第二十六章 二次函数 单元测试卷 2026--2027学年人教版九年级数学上册

新人教版九年级上册 第二十六章《二次函数》单元测试卷 满分 120 分　　答题时间 120 分钟 班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　　　得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y = 2x + 1　　B．y = −x² + 3x − 2　　C．y = x³ − 2x²　　D．y = (x + 1)² − x² 2．二次函数 y = 2(x − 1)² + 3 的图象的顶点坐标是（　　） A．(−1, 3)　　B．(−1, −3)　　C．(1, 3)　　D．(1, −3) 3．如图1，二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，则下列结论：① a > 0；② b < 0；③ c > 0；④ b² − 4ac > 0。其中正确结论的个数是（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 4．将抛物线 y = x² 先向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　） A．y = (x + 2)² + 1　　B．y = (x − 2)² + 1　　 C．y = (x + 2)² − 1　　D．y = (x − 2)² − 1 5．抛物线 y = −x² + 2x + 3 的对称轴是（　　） A．直线 x = −1　　B．直线 x = 2　　C．直线 x = 3　　D．直线 x = 1 6．二次函数 y = 2x² − 4x + 1 的最小值是（　　） A．1　　B．−1　　C．−3　　D．3 7．已知点 A(−2, y₁)、B(1, y₂)、C(3, y₃) 在抛物线 y = x² − 2x + m 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是（　　） A．y₂ < y₃ < y₁　　B．y₁ < y₂ < y₃　　C．y₃ < y₂ < y₁　　D．y₂ < y₁ < y₃ 8．已知二次函数 y = ax² + bx + c 的图象与 x 轴交于点 (−1, 0) 和 (3, 0)，则关于 x 的方程 ax² + bx + c = 0 的解是（　　） A．x = −1　　B．x = 3　　C．x₁ = −1，x₂ = 3　　D．x₁ = 1，x₂ = −3 9．已知抛物线的顶点坐标为 (2, −3)，且经过点 (0, 1)，则该抛物线的解析式为（　　） A．y = (x − 2)² − 3　　B．y = (x + 2)² − 3　　C．y = (x − 2)² + 3　　D．y = −(x − 2)² − 3 10．若抛物线 y = x² + bx + c 经过点 (0, 3) 和 (1, 4)，则 b、c 的值分别为（　　） A．b = 3，c = 0　　B．b = 1，c = 3　　C．b = 0，c = −3　　D．b = 0，c = 3 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 11．将二次函数 y = (x + 1)(x − 3) 化为一般形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 12．抛物线 y = −3x² + 6x − 1 的对称轴是直线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 13．将二次函数 y = x² − 4x + 5 化为 y = a(x − h)² + k 的形式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 14．二次函数 y = 2x² 的图象开口向＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿＿＿． 15．抛物线 y = −x² + 4x 与 x 轴的交点坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 16．已知二次函数 y = (m − 1)x² + 2x + 1 的图象开口向下，则 m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿． 17．二次函数 y = x² − 6x + 5 的最小值是＿＿＿＿＿＿． 18．将抛物线 y = 2x² 向右平移 3 个单位长度，所得抛物线的解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 19．已知抛物线经过点 A(−1, 0)、B(3, 0)，且与 y 轴交于点 C(0, −3)，则该抛物线的解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 20．如图2，已知二次函数 y = ax² + bx + c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A(−1, 0)、B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点 C(0, 3)，顶点为 D。则下列结论：① abc < 0；② 抛物线的对称轴是直线 x = 1；③ 当 x > 1 时，y 随 x 的增大而增大；④ 关于 x 的方程 ax² + bx + c = 3 有两个不相等的实数根。其中正确结论的序号是＿＿＿＿＿＿＿＿（把所有正确结论的序号都填上）． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 60 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（本题 7 分）已知二次函数 y = −x² + 4x + 5。 （1）用配方法将其化为 y = a(x − h)² + k 的形式； （2）写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）在图3 所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象（先列表，再描点、连线）。 22．（本题 7 分）已知一个二次函数的图象经过点 A(1, 0)、B(3, 0)，且顶点的纵坐标为 −2。求这个二次函数的解析式。 23．（本题 8 分）如图4，某公园计划在人工湖上新建一座抛物线形拱桥。以水面所在直线为 x 轴、桥拱的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系。已知桥拱的最高点 P 距水面 4 m，桥拱在水面上的跨度 AB 为 8 m。 （1）求桥拱所在抛物线的解析式； （2）一艘游船宽 6 m，船舱顶部距水面 1.5 m。当游船从桥下正中通过时，船舱顶部与桥拱是否会相碰？请通过计算说明理由。 24．（本题 8 分）如图5，已知抛物线 y = x² − 2x − 3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，直线 y = −2x + 1 与该抛物线交于 P、Q 两点。 （1）求点 A、B、C 的坐标； （2）求点 P、Q 的坐标； （3）求 △CPQ 的面积。 25．（本题 10 分）某商店销售一种商品，每件进价 20 元。经市场调查发现：当售价为 30 元/件时，每天可售出 100 件；售价每上涨 1 元/件，每天的销售量就减少 5 件。设售价为 x 元/件（30 ≤ x ≤ 50），每天的销售量为 y 件，每天获得的利润为 w 元。 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求 w 与 x 之间的函数关系式； （3）当售价定为多少元/件时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26．（本题 10 分）综合与探究：如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y = x² − 2mx + m² − 1（m 为常数）。 （1）求证：无论 m 取何值，该抛物线与 x 轴总有两个交点； （2）若该抛物线与 y 轴交于点 C，且 OC = 3（O 为坐标原点），求 m 的值； （3）在（2）的条件下，取 m = 2（此时抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，如图6）。若点 P 是该抛物线上一点，且 △PAB 的面积为 4，求点 P 的坐标。 27．（本题 10 分）如图7，已知抛物线 y = −x² + 2x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 D。 （1）求点 A、B、C 的坐标及顶点 D 的坐标； （2）点 P 是线段 BC 上一动点（不与点 B、C 重合），过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 E。设点 P 的横坐标为 t（0 < t < 3），请用含 t 的代数式表示线段 PE 的长度，并求 PE 的最大值； （3）在（2）的条件下，是否存在点 P，使得 △PCE 是等腰三角形？若存在，直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由。 参考答案与评分标准 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D D B A C A D 二、填空题（每小题 3 分，共 30 分） 题号 答案 题号 答案 11 y = x² − 2x − 3 16 m < 1 12 直线 x = 1 17 −4 13 y = (x − 2)² + 1 18 y = 2(x − 3)² 14 上； (0, 0) 19 y = x² − 2x − 3 15 (0, 0) 和 (4, 0) 20 ①②④ 三、解答题（共 60 分） 21．（本题 7 分） （1）y = −x² + 4x + 5 = −(x² − 4x) + 5 = −(x − 2)² + 4 + 5 = −(x − 2)² + 9．……3 分 （2）开口向下，对称轴为直线 x = 2，顶点坐标为 (2, 9)．……2 分 （3）列表、描点、连线正确即可。图象经过 (0, 5)、(1, 8)、(2, 9)、(3, 8)、(4, 5) 等点，画图规范给分．……2 分 22．（本题 7 分） ∵图象与 x 轴交于 A(1, 0)、B(3, 0)， ∴可设 y = a(x − 1)(x − 3)．……3 分 抛物线的对称轴为直线 x = 2，故顶点横坐标为 2。 把 x = 2 代入，得 y = a(2 − 1)(2 − 3) = −a = −2，∴a = 2．……3 分 ∴y = 2(x − 1)(x − 3) = 2x² − 8x + 6．……1 分 23．（本题 8 分） （1）由题意，抛物线的顶点为 (0, 4)，可设 y = ax² + 4．……1 分 ∵跨度 AB = 8 m， ∴点 B 的坐标为 (4, 0)。 代入得 16a + 4 = 0，解得 a = -．……3 分 ∴桥拱所在抛物线的解析式为 y = -x² + 4（−4 ≤ x ≤ 4）．……1 分 （2）不会相碰。游船宽 6 m 且正中通过，则船的两侧位于 x = ±3 处。当 x = 3 时，y =- × 9 + 4 = 7/4 = 1.75（m）．……2 分 ∵1.75 > 1.5，∴船舱顶部与桥拱不会相碰（此时留有 0.25 m 的空隙）．……1 分 24．（本题 8 分） （1）令 y = 0，则 x² − 2x − 3 = 0， 解得 x₁ = −1，x₂ = 3，∴A(−1, 0)，B(3, 0)； 令 x = 0，得 y = −3， ∴C(0, −3)．……3 分 （2） 由 x² − 2x − 3 = −2x + 1，得 x² = 4，解得 x = ±2。 当 x = −2 时，y = 5； 当 x = 2 时，y = −3。 ∴P(−2, 5)，Q(2, −3)．……3 分 （3） ∵C(0, −3)、Q(2, −3)， ∴CQ ∥ x 轴，CQ = 2，且点 P 到直线 CQ（直线 y = −3）的距离为 5 − (−3) = 8。 ∴S△CPQ = ½ × 2 × 8 = 8．……2 分 25．（本题 10 分） （1）y = 100 − 5(x − 30) = 250 − 5x（30 ≤ x ≤ 50）．……3 分 （2）w = (x − 20)(250 − 5x) = −5x² + 350x − 5000．……3 分 （3）w = −5x² + 350x − 5000 = −5(x − 35)² + 1125．……2 分 ∵−5 < 0，∴当 x = 35 时，w 取得最大值，最大值为 1125。即售价定为 35 元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是 1125 元．……2 分 26．（本题 10 分） （1）证明：Δ = (−2m)² − 4 × 1 × (m² − 1) = 4m² − 4m² + 4 = 4 > 0．……2 分 ∴无论 m 取何值，方程 x² − 2mx + m² − 1 = 0 总有两个不相等的实数根，即该抛物线与 x 轴总有两个交点．……1 分 （2） 令 x = 0，得 y = m² − 1，∴C(0, m² − 1)。 由 OC= 3，得 |m² − 1| = 3，即 m² − 1 = 3 或 m² − 1 = −3（舍去）， ∴m² = 4，m = ±2．……3 分 （3）当 m = 2 时，y = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1，此时 A(1, 0)、B(3, 0)，AB = 2．……1 分 由 S△PAB = × AB × |yP| = |yP| = 4，得 |yP| = 4。 ∵抛物线的最小值为 −1，∴yP = −4 不成立，∴yP = 4。 令 (x − 2)² − 1 = 4，得 (x − 2)² = 5，x = 2 ± √5．……2 分 ∴点 P 的坐标为 (2 + √5, 4) 或 (2 − √5, 4)．……1 分 27．（本题 10 分） （1）令 y = 0，得 −x² + 2x + 3 = 0，即 x² − 2x − 3 = 0，解得 x₁ = −1，x₂ = 3， ∴A(−1, 0)，B(3, 0)； 令 x = 0，得 y = 3，∴C(0, 3)； y = −x² + 2x + 3 = −(x − 1)² + 4，∴顶点 D(1, 4)．……3 分 （3） 直线 BC 的解析式为 y = −x + 3。 ∵点 P 的横坐标为 t，∴P(t, 3 − t)，E(t, −t² + 2t + 3)．……1 分 ∴PE = (−t² + 2t + 3) − (3 − t) = −t² + 3t = t(3 − t)（0 < t < 3）．……1 分 PE = −t² + 3t = −(t − 3/2)² + 9/4。 ∵−1 < 0，∴当 t = 3/2 时，PE 取得最大值，最大值为 9/4．……2 分 （3）存在。t = 1 或 t = 2 或 t = 3 − √2．……3 分（每个正确结论 1 分） 提示：PC = √2t，PE = t(3 − t)，CE = √(t² + t²(2 − t)²) = t√(1 + (2 − t)²)。由 PC = PE 得 t = 3 − √2；由 PC = CE 得 t = 1（t = 3 舍去）；由 PE = CE 得 t = 2。 学科网（北京）股份有限公司 $