x)为偶函数， 当x≥0时，f(x)=32+x2+2, 又y=3”，y=2+2均在[0，十∞)上单调递增， 所以f(x)在[0，+∞)上单调递增， 所以f(2ax-1)>f3-x),即|2x-1>13-x,解得x<-2或 1/5 所以f2x-1)>f3-)的解集为(-，-2)U(5+oo) 7.(5分)已知函数f(x)=2cos2wc+sin2wx-1(w>0)的图象关于 直线=2 对称，且fe)在Q,爱)上有最大值没有最小值，则” 的值为 4品 B27 39 C D. 3 10 【参考答案】D 解折：解：fe)-cos2uz+sin2wz=V2sin(2wx+孕， 对称， :f(e)的图象关于直线=2 5亚+T-km+空k∈2， .2w×124 π 解得w=6k3 5+10 k∈Z, 0<c< 3’ π .4 a<+行 又()在(0，牙)上有最大值没有最小值， 2TW T 15 <34钙，解得g人u≤8 6k,3 及5千10， k∈Z, k=l时，w=3 2 故选D. Inx ,x≥1 8.(5分)设函数f(x)= ，若关于x的方程[f(x]2 -(x-1)3,x<1 +mf(x)-1-m=0恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值 范围是 4(-1- B(-1--1 c+ n() 【参考答案】B 2/5 重庆市实验中学校高三年级数学教师讲义满分：150分 解析：【分析】 本题考查考查函数零点与方程根的关系， 利用导数研究函数的单调性，属于较难 题. 由题意可得(f(c)+m+1)(f(x)-1)=0 恰好有4个不相等的实数解，所以f(x)= 1或f(x)=-m-1共有4个解，作出函数f(x)的图象，结合图象即 可得解. 【解答】 解：因为[f(x)2+mf(x)-1-m=0恰好有4个不相等的实数解， 所以(f(x)+m+1)(f(c)-1)=0恰好有4个不相等的实数解， 所以f(x)=1或f(x)=-m-1共有4个解， 设A回-2，e≥1.则Wa- 1-Inx x2 所以x∈(1，e)时，h'(c)>0,h()单调递增， x∈(e,+oo)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 且h(1)=0,h(e)=e, 1 当x→+oo时，h(c)→0，所以h(c) 设g(c)=-(x-1)3,(x<1), 则g(x)=-3(c-1)2<0,g(x)为单调减函数， 且c→-o时，g(x)→+∞，g(1)=0,g(x)∈(0，+∞) 作出函数(x)的图象如图所示： 由图可知f(x)=1只有一解， 要(f(x)+m+1)(f(x)-1)=0恰好有4个不相等的实数解， 即要f(x)=-m-1恰有3解， 所以0<-m-1<ē1 1 即-1-1<m<-1, e 故选：B 多项选择题(18分) 9.(6分)函数h(x)=mi血{f(x),9(x)}表示f(x),g(c)中的较小者， 若f(x)=x+1,g(x)=(x-1)2,则 A.h(x)的最大值为4 B.h(x)在区间[0,1]上单调递减 C.h(x)的图象关于直线x=1对称 D.方程Ma]-号有3个不州答的实辰 【参考答案】BD 解析：因为h(c)=min{c+1,(c-1)2, 作出h(x)的图象（图中实线部分），如图所 示： y=h(x) 对于选项A:h(x)无最大值，故A错误； 对于选项B:h(x)在区间[0,1上单调递 减，故B正确； 对于选项C:h(x)的图象不关于直线x=1对称，故C错误； 对于选项D因为yM与y有3个交点，所以方程()有 3个不相等的实根，故D正确. 10.(6分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则 下列说法正确的是 A.若a2+b2-c2>0,则△ABC一定是锐角三角形 B.若、a=6c cosA-cosB一cosC,则△ABC一定是等边三角形 C.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 D.若acos B.+-bcos A=a,则△ABC一定是等腰三角形 【参考答案】BD 解折：对于A,若a2+62-c2>0.则cosC=a2+62- ->0, 2ab 则C为锐角，但是A,B两角无法判断其是否为锐角，如当a=4, b=2,c=3时，a2+b2-c2>0,b2+c2-a2=-3<0,△ABC为钝 角三角形，故A错误；对于B,因为a,=b cos A cos B cos C' 所以sinA_sin B sin C oosA-cos B cos C,所tt以amA=-tanB-tanC,且A B,CE(O,π)，所以A=B=C,所以△ABC为等边三角形，故B 正确；对于C,因为acos A=bcos B,所以sin Acos A=sin Bcos B,所以sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=π，所以A=B 或A+B=分，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错 误；对于D,因为acos B+bcos A=a,所以sin Acos B+sin Bcos A=sinA,即sin(A+B)=sinA,则sinC=sinA,又因为A,C ∈(0，π)，所以A=C或A+C=π（舍去），所以△ABC为等腰三角 形，故D正确， 11.(6分)关于函数f(x)=sinx+|sinx,下列结论中正确的有 A.f(x)是偶函数 B)在区饲(-）上单调递增 C.f(x)在[-π，π]上有4个零点 D.f(x)的最大值为2 【参考答案】AD 解析：方法一：f(x)的定义域为R,f(-x)=sin-c+|sin(-x)川 =sinx+sin x=f(c),所以f(c)为偶函数，故A正确，B不正确 又因为f(0)=0,fe)在[-不，元上的零点个数是奇数，故C不正确. 因为sin≤1，|sinc≤1，所以f()=-sin+sinc≤2， 且时()=-2，所以f)的最大值为2，故D正确。 方法二：fc)定义域为R,f(-c)=sin-c+sin(-x川=sin+ sinx=f(c),所以f(x)为偶函数.当x≥0时，f(c+2π)=f(c). 当0≤c≤π时，fx)=2sinx;当π<x≤2π时，f(c)=sinx-sinx =0.因此可以画出函数f(x)=sin x+sinx的部分图象如图所示， 由图象可得AD正确， 3元 填空题(15分》 12.6分函数f+3的最小值为一 Vx+1 【参考答案】2v2 解析：函数f)=卫+3 Va+1 的定义域为(-1，十∞)，f(x)= (x+1)+2 =V+1+ 2 2 =2V2, Vz+1 V+i≥21/V+1. √x+1 当且仅当Vx+1= 即x=1时取等号.故当=1时，f(x) Vx+1 取得最小值22. 13.(5分)已知tana=2,则sin2a+cos2a=一 【参考答案】1 解析：解：·.tana=2, .'sin 2a+cos2a=. 2sin acosa+cos2a_2tana+111, sin2a+cos2a tan2a+1 4+1 故答案为1 146分例)已知函数fo)=2sim(3z+君)，g 2mn(2z+）-mm≠0，若对在意的a1∈[0，引，总存在 ae[石，】，使得fe广e成立，则实数m的取值范国为 【参考答案】(-∞，-2]U[V3+1,+∞) 解析：解：由题知f()-2in(3a+),当z∈[0，]时，3x 重庆市实验中学校高三年级数学教师讲义满分：150分 +ge[后]m(a+)[] 2sin(3x+君)∈-1,2.设fo在e∈[0，写 内的值域为A,则 A=[-1,2. 当e[后引时，2z+e[ 血(+)罗gm(+》 1∈[-1，V3-1. 又ge)-2msm(2x+写)-m=m2sin(2z+写)-1]，设g 四在ae[后引内的值域为B. 对任意的a1e0,引，总存在e[合，引，使行e0g 成立，ACB. ①当m>0时，g(x2)∈[-m,(3-1)ml,则B- [-m,(W3-1)ml,A=-1,2,AcB, ∴.[-1,2[-m,(3-1)ml, 了-1≥-m, m≥1， 2≤w3-m,{m≥Vg+,mev3+1+o): ②当m<0时，g(2)∈[(3-1)m,-m, 则B=[(W3-1)m,-m,A=[-1,2,AcB,∴.【-1,2≤ T8-m-m{2之s-m2ms-9 2 m≤-2， .m∈(-∞，-2.综上所述，m∈(-o,-2U[V3+1,+∞). 解答题(77分) 15.(13分)己知函数f(x)=sin2x+ax2-x+1,a∈R. (1)求f(x)在c=0处的切线方程： ②)若f✉是f@的导函数，且f(@倒在-石，爱上具有单调性， 求a的取值范围. 【参考答案】解：(1)由题意得，切点坐标为(0,1)， Xf(x)=2cos2x+2ax-1, 则切线斜率k=f'(0)=1, 所以切线方程为y=x+1; (2)由(1)知f'(x)=2cos2x+2ax-1, h(x)=f'(x)=2cos2z+2az-1 则h'(x)=-4sin2x+2a, 因如e石则2z-后， 所以、V3 ≤sin2m≤1， 因为e)在-6，上具有单词性， 则h'(x)≥0或h'(x)≤0恒成立， 即∈石，写1时，有2a≥4sin2a或2a≤4血2， 即2a≥4或2a≤-2V3,有a≥2或a≤-V3, 所以a的取值范围是(-∞，-√3U[2,+o∞) 解析：详细解答和解析过程见【答案】 16.(15分)已知函数(x),9(x)分别是定义在R上的奇函数和偶 函数，且f(x)+g(c)=2+1. (1)求f(x),g(x)的解析式，并判断f(x)的单调性： (2)已知m>0,且m≠1，不等式f(1ogm2)+f(-1)+2<g(0)成 立，求m的取值范围。 【参考答案】解：(1)函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函 数和偶函数， ∴.f(-c)=-f(x),g(-x)=g(c), ∵f(x)+g(x)=2·2,用-代替得f(-)十g(-x)=2·22, 则f+9)=2.2 -f)+9r)=2·2,解方程得f)=22-2,g)=2 十2-x, y=2为增函数，y=-2”=一 ）也为增函数， 由增函数+增函数=增函数， 可得f(x)=2-2”为增函数. (2).g(x)=22+2-,.g(0)=2, 所以不等式f(1ogm2)+f(-1)+2<g(0)成立， 即f(ogm2)+f(-1)+2<2,即f(logm2)<-f(-1), ·.函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴.f1ogm2)<f(1), 又.f(x)=2”-2”为增函数，∴.logm2<1, ①当0<m<1时，logm2<logm1=0<1,成立， ②当m>1时，logm2<1=logm m, 由于函数y=logm为增函数，∴.m>2. 综上，m的取值范围是(0,1)U(2,+o) 解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及利用函 数的单调性解不等式问题，属于中档题， (1)由奇偶性的定义，将x换为-x,解方程可得所求函数f(x)和 3/5 g(x)的解析式，从而可判断函数f(x)的单调性； (2)将不等式f1ogm2)+f(-1)+2<g(0)转化为f(1ogm2)<- f(-1),利用函数f(x)的单调性和奇偶性可得logm2<1,对m 进行分类讨论，解不等式从而求得的取值范围. 17.15分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知(2a-V3c)cosB=V3 bcos C, (1)求角B的大小： (2)若c=V3,a+b=2,求△ABC的面积： (3)若a=2,且△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范 围 【参考答案】解：(1)由正弦定理，可得 (2 sin A-V3 sin C)cos B=V3 sin Bcos C, 2 sin A cos B=V3sin B cos C+V3 cos Bsin C=V3sin(B+C) V3 sin A, 又sinA≠0，所以easB=Y装，义因为B∈O,x所以D-后 (②)出题可知B=石6=V3,出余弦定理，可得csB= a2+3-b2V3 2xaxV5=2,可得a2-b2+3=3a, 1 又因为a+b2,解得a=b1,则SAABG-7cinB= =2×1xV3 1V3 ×2=49 ③由0四斑A+C答，所以0装A,由正弦定理，可得 2 sin A sin C =1 sin- 6 1 所以b= 2sin C sinA’cs sinA’ 所以△ABC的周长a+b+c=2+,1+ 2sin C sinA sinA =2+ 1+2sin(6 7π -A) 1+cosA sin A +2+V5=1 -+2+V3, sin A A tan- π 0<A< 0<A< 2 由题意可得 即 0<C<2 0<0A<”可得 5π 2 <A< T 3 2 4/5 重庆市实验中学校高三年级数学教师讲义满分：150分 A 所以tan(3,.即1+2+V3∈(8+3,2+2v3 A tan 2 所以△ABC的周长的取值范围为(3+V3,2+2V3): 解析：详细解答和解析过程见【答案】 18.17分)己知函数f(x)=Asin(wx+p)+ B(A>0,w>0,以l<牙)的部分图象如 图所示 (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)图象的对称中心的坐标； 0元 阅当2∈(-百写时，方程e号有 12 两个不相等的实数根c1,2,且c1<c2,求sin(c2-c1)的值. 【参考答案】)由题图知A=3-(-=2,B- 3+(-1) =1, 2 2 由愿图可知受)=3，即2(2×空+p)+1-3,故 sm(名+o)1,放后+g2+26mk∈Z,得p-2+写 k∈Z, 又ol<分所以p=7放f)-2sin(2z+3)+1. @令2+写，kE,解符：智石e2 所以函数回图象的对将中心的坐标为（答-后c∈Z ③由ze(-g,3.可得2+写c0列 又方程)-一号在红∈（←言，爱上有两个不相等的实数根z4 2,且E1<x2, 所以2+写+2x+了 -×2, 所以a+-g且2a+写e@,.2a+写∈（写动， 又e)-fe）-号 即2m(2a1+写+1=3m2,++1- 5 所以sn2a+3-sm2+)-} 又sin(e2-2）-sin(g-1-z1)=sin(石-2z) oas2z1+3.月2a+写∈07. 所以sin(,-z1=cos(2a1+3）=V1-sim2(2a1+3) V1-(P-手故sine,-)的值为 197分)已知函数fehx+方a2-(a+1)z (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (②)若函数ga)fa)3az2有两个不同的零点1,2 ①求实数a的取值范围； ②证明：c1c2>e2. 【参考答案】解：(1)当a=1时，f(x)= n+号2-2z,ee0+o, f)-11-2. 所以f-0,f= 所以曲线=(x)在点(1，f1)处的切线 方程是一2· 3 (2)函数g)f()-2ax2有两个不同的零点x1,x2, 等价于方程a+1=血巴有两个不同实根1,2· ①4@)，则p)-1n2 所以()=血”在(0，e)上单调递增，在(e,十o∞)上单调递减， 所以当z=e时，p@)-血取得最大值2， 由于p(1)=0,当x∈(0,1)时，(x)<0: 当x∈(1，+o∞)，(x)>0, p()的大致图象如图所示： 所以，当a+1∈ )即-1<a<1时， 函数g()=f()-2ax2有两个不同的零点1,2· ②证明：不妨设0<x1<x2,lnx1=(a+1)x1,lnc2= (a+1)x2, 两式相加得1n(x1x2)=(a+1)(x1+x2), 两式相减得n2=(a+1)(e2-x）, 1 重庆市实验中学校高三 所以血(1x2）=工1+2 In 2 2-1 x1 要证x1x2>e2，只需证ln(c1c2)= 1十21n2>2. X2-X1 1 2/ 2一1 即证1n2>22-心1 Z1 x2+Z1 1+2 1 设t=2化>1)，令（因=血+t十12， 4 则r0=&+>0 (t-1)2 所以函数F(t)在(1，+o∞)上单调递增，且F(1)=0, 所以F(t)>0,即x1c2>e2. 解析：本题考查利用导数证明不等式，利用导数研究函数的零 点，求曲线上一点的切线方程，属于较难题. (当。-1时，求出导商数，进南求出矿-0,4出f-号 即可求解。 (2)0根据题意将问题转化为方程+1=血二有两个不同实根1， 2,令(e),作出p回的人致图家以及ga+1,数形 结合即可求解； ②由题意不妨设0<x1<x2,lnx1=(a+1)x1,lnx2= (a十1)22，将两式分别相加、相减可得血（②2）_1+2， In 22 C2-C1 x1 只需证明ne1)=+2n乡>2，设仁化>1)，构造 x2-x1 1 1 函数因=ht计，4一2，利用函数的单调性即可证明。 t+1 年级数学教师讲义满分：150分 岁