第26章二次函数国庆练习卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

人教版初三数学第26章二次函数国庆节练习卷 一、单选题 1．下列二次函数图象开口向上的是（     ） A． B． C． D． 2．下列二次函数图象的对称轴是轴的是（     ） A． B． C． D． 3．若是关于x的二次函数，且开口向上，则m的值为（     ） A． B． C．2 D．0 4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交点的纵坐标是（     ） A． B．3 C． D．9 5．已知抛物线，下列结论正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．当时，随的增大而减小 6．把二次函数通过配方化成的形式，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是（     ） （7题） （8题） （12题） A．， B．， C．， D．， 9．对于二次函数 ，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．当时，y随x的增大而减小 D．抛物线与y轴的交点为 10．已知，，是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 11．已知二次函数的部分取值如表所示，由数据得，关于x的一元二次方程的解是（     ） x … 0 1 2 3 … … 0 0 … A．， B．， C．， D．， 12．如图，二次函数的图象与x轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．（m为实数） 二、填空题 13．二次函数的图象与轴有___________个交点． 14．如果抛物线经过点和，那么抛物线的对称轴为直线___________． 15．如图是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，设直道的长为米，足球场的面积为平方米，则关于的函数关系式（结果保留）为______． 16．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，且，则m的值为___________． （15题） （16题） 三、解答题 17．已知函数（为常数）是二次函数． (1)求的值．(2)若点在此函数的图象上，求的值． 18．如图，抛物线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，y的最大值为______； (3)M为抛物线上一点，若，求此时点M的坐标． 19．已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： 0 1 2 3 … 2 ____ 2 … (2)根据上表，在图中画出这个二次函数的图像． (3)根据图像，回答下列问题： ①该二次函数的对称轴是直线______； ②当时，随的增大而______； ③当______时，有最大值为______． 20．【新情境】为了让同学们感受数学与生活的紧密联系，班级组织开展了投掷沙包的游戏活动．同学们发现，从垂直地面的投掷点O正上方、距离地面高度为0.38米的位置A，以一定倾斜角抛出沙包，其飞行路线呈抛物线形状．当沙包与的水平距离为9米时，达到最大高度2米．以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图）． (1)求沙包飞行路线所在抛物线的解析式； (2)距离投掷点正前方18米处竖直放置了一个0.4米高的障碍物，求沙包能否越过该障碍物． 21．已知一条抛物线的顶点，且经过点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在抛物线上，且点P和点Q关于这个二次函数图象的对称轴对称，求t的值和点Q的坐标． 22．如图，在一道长为的墙一侧，用长为的篱笆，围成一个一边靠墙、中间隔有一道篱笆的矩形花圃．当，各为多少时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 23．如图是一个东西走向、轮廓可看成抛物线的山坡，以水平地面为x轴，西侧的坡底O为原点建立平面直角坐标系，一个单位长度代表长，山坡外轮廓（曲线）所在抛物线的解析式为，无人机从坡底O的西侧点B处起飞，降落到点C，飞行轨迹所在抛物线的解析式为，已知无人机在与点O水平距离处，达到最大高度． (1)_______，_______； (2)求无人机起飞点B与坡底O的水平距离； (3)由于山坡上有障碍物，当无人机与山坡的竖直距离始终大于9米时，才能保证飞行安全．请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 24．如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版初三数学第26章二次函数国庆节练习卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D C C D C D B 题号 11 12 答案 D D 1．A 【分析】根据二次项系数的符号判断二次函数图象的开口方向． 【详解】解：A选项二次项系数为，图象开口向上；B、C、D选项二次项系数均小于0，图象开口向下． 2．D 【分析】可通过一次项系数是否为快速判断二次函数对称轴是否为轴． 【详解】解：设二次函数解析式为，其对称轴为直线， 若对称轴为轴，则， ， ，选项A、B、C的一次项系数均不为，不符合要求；选项D的一次项系数为，符合条件． 3．B 【分析】根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2且二次项系数不为0，结合开口向上的条件列方程与不等式求解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴，且， 解得，且， ∵抛物线开口向上， ∴， 解得， ∴． 4．D 【分析】y轴上的点横坐标为0，代入抛物线解析式即可求得交点纵坐标． 【详解】解：当时， ． 5．C 【分析】根据解析式可得二次项系数，对称轴和顶点坐标，进而判断出对应的增减性，据此可得答案． 【详解】解：抛物线中，，抛物线开口向上，故A错误； 对称轴为直线，故B错误； 顶点坐标为，故C正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 6．C 【分析】先将进行配方，然后与对比即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 7．D 【分析】根据二次函数图象开口向上得到，对称轴在轴左侧得到，据此可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 【详解】解：二次函数开口向上， ， 对称轴在轴左侧， ， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 8．C 【分析】根据图象可得答案. 【详解】解：由图象可知，该函数图象与轴的交点坐标是，， ∴当，即时，，， ∴关于的一元二次方程的解为，. 9．D 【分析】利用二次函数顶点式的性质及与轴交点的求法判断选项． 【详解】解：二次函数为，， A、抛物线的对称轴为直线，不符合题意； B、抛物线的顶点坐标为，不符合题意； C、∵开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，不符合题意； D、令，则， 即抛物线与轴的交点为，符合题意． 10．B 【分析】先求出抛物线的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ， ∴ 抛物线开口向下，对称轴处函数值最大，点到对称轴的距离越远，函数值越小， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ， ． 11．D 【分析】将方程变形为，结合表格中二次函数的对应值求解． 【详解】解：方程可变形为， 即求二次函数中函数值为时对应的值． 由表格数据得， 当时，； 当时，． 故方程的解为，． 12．D 【分析】二次函数图象开口向上，，与y轴交于负半轴，，对称轴在y轴左侧，，可以判断A选项是否正确；根据对称轴，可以判断B选项是否正确；根据二次函数图象的对称性和当时，可以判断C选项是否正确；根据时y有最小值，可以判断D选项是否正确． 【详解】解：由图象可知，，， ∵对称轴在轴左边， ∴， ∴， ，故A选项不符合题意； ， ， ，故B选项不符合题意； 当时，，根据二次函数图象的对称性可知，当时，， ，故C选项不符合题意； 当时，函数有最小值， （m为实数），D选项符合题意． 13． 【分析】求二次函数图象与轴的交点个数，令解一元二次方程，根据方程实数根的个数即可判断交点个数． 【详解】解：令，可得方程， 解方程得，方程有两个相等的实数根， 因此二次函数的图象与轴只有个交点． 14． 【分析】抛物线上纵坐标相等的两个点为对称点，对称轴经过两点横坐标的中点，计算中点横坐标即可得到对称轴． 【详解】解：∵抛物线经过的点和，且这两个点的纵坐标相等， ∴两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 15． 【分析】根据跑道周长公式表示出矩形的宽，再利用矩形面积公式列出函数关系式； 【详解】解：设矩形的宽为米， 跑道周长为米，由两条直道和两个半圆组成，两个半圆合为一个圆，直道的长为米， ， ， 足球场是矩形， ， ， ． 16．1 【分析】令求出点A的坐标，根据正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质得出点C的坐标，将点C代入抛物线解析式得到关于m、a、c的关系式，结合即可求出m的值． 【详解】解：如图，连接， 令，则， 点A的坐标为，即． 四边形是正方形，且点A在y轴上， 点B、C关于y轴对称，，且与互相平分， 点C的横坐标为，纵坐标为， 则点C的坐标为． 点C在二次函数的图象上， ，整理得， ， 整理得，即， ， ． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数定义列方程，解出即可得的值． （2）根据的值求出此二次函数的解析式，再根据点在此二次函数的图象上，即可列式求出的值． 【详解】（1）解：∵函数（为常数）是二次函数， ∴且，解得：， ∴的值为． （2）解：∵， ∴， ∵点在的图象上， ∴， ∴的值为． 18．(1) (2) (3)坐标为或 【分析】（1）将、代入求出、的值即可得到抛物线解析式，将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）根据抛物线的解析式求出顶点值和两个端点值，即可得出最大值； （3）求出，设，则，即可求解． 【详解】（1）解：把、代入得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为，开口向上，顶点坐标为， 当时，函数有最小值， 当时，；当时，； 当时，y的最大值为． （3）解：、， ， 设， 则， 即， 解得， 当时，此时或， 当时，此时方程无解， 坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式以及图象上点的坐标特征，二次函数与图形面积的综合，将点的坐标代入函数关系式求出待定的系数是解决问题的关键． 19．(1) 0 1 2 3 … 2 3 2 … (2) (3)；减小；1，3 【分析】（1）二次函数，令，求出y的值； （2）根据第一问表格的坐标进行描点连线； （3）根据第二问的图像进行回答即可． 【详解】（1）当时，； （2）画二次函数图像：根据第一问给的五个点的坐标，进行描点；连线． （3）略 20．(1) (2)沙包不能越过该障碍物 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）令，求出的值，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将点代入， 得， 解得， 沙包飞行路线所在抛物线的解析式为； （2）解：当时， ， ， 沙包不能越过该障碍物． 21．(1) （或） (2) ，点的坐标为 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标设抛物线的表达式为，将点B坐标代入求出a即可； （2）将代入中，求出t的值，抛物线的对称轴为，点P和点Q关于直线对称，纵坐标相等，横坐标到对称轴的距离一样，可以得到点Q坐标． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为，将代入得：， 解得：， 所以，抛物线的表达式为：， 化为一般式为：； （2）将代入中，得到 解得：， 由可知，抛物线的对称轴为， 所以，点P和点Q关于直线对称， 所以，点Q的纵坐标为，横坐标为， 所以点Q的坐标为． 【点睛】已知顶点坐标，将抛物线表达式设为顶点式． 22．当时，花圃的面积最大，最大面积是 【分析】设的长为，花圃的面积为，则，易得，花圃的面积为，再利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：设的长为，花圃的面积为，则， ∵在一道长为的墙一侧， ∴．即，解得：， ∴花圃的面积， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，S随x的增大而减小， ∵， ∴当时，花圃的面积S最大，此时，． 答：当时，花圃的面积最大，最大面积是． 23．(1)， (2) (3)解：安全，理由如下： 抛物线与抛物线的距离为， 令，则其对称轴为， 当时，， ， 无人机与山坡的竖直距离始终大于9米， 无人机此次飞行安全． 【分析】（1）根据抛物线顶点式中代表顶点坐标，结合题目给出的最大高度位置读出即可； （2）把代入无人机飞行轨迹抛物线，解一元二次方程得到与x轴两个交点，取x小于0的点即为起飞点B，计算该点到原点O的水平距离即可； （3）用无人机抛物线函数减去山坡抛物线函数，得到竖直距离的二次函数，分析这个开口向上的二次函数的最小值，判断最小值是否大于9，以此判断飞行是否安全． 【详解】（1）解：无人机在与点O水平距离处，达到最大高度， ，； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 令得， 化简得， 两边同时开平方得， 解得或， ， 无人机起飞点B与坡底O的水平距离为； （3）略 24．(1) (2)，当时，S有最大值，最大值为 (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）求出直线的函数解析式，用含t的式子表示出点H、N的坐标，得出，再根据求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可； （3）求出点B坐标，得到的长，再分、M在点A的左侧且，和当M点在点A的右侧，时三种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：将和代入得 , 解得, ∴该抛物线的解析式为； （2）解：设直线的函数解析式为，把和代入得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为，轴，交于点， ∴，, ∴， ∴, ∵, ∴当时，S有最大值，最大值为; （3）解：存在，理由如下： 把代入得， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点M在点A的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于D，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点Q的纵坐标为， 把代入得， 解得，（不符合，舍去）， ∴点M的横坐标为， ∴； 如图，当M点在点A的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于E，则， 同理可得． 学科网（北京）股份有限公司 $